17届高二理数上期末考试题及答题卷

2015—2016学年上期末考 17届 高二理科数学试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟．
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）
A ．对任意R x ∈，使得2
0x < B ．存在0R x ∈，使得2
00x < C ．存在0R x ∈，都有2
00x ≥ D ．不存在R x ∈，使得2
0x <
2．抛物线22y x =的准线方程是（ ）
A ．12x =-
B ．12x =
C ．18y =-
D ．18y =
3．以棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,,AB AD AA 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形11AA B B 的对角线交点的坐标为（ ）
A ．1
1(,0,)22 B ．11(0,,)22 C ．11(,,0)22 D ．111(,,)222
4．在等差数列{}n a 中，已知4816a a ＋＝，则2610a a a ＋+＝（ ） A ．20 B ．24 C ．28 D ．32
5．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．7330b c C ＝，＝，＝ B ．203030a b C ＝，＝，＝ C ．42360b c C ＝，＝，＝ D ．5445b c C ＝，＝，＝ 6．下列命题正确的是（ ）
①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,OA OBOC ，不构成空间的一组基底，那么点,,,O A B C
一定共面；
③已知向量,,a b c 是空间的一组基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一组基底． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
7．已知F 是双曲线C ：223(0)y mx m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
22 D ．33
8．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++
+=-，则
2212a a ++223n a a +
+=（ ）
A ．(
)
2
21
n
- B ．
()1213n - C ． ()1413n -
D ．()41n
- 9．已知ABC ∆，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin ac A <BA BC ⋅, 则( ) A ．ABC ∆是钝角三角形 B ．ABC ∆是锐角三角C ．ABC ∆是直角三角形 D ．无法判断
10．设y x ,满足223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
，若22
4x y a +≥ 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A ．
12 B ．34 C ．4
5
D ．56
11．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，且6542a a a =+，则14
m n
+的最小值是（ ） A ．
32 B ．2 C ．73 D ．256
12．设1
F ，2F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以1F ，2F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
19
3 B ． 213 C ．73 D ．73
3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知O 是空间中任意一点，,,,A B C D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且
234OA xBO yCO zDO =++，则234x y z ++=________．
14．已知F 是抛物线2
y x ＝的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF ＋＝，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．
15．若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C ︒＝，则a b +的最小值为________．
16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015,n a =则n = ．
1
2345
6
7
8
9
10111213141516
17181920212223242526272829303132333435
36
12
457
91012
14161719
21
2325
26
283032
34
36
图甲 图乙
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数2
()f x ax c =-，且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤，求(3)f 的取值范围 18．（本小题满分12分）
设:p 实数x 满足2
2
430x ax a -+<，其中0a >．命题:q 实数x 满足2
260,
280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩
（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知4
A π
=
，
sin()sin().44
b C
c B a ππ
+-+=
（Ⅰ）求证：2
B C π
-=
；
（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积．
20．（本小题满分12分）
已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和414S =，3a 是17a a ，的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和，若11n n T a λ+≤对一切*N n ∈恒成立，求实数λ
的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且21AD AB ==，，
PA ABCD E F ⊥平面，、分别是线段AB BC 、的中点．
（Ⅰ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面
PFD ；
（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角A PD F --的平面角的余弦值．
22． （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2
Q , 在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ∆的最大值．
2015—2016学年上期末考17届高二数学答案卷
题号一二
三
总分17 18 19 20 21 22
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．_________________．14．___________________．
15．__________________．16．___________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）
解：
解：
19．（本小题满分12分）
解：
座号
解：
21．（本小题满分12分）解：
解：
2015—2016学年上期末考 17届 高二理科数学答案
一、单项选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
C
A
B
D
C
A
C
A
C
A
B
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．_____-1_________________． 14．_______
5
4
____________． 15．____
43
3
______________． 16．______1030_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） 解：120x -≤≤
18.（本小题满分12分） . (1)23x <<(2)12a <≤ 19. （本小题满分12分）
解： (1)证明 由b si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c si n ⎝⎛⎭
⎫π4＋B ＝a ， 应用正弦定理，得si n B si n ⎝⎛⎭⎫π4＋C －si n C si n ⎝⎛⎭
⎫π4＋B ＝si n A ， si n B ⎝
⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －si n C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22 sin B ＋22cos B ＝22， 整理得si n B cos C －cos B si n C ＝1，即si n (B －C )＝1，
由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π
2.
(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π
8.
由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2si n 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2si n π
8，
所以△ABC 的面积S ＝12bc si n A ＝2si n 5π8si n π8＝2cos π8·si n π8＝1
2. 20. （本小题满分12分）
解：解 (1)设公差为d ，由已知得，
⎩
⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，
解得d ＝1或d ＝0(舍去)，
∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.
(2)∵1a n a n ＋1＝111(1)(2)12
n n n n =-++++， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝2(2)n n +，
∵T n ≤1
λa n ＋1，∴
2(2)
n
n +≤1λ(n ＋2)，
即λ≤2（n ＋4n ＋4），又2（n ＋4
n ＋4）≥2×(4＋4)＝16，∴λ的最大值为16. 21. （本小题满分12分）
解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
则A(0,0,0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0). 不妨令P(0，0，t)，
存在.设平面PFD 的一个法向量为n =(x,y,z),结合(1),
由n PF 0n DF 0
⎧=⎪⎨=⎪⎩，得x y tz 0x y 0+-=⎧⎨-=⎩,
令z=1,解得：x=y=t 2.∴t t
n (,,1)22
=.
设G 点坐标为(0,0,m),E(12,0,0),则EG =(1
2
-，0，m)，
要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n =0，即1t t t
()01m m 02224
-⨯+⨯+⨯=-=,
得1m t 4=，从而满足1
AG AP 4
=的点G 即为所求
.
(2)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB =(1，0，0)， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，
得∠PBA=45°,PA=1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n =(11
122
，，)， ∴1AB n 62cos<AB n>6|AB ||n |11144===++，，由题意知二面角A-PD-F 为锐二面角. 故所求二面角A-PD-F 的平面角的余弦值为
66. 22. （本小题满分12分）
解：（1）设椭圆方程为22221x y a b
+=，由题意知222112a b += ① 又2232
c a b e a a -=== ② 联立①②解得，224,1a b ==，
所以椭圆方程为2
214
x y +=。

（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y kx m =+，
1122(,),(,)A x y B x y ，由2
214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得 222(14)84(1)0k x km m +++-=。

2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k +=-+， 因为直线,,OA AB OB 的斜率依次成等差数列，所以1212
2y y k x x +=，即
1221122x y x y kx x +=，又y kx m =+，所以12()0m x x +=，即0m = 联立22,1,4
y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩易得弦AB 的长为224114k k ++， 又点M 到直线y kx =的距离2|1|
1k d k -=+， 所以，2238141
k S k -=++由函数的单调性，当14k =-时，此时，S 取最大值5。