华东理工高等数学作业本第7次作业答案

华东理工高等数学作业本第7次作业答案
第2章（之6）第7次作业
教学内容：§2.2.4极限的运算法则E §2.2.5无穷小的比较**1．试求下列极限：
（1）x
x x 1
0211lim ??? ??+→；（2）11
1)313(lim -→++x x x x ；（3）x x x sin 2
0)31(lim +→;
（4）n
n
n x 2
sin
2lim ∞
→（x 为不等于零的常数）.
解：（1）
x
x x 1
0211lim ??? ??+→=2
2
21
1]
)21[(lim 1
e
x x x =
+→
（2） 2
1
32
1
32)1(2311
1
1
e lim 3221lim )
313(
lim ==??
+-+=+++→+?-+→-→x
x x
x x
x x x e
x x x
x .
（3）x
x x sin
2
)31(lim +→6
e =.
(4) 原式=x
x n
n
n =?
∞
→2
2lim .
**2．试求()x x f cos =的导数。

解：()()x x x x x f x ?-?+='→?cos cos lim 0x x x x x ????? ?
+-=→?2sin
2sin 2lim 0
2
2sin
2sin lim 0x x
x x x
+-=→?
2
2sin
lim 2sin lim 0
0x x
x x x x
+-=→?→?x sin -=，()()x x x f sin cos -=' ='∴.
**3。

的存在性
研究极限)0(cos 22lim >-→a x
ax
x .
解：
x ax x 2
sin
2lim
→=原式
a
x
ax x ax x x ==+
+
→→2sin
2lim
2
sin 2lim
a
x
ax x ax x x -=-=-
-
→→2sin
2lim
2
sin 2lim
，所以原极限不存在
由于左、右极限不相等.
4．选择题
**（1）时（）
，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x
x x βα
.
)()()(; )()()(; )()()(;
)()()(高阶的无穷小
是比高阶的无穷小是比是等价无穷小
与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与x x D x x C x x B x x A αββαβαβα
答：A
**(2)
在点
，则曲线为可导函数且满足设)(12)
()(lim
)(0
x f y x
x a f a f x f x =-=--→
处的切线斜率为， 2)(1)(1)(2)()
())((--D C B A a f a
分析：
1
)(2
1)
()(lim
2
12)
()(lim
-='=---=--→→a f x
a f x a f x
x a f a f x x ，
2)(-='∴a f .
)(D 答
**(3)设
x
x x f sin )2()(+=，则)(x f 在0=x 处 ( )
（A ）2)0(='f （B ）0)0(='f （C ）1)0(='f （D ）不可导=+=-→→2)2(sin lim )
0()(lim 00x x x x f x f x x
)
(A 答
***5．适当选取A 、k 的值，使下式成立：k
Ax x x ~sin 1tan 1+-+（当0→x ）.
解：
x x x
x x x
x x x x x sin 1tan 1)
cos cos 1(sin sin 1tan 1sin tan sin 1tan 1++ +-=
++
+-=
+-+
x x x x x cos )sin 1tan 1(2
sin
2sin 2
++
+?=
，
0→x
时，x x ~sin ，∴ 上式等价于 411)2(23
2
x
x x =+??，
3
,4
1==∴k A .
6．当0→x 时，试确定下列各无穷小对x 的阶数. *（1）2
310000x x +； **（2）3
1)
1(x x x +
解：（1）
10000
10000lim
2
2
30
=+→x
x
x x ，∴ 阶数为2。

（2）1
11lim
)1()1(lim
3
3
=+
+=?+
+→→x
x x
x x x x x ，∴ 阶数为1.
**7.
)
0.()(0001cos )()(→
=≠=x x x x x x
x x f 的高阶无穷小为其中，
，
，，设αα，
试证明函数)(x f 在0=x 点处可导. 证明：由于0→x 时，
x )
(α是无穷小量，
x 1
cos
是有界量，所以 lim
()()
lim
()
cos
x x f x f x
x x
x →→-=00
01α=0，
处可导在0)(=∴x x f .
***8.
之值
，，试确定设b a a x b x a x x )0(2
1)
cos (lim
2
2
2
>=
-+→.
解：
因lim
(cos )
x x
b x →+-=0 2
2
2
1
2
，则
lim
(cos )
x a x b x x →+-=0
2
2
2
2
，
则lim (cos ) ()x x a x b x x a b →?
+-=-=0
2
22
2
10
，得b =1，代回原式lim (cos )
x x
a x x →+-0
2
2
1=
=21
2
a
，为所求，故知14==b a .
***9. 设x
x
x x f 5tan )()(?=
，其中)(x ?在0=x 处可导，且1)0(,0)0(='=??，试证明
)0(,
5~)(→x x x f .
证明：
2
5tan )(lim
)(lim
x
x
x x
x f x x ?=→→?5)0(5)
0()(5tan lim
='=-?=→x x x x x ，
)0(5)(时为等价无穷小
与→∴x x x f .
***10.
．
求处可导，且
在，其中设)(lim ,0)0(0)()e 1(sin )()(0
2x f x x x
x
x x f x x
→==-=
解：
x
x x x x
x x f 20
0e
1sin )
0()(lim
)(lim -?
-=→→??='?-
=-
'??()()()
012
12
0.
***11. 求极限 n
n
n
n b
a )
2
(
lim +∞
→，（a >0，b >0）.
解：原式=n
n
n
n
b
n
a
b a
n
n
n b a
1/1/12
/1/12
2)
1()1(/1/1]
)
2
2
1[(lim ?-+-∞
→-+-++
=ab e
b a =
+)
ln (ln 2
1
.
***12. 设
1
29311110-+= n n a n ，试证明数列}
{n a 有极限，并求出
n
n a ∞
→lim 。

解：由于数列的极限存在与否与该数列的有限项无关，故我们从第10项开始考
虑，当
10≥n 时， 2120
1
2101
≤
++=
+n n a a n
n ， 10
10
2120-?
≤n n
a a ，
10
10
21200a a n n -?
≤≤，
∴
由夹逼定理知，数列
}
{n a 存在极限，且
lim =∞
→n n a .
注：本题也可利用“单调有界数列收敛定理”证明该数列收敛，再计算其极限.
***13. 设
),2,1(1
21,2110 =
+=
=--n x x x x n n n ，试证明数列}{n x 收敛，并求其
极限.
证明：显见
>n x ，且
1
1)1(2
11
11
1=?
≥
+
=
----n n n n n x x x x x ，
211
2
11≤-=
----n n n n x x x x ，
}{n x ∴单调下降，且有下界， n
n x ∞→∴lim 存在。

设此极限为A ，
对
)
1(2
11
1--+
=n n n x x x 两边取极限得：
)
1(2
1A
A A +=，解得 1=A （舍负根）.
所以 1
lim =∞
→n n x
***14. 证明数列2，22+，222++，…收敛，并求其极限. 解：1x =
2
，n 1n x 2x +=+（n =1，2，…）
利用数学归纳法证明数列{}n x 有界当n=1时， 1x =2< 2，
假定当n=k 时， k x <2, 则当n=k+1时， 2
221=+<
+=
+k k x 2x ，
,
2<∴
n x （n =1，2，…）
2)1)(2(2222
1>+++--
=++-+=
-+=
-+n
n n n n
n n
n n n n n x x x x x x x x x x x x
于是数列{}n x 递增.
由数列的单调有界收敛准则，得{}n x 收敛. 设
n
n x a ∞
→=lim ，
则由n
n x 2x +=
+1，取∞→n ，得a a +=2，解得a =2，（a = -1舍去）. 2
lim =∴
∞
→n n x .。