两条直线的交点坐标两点间的距离公式
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(1)判断△ ABC的形状； (2)求△ ABC的面积．
[解] (1)法一.∵|AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， |AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |BC|＝ (1－3)2＋(7＋3)2＝ 104＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二.∵kAC＝1－7－(－13)＝32，kAB＝3－－3(－－13)＝－23， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S△ ABC＝12|AC|·|AB|＝12×( 52)2＝26， 即△ ABC 的面积为 26.
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1或5
解析：∵|AB|＝ (a＋2)2＋(3＋1)2＝5，
∴a＝－5或a＝1. 答案：C
() ()
()
3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的
距离是
()
[对点练清] 1．[变条件]在本例条件中将“与直线 3x＋y－1＝0 平行”改为“垂直”，其他
不变，又该如何求解？
解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75.
又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为
1 3
，因此所求直线的方
程为y＋75＝13x＋35，即5x－15y－18＝0.
二、应用性——强调学以致用 2．某地 A，B 两村在一直角坐标系下的位置分别为 A(1,2)，B(4,0)，一条河所在
直线的方程为 l：x＋2y－10＝0.若在河上建一座供水站 P，使分别到 A，B 两村的管道之和最省，问供水站 P 应建在什么地方？ [析题建模] 根据两点间的距离公式以及点的对称性建立方程组求解即可． 解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，如图． 在直线l上任取除点P以外的一点P′， ∵|AP′|＋|P′B|＝|A′P′|＋|P′B|>|A′B|，∴P点即为所求．
知识点一 两条直线的交点坐标 (一)教材梳理填空 1．两直线的交点坐标
几何元素及关系 点A 直线 l
点 A 在直线 l 上
代数表示 A(a，b) l：Ax＋By＋C＝0 __A_a_＋__B_b_＋__C__＝__0_
x＝a， 直线 l1 与 l2 的交点是 A 方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解是___y_＝__b____
2.两直线的位置关系 方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解 直线l1与l2的公共点个数 直线l1与l2的位置关系
一组 无数组 无解
一个 __无__数__个__ 零个 _相__交__ 重合 _平__行__
(二)基本知能小试
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是
A．(2,2)
[方法技巧] 解决与交点有关问题的策略
(1)采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据其他条件求 出斜率，由点斜式写出直线方程．
(2)采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方 程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为常数)，直接设出过两直线交点 的方程，再根据其他条件求待定系数．
2．若三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． 解：解方程组42xx＋ －y3＝y＝141，4， 得xy＝＝－4，2， 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋ 2×(－2)＋7＝0，解得a＝－34.
ba8·×－a2＋436＝×b2－＝12，5， 解得ab＝ ＝43， ， ∴A 的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组y8＝x＋3，6y＝25，
解得x＝78， y＝3.
又反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3x≤78.
题型三 用“坐标法”解决平面几何问题 [学透用活]
坐标法解决平面几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐 标系．坐标系建立得是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则 主要有两点：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条直线，要考虑将它们作为坐标轴；如果 图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将 对称轴作为坐标轴．
法二.待定系数法 设所求直线为 l， 因为直线 l 过已知两直线的交点，因此直线 l 的方程为 2x－3y－3＋μ(x ＋y＋2)＝0(其中 μ 为常数)， 即(μ＋2)x＋(μ－3)y＋2μ－3＝0. 又直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以－μμ＋ －23＝－3 且μ＋3 2≠2μ－－13，解得 μ＝121. 将 μ＝121代入上式，并整理，得 15x＋5y＋16＝0，即为所求．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．试求直线l1：x＋y－1＝0关于直线l2：3x－y－3＝0对称的直线l的方程．
解：法一.动点转移法
在 l1 上任取一点 P(x′，y′)(P ∉ l2)， 设点 P 关于 l2 的对称点为 Q(x，y)，
则x3y′′×－ －x′yx＋2＝x－－13y′＋2 y－3＝0，
x′＝－4x＋53y＋9， ⇒ y′＝3x＋54y－3.
又点 P 在 l1 上运动，所以 x′＋y′－1＝0， 所以－4x＋53y＋9＋3x＋54y－3－1＝0，即 x－7y－1＝0，
所以直线 l 的方程是 x－7y－1＝0.
法二.取特殊点法
解方程组x3＋ x－y－y－1＝ 3＝0， 0， 得xy＝＝01，，
故直线 l1，l2 的交点为 A(1,0)．在 l1 上取点 P(2，－1)， 设点 P 关于 l2 的对称点为 Q(x′，y′)，
则3xy′×′＋－x′12＋2＝2－－13y′＋2－ －3＝0，
x′＝－25， ⇒ y′＝－15.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x＋6y＝25 反射后通过点 P(－
4,3)，求反射光线的方程． 解：如图，设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直 线 OA 与 l 垂 直 ， 以 及 线 段 AO 的 中 点 在 l 上 得
[方法技巧] 利用坐标法解决平面几何问题的4步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
[对点练清] 用坐标法证明：四边形 ABCD 是长方形，对任一点 M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2 ＋|DM|2 成立． 证明：取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为 x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)， D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)， 则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， 所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[典例1] 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y －1＝0平行的直线方程．
[解] 法一.直接法
解方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0， 得yx＝＝－－7535，，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又因为所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以所求直线的斜率为－3， 则 y－－75＝－3x－－35， 故所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
2．3 直线的交点坐标与距离公式 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平 行线间的距离. 3.在求两直线交点坐标的过程中，提升数学运算素养. 4.在推导距离公式及其应用过程中，发展逻辑推理、数学运算素养.
2．3.1 & 2.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
|P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 . 2．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝
x2＋y2 .
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1) (x－1)2＋y2表示的是平面内点P(x，y)到点(1,0)的距离．
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．
答案：(1)√ (2)×
[典例3] 在△ ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． [证明] 以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立平面 直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
设A′(a，b)，则aba＋－－2 121＋·－2·12b＋＝2 2－－11，0＝0，
即ba＝＋22ab，＝15， 解得a＝3，b＝6，即A′(3,6)． 直线A′B的方程为6y－－00＝x3－－44，即6x＋y－24＝0. 由6xx＋＋2yy－－2140＝＝00，， 解得x＝3118，y＝3116. 即P3118，3116， 故供水站P应建在点3118，3116处，才能使管道之和最省．
B．(1,1)
C．(1,2)
D．(2,1)
答案：C
2．在下列直线中，与直线x＋3y－4＝0相交的直线为
A．x＋3y＝0
B．y＝－13x－12
C.x2＋3y＝1
D．y＝－13x＋4
答案：C
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知识点二 两点间的距离公式 (一)教材梳理填空 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
题型二 两点间距离公式及应用 [学透用活]
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式既可以写成 |P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 ，也可以写成|P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2 .利用 此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．
[典例2] 如图，已知△ ABC的三顶点A(－3,1)， B(3，－3)，C(1，7)．
A．2
B．4
C．5
D． 17
解析：根据中点坐标公式得到
x－2 2
＝1且
5－3 2
＝y，解得x＝4，y＝1，所
以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝ (4－0)2＋(1－0)2 ＝
17. 答案：D
题型一 两条直线的交点坐标 [学透用活]
已知两条直线方程，求直线的交点坐标，实际上就是解二元一次方程组 的问题；已知交点坐标求直线方程中参数的值时的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊 情况求解．
[对点练清] 试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等． 解：由直线x－y＋4＝0，得y＝x＋4，因为点P在该直线上，所以可设P点的 坐标为(a，a＋4)． 由已知|PM|＝|PN|， 所以 [a－(－2)]2＋[a＋4－(－4)]2 ＝ (a－4)2＋(a＋4－6)2， 即 (a＋2)2＋(a＋8)2＝ (a－4)2＋(a－2)2. 所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2. 解得a＝－32，从而a＋4＝－32＋4＝52. 所以P－32，52.
[解] (1)法一.∵|AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， |AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |BC|＝ (1－3)2＋(7＋3)2＝ 104＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二.∵kAC＝1－7－(－13)＝32，kAB＝3－－3(－－13)＝－23， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S△ ABC＝12|AC|·|AB|＝12×( 52)2＝26， 即△ ABC 的面积为 26.
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1或5
解析：∵|AB|＝ (a＋2)2＋(3＋1)2＝5，
∴a＝－5或a＝1. 答案：C
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3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的
距离是
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[对点练清] 1．[变条件]在本例条件中将“与直线 3x＋y－1＝0 平行”改为“垂直”，其他
不变，又该如何求解？
解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75.
又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为
1 3
，因此所求直线的方
程为y＋75＝13x＋35，即5x－15y－18＝0.
二、应用性——强调学以致用 2．某地 A，B 两村在一直角坐标系下的位置分别为 A(1,2)，B(4,0)，一条河所在
直线的方程为 l：x＋2y－10＝0.若在河上建一座供水站 P，使分别到 A，B 两村的管道之和最省，问供水站 P 应建在什么地方？ [析题建模] 根据两点间的距离公式以及点的对称性建立方程组求解即可． 解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，如图． 在直线l上任取除点P以外的一点P′， ∵|AP′|＋|P′B|＝|A′P′|＋|P′B|>|A′B|，∴P点即为所求．
知识点一 两条直线的交点坐标 (一)教材梳理填空 1．两直线的交点坐标
几何元素及关系 点A 直线 l
点 A 在直线 l 上
代数表示 A(a，b) l：Ax＋By＋C＝0 __A_a_＋__B_b_＋__C__＝__0_
x＝a， 直线 l1 与 l2 的交点是 A 方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解是___y_＝__b____
2.两直线的位置关系 方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解 直线l1与l2的公共点个数 直线l1与l2的位置关系
一组 无数组 无解
一个 __无__数__个__ 零个 _相__交__ 重合 _平__行__
(二)基本知能小试
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是
A．(2,2)
[方法技巧] 解决与交点有关问题的策略
(1)采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据其他条件求 出斜率，由点斜式写出直线方程．
(2)采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方 程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为常数)，直接设出过两直线交点 的方程，再根据其他条件求待定系数．
2．若三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． 解：解方程组42xx＋ －y3＝y＝141，4， 得xy＝＝－4，2， 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)． 由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋ 2×(－2)＋7＝0，解得a＝－34.
ba8·×－a2＋436＝×b2－＝12，5， 解得ab＝ ＝43， ， ∴A 的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组y8＝x＋3，6y＝25，
解得x＝78， y＝3.
又反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3x≤78.
题型三 用“坐标法”解决平面几何问题 [学透用活]
坐标法解决平面几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐 标系．坐标系建立得是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则 主要有两点：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条直线，要考虑将它们作为坐标轴；如果 图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将 对称轴作为坐标轴．
法二.待定系数法 设所求直线为 l， 因为直线 l 过已知两直线的交点，因此直线 l 的方程为 2x－3y－3＋μ(x ＋y＋2)＝0(其中 μ 为常数)， 即(μ＋2)x＋(μ－3)y＋2μ－3＝0. 又直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以－μμ＋ －23＝－3 且μ＋3 2≠2μ－－13，解得 μ＝121. 将 μ＝121代入上式，并整理，得 15x＋5y＋16＝0，即为所求．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．试求直线l1：x＋y－1＝0关于直线l2：3x－y－3＝0对称的直线l的方程．
解：法一.动点转移法
在 l1 上任取一点 P(x′，y′)(P ∉ l2)， 设点 P 关于 l2 的对称点为 Q(x，y)，
则x3y′′×－ －x′yx＋2＝x－－13y′＋2 y－3＝0，
x′＝－4x＋53y＋9， ⇒ y′＝3x＋54y－3.
又点 P 在 l1 上运动，所以 x′＋y′－1＝0， 所以－4x＋53y＋9＋3x＋54y－3－1＝0，即 x－7y－1＝0，
所以直线 l 的方程是 x－7y－1＝0.
法二.取特殊点法
解方程组x3＋ x－y－y－1＝ 3＝0， 0， 得xy＝＝01，，
故直线 l1，l2 的交点为 A(1,0)．在 l1 上取点 P(2，－1)， 设点 P 关于 l2 的对称点为 Q(x′，y′)，
则3xy′×′＋－x′12＋2＝2－－13y′＋2－ －3＝0，
x′＝－25， ⇒ y′＝－15.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x＋6y＝25 反射后通过点 P(－
4,3)，求反射光线的方程． 解：如图，设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直 线 OA 与 l 垂 直 ， 以 及 线 段 AO 的 中 点 在 l 上 得
[方法技巧] 利用坐标法解决平面几何问题的4步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
[对点练清] 用坐标法证明：四边形 ABCD 是长方形，对任一点 M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2 ＋|DM|2 成立． 证明：取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为 x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)， D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)， 则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， 所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[典例1] 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y －1＝0平行的直线方程．
[解] 法一.直接法
解方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0， 得yx＝＝－－7535，，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又因为所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以所求直线的斜率为－3， 则 y－－75＝－3x－－35， 故所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
2．3 直线的交点坐标与距离公式 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平 行线间的距离. 3.在求两直线交点坐标的过程中，提升数学运算素养. 4.在推导距离公式及其应用过程中，发展逻辑推理、数学运算素养.
2．3.1 & 2.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
|P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 . 2．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝
x2＋y2 .
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1) (x－1)2＋y2表示的是平面内点P(x，y)到点(1,0)的距离．
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．
答案：(1)√ (2)×
[典例3] 在△ ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． [证明] 以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立平面 直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
设A′(a，b)，则aba＋－－2 121＋·－2·12b＋＝2 2－－11，0＝0，
即ba＝＋22ab，＝15， 解得a＝3，b＝6，即A′(3,6)． 直线A′B的方程为6y－－00＝x3－－44，即6x＋y－24＝0. 由6xx＋＋2yy－－2140＝＝00，， 解得x＝3118，y＝3116. 即P3118，3116， 故供水站P应建在点3118，3116处，才能使管道之和最省．
B．(1,1)
C．(1,2)
D．(2,1)
答案：C
2．在下列直线中，与直线x＋3y－4＝0相交的直线为
A．x＋3y＝0
B．y＝－13x－12
C.x2＋3y＝1
D．y＝－13x＋4
答案：C
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知识点二 两点间的距离公式 (一)教材梳理填空 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
题型二 两点间距离公式及应用 [学透用活]
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式既可以写成 |P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 ，也可以写成|P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2 .利用 此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．
[典例2] 如图，已知△ ABC的三顶点A(－3,1)， B(3，－3)，C(1，7)．
A．2
B．4
C．5
D． 17
解析：根据中点坐标公式得到
x－2 2
＝1且
5－3 2
＝y，解得x＝4，y＝1，所
以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝ (4－0)2＋(1－0)2 ＝
17. 答案：D
题型一 两条直线的交点坐标 [学透用活]
已知两条直线方程，求直线的交点坐标，实际上就是解二元一次方程组 的问题；已知交点坐标求直线方程中参数的值时的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊 情况求解．
[对点练清] 试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等． 解：由直线x－y＋4＝0，得y＝x＋4，因为点P在该直线上，所以可设P点的 坐标为(a，a＋4)． 由已知|PM|＝|PN|， 所以 [a－(－2)]2＋[a＋4－(－4)]2 ＝ (a－4)2＋(a＋4－6)2， 即 (a＋2)2＋(a＋8)2＝ (a－4)2＋(a－2)2. 所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2. 解得a＝－32，从而a＋4＝－32＋4＝52. 所以P－32，52.