人教版九年级数学上册课堂随堂练习：22.3 实际问题与二次函数(含答案)

22.3 实际问题与二次函数
基础题
1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为
A．5000元B．8000元
C．9000元D．10000元
2．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y＝−1
25
x2，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的
高度DO等于
A．2m B．4m
C．10m D．16m
3．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是
A．16平方米B．18平方米
C．20平方米D．24平方米
4．如图，已知抛物线y=-x2+3x的对称轴与一次函数y=-2x的图象交于点A，则点A的坐标为__________．
5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°<x≤90°）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为
A．18°B．36°
C．41°D．58°
6．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m时，拱高为2 m，一艘木船宽2 m．要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3 m，那么木船的高不得超过__________m．
7．商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨2元，则每周就会少卖出10件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y 元.
（1）求x与y的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2400元？
8．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AB的长为多少米？
能力题
1．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为
A．1.5 m B．1.625 m
C．1.66 m D．1.67 m
2．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB=x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y的最大值为__________．
3．图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为__________米．
4．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，确定抛物线解析式；
（2）求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax x c =++与y 轴交于点(05)A ，
，与x 轴交于点E B ，，点B 坐标为（5，0）．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．
参考答案
基础题 1．【答案】C
【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x -100），单件利润为：（x -90），由题意得，W =（x -90）[500-10（x -100）]=-10x 2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000，故可得当x =120时，W 取得最大，为9000元，故选C ． 2．【答案】B
【解析】根据题意B 的横坐标为10，把x =10代入y =–
125
x 2
，得y =–4， ∴A （–10，–4），B （10，–4），即水面与桥拱顶的高度DO 等于4m ．故选B ． 【名师点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 3．【答案】B
【解析】设AB =x ，则BC =12–2x ，
得矩形ABCD 的面积：S =x （12–2x ）=–2x 2+12x =–2（x –3）2
+18，
即矩形ABCD 的最大面积为18平方米，故选B ．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x =−2b
a
时取得． 4．【答案】（
3
2
，-3） 【解析】抛物线y =-x 2
+3x 的对称轴为：322b x a =-
=，当32x =时，y =3232-⨯=-．点A 的坐标为（32
， -3）．故答案为：（3
2
，-3）． 5．【答案】C
【解析】由图象可得，该函数的对称轴x ＞
1854
2
+且x <54，∴36<x <54，故选C ． 【名师点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．【答案】1.2
【解析】以水面所在水平线为x 轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y 轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A （-2，0），B （2，0），C （0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y =a （x +2）（x -2）代入点C 坐标，求得a =-
12，即抛物线的解析式为y =-1
2
（x +2）（x -2），令x =1，解得y =1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米．故答案为：1.2．
7．【解析】（1）由题意得：
y =（40+x –30）（180–5x ）=–5x 2+130x +1800（0≤x ≤10）；
（2）由题意得：–5x 2
+130x +1800=2400，
解得x =6或20（不符合题意，舍去）， ∴售价为40+6=46（元）．
答：售价为46元时，每周利润恰好是2400元．
【名师点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系，学会构建二次函数解决问题．
8．【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB 为x 米，则BC 为（24-3x ）米．
这时面积S =x （24-3x ）=-3x 2
+24x ．
∵0<24-3x ≤10，∴
14
3≤x <8， 即自变量的取值范围是14
3
≤x <8．
（2）由条件-3x 2+24x =45化为x 2
-8x +15=0，
解得x 1=5，x 2=3， ∵
14
3
≤x <8，∴x =3不合题意，舍去， 即花圃的宽AB 为5米． 能力题 1．【答案】B
【解析】设所求的函数的解析式为y =ax 2
+bx +c ，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，
易求其解析式为y =-16x 2+13x +3
2
，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625 m ．故选B ． 2．【答案】300
303040AD x -=，解得12034
x
AD -=，故y =AD ·AB x =20时，即y 的最大值为300 m 2．故
答案为：300 m2．
3．【答案】2.88
【解析】设y=a（x–1.6）2+2.5．
由题得灯柱AB的高度为1.5米，
∴把x=0，y=1.5代入上式得，1.5=a（0–1.6）2+2.5．
解得，a=–
1 2.56
．
∴y=–
1
2.56
（x–1.6）2+2.5．
又∵DE的高为1.86米，
∴当y=1.86时，则–
1
2.56
（x–1.6）2+2.5=1.86，
解得，x=2.88或x=0.32（舍去），
故答案为：2.88．
【名师点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力．
4．【解析】（1）如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），
设抛物线的解析式为y=a（x–1）2+3.6，
将点A（0，2）代入，得：a+3.6=2，
解得：a=–1.6，
则抛物线的解析式为y=–1.6（x–1）2+3.6，
（2）当y=0时，有–1.6（x–1）2+3.6=0，
解得：x=–0.5（舍）或x=2.5，
∴BC=2.5．
答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m．
【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．
5．【解析】（1）把点(05)A ，
，点B 坐标为（5，0）代入抛物线24y ax x c =++中， 得525450c a c =⎧⎨
+⨯+=⎩，解得15
a c =-⎧⎨=⎩，
∴抛物线的解析式为：2
2
45(2)9y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为（2，9）．
（2）设直线AB 的解析式为：y mx n =+，
∵(05)A ，
，B （5，0）， 550n m n =⎧⎨
+=⎩，解得1
5m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AB 的解析式为：5y x =-+，
设2
(45)P x x x -++，
，则(5)D x x -+，， ∴22
(45)(5)5PD x x x x x =-++--+=-+，
∵点C 在抛物线上，且纵坐标为5，∴(45)C ，
， ∴4AC =，
∵20-<，∴S 有最大值，
∴当5x =时，S 有最大值为252，。