数学建模实验报告4

数学建模实验报告
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元件可靠性问题
一、实验问题：
给出3种不同情况的元件连接方式，分别求解他们的正常运行概率。

其中每个元件的正常运行概率均为p。

元件数为N，方式2与方式3用到了与A元件相同的N个B元件。

连接方式如图：方式1：
方式2：
方式3：
二、问题分析：
Ｎ个元件的连接方式，相当于电阻的串并联，所以可以用电阻
串并联的关系去分析各无件之间的关系：
对于方式一来说，相当于电阻的串联。

所以，他的正常运行的概率为p^n.
对于方式二来说，相当于电阻先串联再并联。

所以，他的正常运行的概率为：
1-(1-P^n)(1-P^n)=2P^n-P^2n.
对于方式三来说，相当于电阻先并联再串联。

所以，他的正常运行的概率为：
(1-(1-P^n)^2)^n=(2p-p^2)^n
现在再比较三个系统正常工作概率大小
P1- P2= p^n–(2p^n-p^2n )= p^2n–p^n 由于0<p<1,所以易知P^2n-P^n<０。

所以有P1< P2
P2- P3=(2p^n- p^2n)- (2p-p^2)^n= p^n［(2- p^n)-(2-p)^n］
因为p^n>0,所以只要比较［(2- p^n)-(2-p)^n］大小即可。

对此式求导有-n［p^(n-1)-(2-p)^n-1］可见此式恒大于零,所以函数单调递增。

当p=１时，［(2- p^n)-(2-p)^n］=0.所以P2- P3 <0，再由上求导可知所以P2<P3
所以P3最大。

即其的可靠性最高。

理发店问题
一、实验题目：
某单人理发店有４反椅子接待顾客排队理发，当４把椅子都坐满人时，后来的顾客就不进店而离去。

顾客平均到达速率为４人／Ｈ，理发时间平均10min/人。

设到达过程为泊松流，服务时间服从负指数颁布。

求：
（１）顾客一到达就能理发的概率；
（２）系统中顾客数的期望值和排队等待顾客数的期望值；
（３）顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值；
（４）在可能到达的顾客中因客满离开的概率。

二、问题分析：
此题类似于本节的第九题，所以可以如此分析。

设顾客到达的间隔时间和服务时间分别服从均值为１/a ,1/b的负指数分布，顾客的到达率为a，服务率为b。

现在计算任意时刻t内理发店里有n个顾客的概率p n(t)。

当△t充分小时，在［t,t+△t］内有一个顾客到达的概率为a△t，由一个顾客离去的概率为b△t，由两个及以上的顾客到达货离去的概率为△t高阶无穷小。

在t+△t时刻系统内有n个顾客的状态是由下列事件组成：
１．在t时刻有n个顾客，在［t,t+△t］内没有顾客到达，也没有顾客离去,概率为(1-a△t)(1-b△t)p n(t)；
２．在t时刻有n-1个顾客，在［t,t+△t］内有一个顾客到达，没有顾客离去概率为a△t(1-b△t)p n-1(t)；
３．在t时刻有n+1个顾客，在［t,t+△t］内有一个顾客离去，没有顾客到达，概率为(1-a△t)b△tp n+1(t)；
４．在t时刻有n个顾客，在［t,t+△t］内有一个顾客到达，同时也有一个顾客离去，概率为a△tb△tp n(t)。

所以p n(t)= (1-a△t)(1-b△t)p n(t)+ a△t(1-b△t)p n-1(t)+ (1-a△t)b△tp n+1(t)+ a△tb△tp n(t)=(1- a△t- b△t) p n(t)+ a△t(1-b△t)p n-1(t)+ (1-a△t)b△tp n+1(t)
再令△t趋于零可得
dp0(t)/dt=bp1(t)-ap0(t)
…
…
dp n(t)/dt=ap n-1(t)+bp n+1(t)-(a+b)p n(t), n=1,2…
此是由无限个方程组成的微分方程组，要解释很麻烦。

可是我们可以求系统经过很长时间后的稳态解。

即设当t充分大事，系统的概率分布不随时间变化而变化。

在稳态时，dp n(t)/dt=0，p n(t)= p n所以有bp1(t)-ap0(t)=0
…
…
ap n-1(t)+bp n+1(t)-(a+b)p n(t)=0 n=1,2,…
解上式得
p n=(a/b)n p0 n=1,2,…
再由概率的性质p0+p1+…+p n=1 有
当0<a/b<时得
p n=(a/b)n(1-a/b) n=1,2,…有题意得a=1/15,b=1/10
1.顾客一到就能理发的概率为p0=1/3
2.系统中顾客数的期望值为
p1+2p2+3p3+4p4=262/241
排队等待的顾客数的期望值为
p2+2p3+3p4=44/81
3.顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值为
10p2+20p3+30p4=440/81
4.在可能到达的顾客中因客满离开的概率为
p5+p6+…+p n=1-p0-p1-p2-p3-p4=32/243。