重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题及答案

重庆八中2022-2023学年度高一（上）第一次月考
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.若全集，，，则
(
)(
)U
U
A B =（ ）
A.
B ．
C ．
D ．2.命题“0R x ∃∈，使得2
01>-x x ”的否定是（ ）
A ．0R x ∃∈，使得2
01≤-x x B ．0R x ∃∈，使得2
01x x <-C ．R x ∀∈，都有21≤-x x D ．R x ∀∈，都有21
x x >-3.已知a R ∈，则“2a >”是“
2
1a
<”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数(
)2
2,25,2
x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<-⎪⎩则()()1f f =（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．2
1,1
x y x y x
=-=-B ．4221
,1
1
x y y x x -==-+C
．,y x y ==D
．y y ==6.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为[10,6]--，则m 的取值范围是
（
）
A.[0，4]
B.[4，6]
C.[2，6]
D.[2，4]
7．若对任意的2(,0)10x x x m ∞-∈-+>,恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．(2,2)-
B ．(2,)+∞
C ．(2,)-+∞
D ．(,2]-∞-
8.若集合A 满足x A ∈，必有
1
A x
∈，则称集合A 为自倒关系集合.在集合111,0,,,1,2,3,423M ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）
A.7
B.8
C.16
D.15
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
{}1,2,3,4,5,6,7,8U ={}1,2,3A ={}5,6,7B ={4,8}{}
2,4,6,8{}1,3,5,7{}
1,
2,3,5,6,7
9.下列命题为真命题的是（ ）
A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+
B ．若a b >，c d >，则ac bd >
C ．若11
0a b
<<，则2ab b <
D ．若0a b <<，0c <，则c c
a b
<
10.下列函数中，值域为[)1,+∞的是（ ）
A ．()f x =
B ．()21
1x f x x +=
+
C ．()1f x x =+
D ．()3
1f x x =+ 11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥，则下列说法正确的是（ ）
A. 0a >
B. 不等式0bx c +>的解集为{}
4x x <- C. 不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-
⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭
D. 0a b c ++>
12.下列命题正确的是（ ）
A. 若0a b >>，0m >，则
a a m
b b m
+<+； B. 若正数a 、b 满足1a b +=，则114
113
a b +≥++；
C . 若0x >，则4
23x x
--的最大值是2-；
D. 若(2),0,0x x y x y =->>，则2x y +的最小值是9；
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置．
13．已知函数()2
132f x x x +=+-，则()2f = ．
14．不等式256
01
x x x -++≥-的解集是 ．
15．若集合{1,3,}A x =，{}2
,1B x =，且{1,3,}A B x =，则=x ．
16．已知正实数,a b 满足22a b +=，则ab 的最大值为___________；22a ab a b ab
+++-
的最大值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分，其中第（1）问5分，第（2）问5分）
已知集合{}
42A x x =-≤≤，{}
2
340B x x x =+->，{}|22C x m x m =-<<+.
（1）求A B ，A B ；
（2）若x C ∈是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
设集合()22
2{|320},{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.
（1） 若{2}A B =，求实数a 的值； （2） 若A B A =，求实数a 的取值范围.
19. （本小题满分12分，其中第（1）问5分，第（2）问7分）
已知0m >，0n >，关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<．
（1）求m ，n 的值；
（2）正实数a ，b 满足2na mb +=，求
11
5a b
+的最小值．
20. （本小题满分12分，其中第（1）问5分，第（2）问7分）
为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另
投入成本()R x 万元，且()210100,04010000
7019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩
，有市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部售完.
（1）求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；
（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
已知二次函数()f x 满足()()122f x f x x +-=-，且()10f =. （1）求()f x 的解析式；
（2）若[]1
4x ∈，时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围.
22．
（本小题满分12分，其中第（1）问3分，第（2）问4分，第（3）5分） 已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（R m ∈）．
（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；
（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；
（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围．
重庆八中2022-2023学年度高一（上）第一次月考
数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
【1】因为,，所以，故选A
【
2】“0R x ∃∈，使得2
001>-x x ”的否定是“R x ∀∈，都有21≤-x x ” .故选：C
【3】对于不等式21a <，可解得2a >或0a <.所以2a >可以推出21a <，而2
1a
<不可以推出2a >.所以“2a >”是“
2
1a
<”的充分不必要条件.故选A 【4】由()2
225,2
x f x x x x ⎧≥⎪
=⎨+<-⎪⎩，()()()142f f
f ==.故选：B 【5】A ：1y x =
-的定义域为R ，2
1x y x
=
-的定义域为{}0x
x ≠，定义域不同，故不是同一函数；
B ：42
21,11
x y y x x -==-+两函数定义域都是R
，且()()
224222
111111x x x y x x x +--===-++，故两函数关系式一样，故是同一函数；
C ：,y x y ==
两函数定义域都是R ，且y x ==，故两函数关系式不一样，故不是同一函数；
D ：y {}1x x ≥，y ={1x x ≥或}1x ≤-，定义域不同，故不是同一函数；故选：B.
【6】函数()2
46f x x x =--的图象是开口朝上，且以直线2x =为对称轴的抛物线，
故()()()046,210f f f ==-=-，函数()2
46f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--，所
以24m ≤≤，即m 的取值范围是[]2,4,故选D.
【7】解法一：（参数+均值不等式）
21
(,0)10m x x x m x x
∈-∞+>⇒>+
-,，因为11=[()]2x x x x +--+
≤--，所以2m >-. 解法二：（数形结合，轴动区间定，分类讨论求最值） 令2
()1f x x x m =-+，对称轴2
m
x =
，(,0)x ∈-∞ ① 02
(00)10m m f >=>⎧⎪⇒>⎨⎪⎩；②02(00)10m m f ==>⎧⎪⇒=⎨⎪⎩；③02
()0202
m
m f m ⎧⎪⎪⇒-<<⎨⎪⎪⎩<>； 综上：2m >-，故选：C.
【8】根据自倒关系集合的定义可知，当1x =-时，11x =-；当0x =时，1
x
无意义；当1x =时，11x =；
当2x =时，112x =；当3x =时，113x =；当4x =时，114x =不存在；所以{}{}111,2,,3,,123⎧⎫⎧⎫
-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
必
须分别在一起，可以把它们看作一个元素，所以自倒关系集合的个数为42115-=.故选D.
{}4,5,6,7,8u C A ={}1,2,3,4,8U C B ={}4,8U U C A
C B =
【9】A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B. 当1, 2.2,1
=-=-==a b c d 时，ac bd =，故错误；C. 由11
0a b
<<，得0b a <<
，则2ab b <，故正确；
D.()c b a c c a b ab
--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c a
b -<，故正确；故选：AD 【10】对于A ，()
1f x ，显然符合；对于B ，()211
2211
x f x x x +=
=-≠++，显然不符合；对于C ，()1f x x =+210,,2t t x +==∴()222
1212311222
t t y t t t -++-++-==≥= ，显然符合；对于D ，()3
1f x x R =+∈，显然不符合；故选：AC 【11】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()
()34-∞-+∞,,，所以二次函数2y ax bx c =++的开
口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434b
a
c a
⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，
解得12b a
c a =-⎧⎨
=-⎩
.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-， 所以不等式0bx c +>的解集为{}
12x x <-，故B 不正确；
对于C ，由B 的分析过程可知12b a c a
=-⎧⎨=-⎩，所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<
2112104x x x ⇔-->⇔<-或1
3x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩
或13x ⎫>⎬⎭，
故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确. 对于D 解法二2()(1)00f x ax bx c f a b c =++⇒<⇒++<，故选：AC.
【12】A 选项：解法一（作差法）()()()()()
a b m b a m a b m a a m b b m b b m a b m +-+-+-==+++，又0b a <<，0m >，()()0a b m a a m b b m a b m -+∴-=>++，即a a m
b b m
+>+，故A 选项错误； 解法二（糖水不等式+同号前提下大的数倒数反而小） B 选项：解法一（“1”的代换技巧+均值不等式） 由0,0b a >>，1a b +=可得()()113a b +++=， 所以
()()11111
1112111131113a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
41233⎛≥+= ⎝，12a b ==时，取等号，故D 选项正确； 解法二（权方和不等式） C 选项：
0x
，4423322
2x x x x ⎛
⎫∴--
=-++≤-=- ⎪⎝
⎭，当且仅当43x x =，即
3
x =
时等号成立，所以423x x --的最大值为2-，C 选项正确.
D 选项：
(2),0,0x x y x y =->>，∴21
1,0,0x y x y
+=>>，
∴()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当4y x x y =即4,2x y ==时取等号，D 选项错误；注意：不能简单的令3239x y x x y x =⇒=⇒+==.
解法二（权方和不等式）
(,1](1,6]-∞-
【13】令1x =，()()2111322f f =+=+-=.故答案为：2
【14】25601
x x x -++≥-256
0(1)(1)(6)0(1)(,1](1,6]1x x x x x x x x --⇒≤⇒+--≤≠⇒∈-∞--
【15】∵{1,3,}A B x =，{1,3,}A x =，{}2
,1B x =，∴23x =或2x x =，解得x =或1x =或0x =，
1x =显然不合题意，经检验0x =或
【16】①由22a b =+≥12≤
ab ，当且仅当21a b ==，即1
,12
a b ==时取等； ②22
2
1219()(1)224a b a a b a ab a b a b a +++++⎛⎫⎛⎫+++=++≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当1a b a +=+，即1,12a b ==时取等，又由上知12≤ab ，故24ab -
≤-，当且仅当1
,12a b ==时取等，所以()2297444a ab a b ab +++-≤+-=-，当且仅当1,12a b ==时取等.故答案为：1
2；74
-.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17】（1）
{}42A x x =-≤≤，{}
2340{|4B x x x x x =+->=<-或1}x >，
{|12}A
B x x ∴=<≤，=R A B ……………………………………………………………5分
（2）
x C ∈是“x A ∈”的充分不必要条件知, C ∴ A ……………………………………7分
∴2422m m -≥-⎧⎨+≤⎩
，得20m -≤≤ ……………………………………………………………10分
【18】（1）集合{}2
{|320}12A x x x =-+==，
，若{2}A B =，则2x =是方程()22150x a x a +-+-=的实数根，可得：2230a a +-=，解得3a =-或1a =， ………………3分
当3a =-时，{2}B =满足题意；当1a =时，{2,2}B =-满足题意； ……………………………4分 所以实数a 的值为3a =-或1a =； ……………………………………………………………5分 （2）∵A B A =，∴B A ⊆，
当B =∅时，方程()22
150x a x a +-+-=无实数根，
即()()
2
2
1450a a ---<，解得：3a <-或7
3
a >
； ……………………………………………7分 当B ≠∅时，方程()2
2
150x a x a +-+-=有实数根，
若只有一个实数根，2
214503a a a ∆=---=⇒=-（）（）或7
3
a =
； …………………………8分 当3a =-时，{2}B =满足题意；当7
3a =
时，2{}3
B =-不满足题意；所以3a =-． …………9分
若只有两个实数根，则{}12B =，
，故221211250733a a
a a a ⎧
=-⎪+=-⎧⎪⎪
⨯=-⇒=⎨⎨⎪⎪∆>⎩⎪-<<
⎩
，无解. …………………11分 综上可得实数a 的取值范围是：(]7
,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
. …………………………………………12分
【19】（1）根据题意，不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<，即方程2200x mx --=的两
根为2-和n ，则有()()2220n m n ⎧-+=⎪⎨-⨯=-⎪⎩
，，解可得10n =，8m =． ……………………………………5分
（2）正实数,a b 满足2na mb +=，即1082a b +=，变形有541a b +=， (6)
分
则()111145541459555b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， …………………………10分 当且仅当115a =，1
6b =时，取等号．∴
115a b
+的最小值为9． ……………………………12分 【20】（1）因为投入成本()210100,040
10000
7019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩
， 由题意，当040x <<时，()()2
70010100250W x x x x =-+-210600250x x =-+-；
当40x ≥时，()100007007019450250W x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭100009200x x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
，. ()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪
∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩. …………………………………………………………5分
（2）若040x <<，()()2
10308750W x x =--+，当30x =时，()max 8750W x =
万元 若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛
⎫=-++≤-= ⎪⎝
⎭，
当且仅当10000
x x
=
，即100x =时，()max 9000W x =万元. ∴2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. ………………12分
【21】（1）由于()f x 是二次函数，可设()2
f x ax bx c =++，
()()122f x f x x +-=-恒成立，
()()()2
21122a x b x c ax bx c x ∴++++-++=-恒成立，222ax a b x ++=-，又
()10f =，
0,1,22,3,2 2.a b c a a b a b c ++==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-=⎩⎩
()232f x x x ∴=-+； …………………………………………5分 （2）由题意可得，[]1
4x ∈，时，2232x x kx -+>，即223
1k x x
<-+， 令1t x =，则21()231,[,1]4k g t t t t <=-+∈，因为2
231()2312()48
g t t t t =-+=--，1[,1]4t ∈，
当34t =时，min 1()8g t =-，所以1
8
k <-. …………………………………………………………12分
【22】（1）① 10m +=，即1m =-时，()20f x x =-<解集不是空集，舍去， ……………1分 ② 10m +≠时，即1m ≠-时，2
10
4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨
∆=-+-≤⎩
，
即21340m m >-⎧⎨-≥⎩，
∴1
33m m m >-⎧⎪
⎨≤-
≥⎪⎩
，解得m ≥ ∴m
的取值范围是⎫
+∞⎪⎭
； ………………………………………………………………3分 （2）∵()f x m ≥化简得：[(1)1](1)0m x x ++-≥， …………………………………4分 ①10m +=时，即1m =-时，解集为{1}∣≥x x ， …………………………………5分 ②10m +>时，即1m >-时，1(1)01x x m ⎛
⎫
+
-≥ ⎪+⎝⎭
， 1011m -
<<+，解集为{1
|1
x x m ≤-+或}1x ≥， …………………………………6分 ③10+<m 时，即1m <-时，解集为1(1)01x x m ⎛
⎫
+-≤ ⎪+⎝
⎭
， ∵21m -<<-，∴110m -<+<，∴111m -
>+，∴解集为1|11x x m ⎧
⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭
. ………………7分
（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[1,1]D -⊆，
即对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即22(1)1m x x x -+≥-+恒成立
因为2
2131()024x x x -+=-+>，所以222
12111
x x
m x x x x -+-≥=-+-+-+…………………………9分 设2[1,3]t x =-∈，2x t =-
，所以22213133
3x t
x x t t t t -==
≤==-+-+
+-
当且仅当2t x ==-“=”，所以2211x y x x -=
-+
-+
的最大值为1
-=
所以m ≥…………………………………………………………………………………………………12分。