南通市启东中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含解析

江苏省启东中学2022-2023学年度高三第一学期第一次月考
一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.）
1.已知集合{}
1,2A =，
{
}220
B x x mx =+-=，若{}1A B ⋂=，则B =（
）A.{}
1,3 B.
{}
1 C.
{}1,2- D.
{}
1,1,2-2.若1i z =-+，设z
z
ω=，则ω=（）
A.
12
B.1
C.
32
D.2
3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e
kt
θθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为
环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）
A.
ln 2
20
B.
ln 320 C.ln 210
-
D.ln 310
-
4.已知平面α和平面β不重合，直线m 和n 不重合，则//αβ的一个充分条件是（）.
A .
,m n αβ⊂⊂且//m n
B.,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα
C.//,//m n αβ且//m n
D.,m n αβ⊥⊥且//m n
5.设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（
）
A.偶函数，又是周期函数
B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数
D.奇函数，但不是周期函数6.若()1
tan
022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425
B.
1516 C.15
16
-
D.2425
-
7.在ABC 中,120BAC ∠=
,AD 为BAC ∠的平分线,2AB AC =,则
AB
AD
=（）
A.2
B.
C.3
D.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）
A.a c b
<< B.c b a
<< C.b c a
<< D.c a b
<<二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象如图所示，则（
）
A.
2ω= B.6π=
ϕC.对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为
3
π10.已知,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+
，则xy 的值可以是
（）
A.
19
B.
29
C.
14
D.
13
11.公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，202120221
01
a a -<-.
则下列结论正确的是（）
A.01q <<
B.202120231a a ⋅>
C.n S 的最大值为2023
S D.n T 的最大值为2021
T 12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()2
4f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，
()4f x x '<，若()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（
）
A.－1
B.1
3
-
C.
12
D.1
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数列{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.
14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，7BC =AO BC ⋅=
________
．
15.三棱锥P ABC -中，2PA AB PB AC ====，22CP =D 是侧棱PB 的中点，且7CD =则三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积___________.
16.不等式2
20x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数()243x
f x x a
-=
-，a R ∈.（1）若()y f x =在()()
1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,
上的最大值.18.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2
BAD π
∠=
，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.
（1）求BEC ∠的大小；
（2）若BCE 的面积S 为BC .
19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M 在1DD 上，且1B D ⊥平面ACM
.
（1）求
1
DM
DD 的值；（2）求二面角D AC M --的正弦值.
20.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有2
2(n n n pS a pa =+其中
0p >，且p 为常数)，记数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n
H （1）求数列{}n a 的通项公式及n H （2）当
=2p 时，将数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围
21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2
，点A ，B ，C 分别为Γ的上，左，右顶点，且||4BC =.
（1）求Γ的标准方程；
（2）点D 为线段AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.
22.已知函数()e x
f x x x =-．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当0x >时，()ln 1f x x -≥．
2022-2023学年度江苏省启东中学高三第一学期第一次月考
一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合{}1,2A =，
{}
2
20
B x x mx =+-=，若
{}
1A B ⋂=，则
B =（
）
A.
{}
1,3 B.
{}1 C.
{}1,2- D.
{}
1,1,2-【答案】C 【解析】【分析】分析可知1B ∈，根据根与系数的关系求出m 的值，进而可求得集合B .
【详解】因为
{}1A B ⋂=，所以1B ∈，把1x =代入220x mx +-=得1m =，
所以
{}
{}2201,2B x x x =+-==-，故选：C.2.若
1i z =-+，设z
z
ω=
，则
ω=（
）
A.
12
B.1
C.
32
D.
2
【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数
ω，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】()()()
2
1i 1i i 1i 1i 1i z z ω----====-+-+--，所以1ω=.故选：B.
3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：
()100e kt θθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ）
，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度）
，假设在室内温度为20C o 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（）
A.
ln 2
20
B.
ln 320
C.
ln 210
-
D.
ln 310
-
【答案】A 【解析】【分析】把
020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+可求得实数k 的值.
【详解】由题意，把
020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt θθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得
201e 2k -=
，所以，20ln 2k -=-，因此，ln 2
20
k =.故选：A.4.已知平面
α和平面β
不重合，直线m 和n 不重合，则
//αβ的一个充分条件是（
）.
A.
,m n αβ⊂⊂且//m n B.
,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα
C.//,//m n αβ且//m n
D.
,m n αβ⊥⊥且//m n
【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.
【详解】A ．若
,m n αβ⊂⊂且//m n ，此时α和β
可以相交或平行，故错误；
B ．若
,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，此时
α和β
可以相交或平行，故错误；
C ．若
//,//m n αβ且//m n ，此时α和β
可以相交或平行，故错误；
D ．若,m
n αβ⊥⊥且//m n ，则有m β⊥，两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行，所以//αβ，故正确；故选：D.
5.设
()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（
）
A.偶函数，又是周期函数
B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数
D.奇函数，但不是周期函数
【答案】C 【解析】【分析】利用题中条件推导出
()()4f x f x =+，()()f x f x -=-，即可得出结论.
【详解】因为
()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，
所以
()()()()()()()211112f x f x f x f x f x -=+-=--==-+，
所以
()()()24f x f x f x +=-+=-，故()()4f x f x =+，所以()f x 周期为4，
因为
()()()()()()()42222f x f x f x f x f x -=-=+-=---=-，所以()f x 是奇函数.故选：C.
6.若()1
tan
022θθπ=<<，则sin 2θ的值为（）A.2425 B.1516 C.1516
- D.2425-
【答案】A 【解析】【分析】根据正切的倍角公式，求得tan θ，再利用正弦的倍角公式将sin 2θ转化为齐次式，结合同角三角函数关系即可求得
结果.【详解】因为2
2tan
42tan 3
1tan 2
θ
θθ=
=-，
又2222sin cos 2tan 24
sin 2sin cos tan 125
θθθθθθθ===
+.故选：A .
7.在
ABC
中,120BAC
∠= ,
AD 为BAC
∠的平分线,
2AB AC
=,则
AB
AD
=（）
A.
2
B.
C.
3
D.
【答案】C 【解析】【分析】利用ABC ABD ACD S S S =+ ,得到AB
和
AD
大小关系,即可得到结果.
【详解】
ABC ABD ACD S S S =+ ,且120BAC ∠= ,AD 为BAC ∠的平分线,
∴1211sin sin sin 232323
AB AC AB AD AC AD πππ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,
即
AB AC AB AD AC AD
⋅=⋅+⋅,(*)
2AB AC =,
∴
(*)式可化为:
13
22
AB AD =,即
3AB AD
=.故选:C.
8.已知
2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（
）
A.
a c b
<< B.
c b a
<< C.
b c a
<< D.
c a b
<<【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c
的大小关系，利用指数函数的单调性可得出
b 、
c 的大小关系，
构造函数()ln x
f x x
=，
利用函数
()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.
【详解】因为
2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，
构造函数
()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x
-'=，当0e x <<时，()0f x '>，
故函数
()f x 在()0,e 上为增函数，
因为
0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即
ln 2.1ln 2.2
2.1 2.2
<
，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即
2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.
故选：B.
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.函数
()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象如图所示，则（
）
A.
2
ω= B.
6
π
=
ϕ C.对任意的
x 都有()512f x f π⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
D.()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为
3π【答案】AB 解析】【分析】利用图象求得函数
)f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.
【详解】由题图可知函数
()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，则
22π
ωπ
=
=，
所以，
()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入得1sin 3πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得
()26k k Z π
ϕπ=
+∈，2πϕ< ，6π
ϕ∴=，则AB 选项均正确；
()sin 26f x x π⎛
⎫+ ⎝
=⎪⎭，当512x π=
时，
()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
，C 错误；
[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤
∴+
∈-⎢⎥⎣⎦
，则
()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且a
b c d
<<<，
则222662a
b πππ⎛⎫
+
++=⨯- ⎪⎝⎭
，3222662c d πππ+++=⨯，
两式相加，整理得422223a
b c d π+++=
，故
()f x 的所有零点之和为23
a b c d π
+++=，D 错误，故选：AB.
10.已知
,D E 是 ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+
，则xy 的值可以是（
）
A.
19
B.
29
C.
14
D.
1
3【答案】BC 【解析】【分析】根据平面向量共线定理的推论，求得1x y +=以及,x y 的取值范围，将xy 转化为关于x 的二次函数，求其值域，
即可结合选项进行选择.
【详解】因为
,D E 是BC 边的三等分点，点P 在线段DE 上，
若
AP xAB yAC =+ ，可得1x y +=，12,,33x y ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
故()2
2
11124xy x x x x x ⎛⎫=-=-=--+
⎪⎝
⎭，当
12x =
时，xy 取最大值14，当13x =或23
x =时，x 取最小值2
9.故选：BC .
11.公比为
q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足11a >,202120221a a ⋅>，
202120221
01
a a -<-.则下列结论正确的
是（）
A.
01q << B.
202120231
a a ⋅>C.n S 的最大值为2023
S D.
n T 的最大值为2021T 【答案】AD 【解析】
【分析】推导出
0q >，20211a >，202201a <<，可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；由数列{}n a 为正
项等比数列可判断C 选项的正误；由2021
1a >，202201a <<可判断D 选项的正误.
【详解】若
0q <，则2
2021202220210a a a q =<不合乎题意，所以，0q >，故数列{}n a 为正项等比数列，
11a >Q ，202120221a a ⋅>，
202120221
01
a a -<-，20211a ∴>，202201a <<，所以01q <<，故A 正确；
2
2021202320221a a a ⋅=<，故B 错误；
11a >Q ，01q <<，所以，数列{}n a 为各项为正的递减数列，所以，n S 无最大值，故C 错误；
又2021
1a >，202201a <<，所以，2021T 是数列{}n T 中的最大项，故D 正确.
故选：AD.
12.已知定义域为R 的函数
()f x 的图象连续不断，且R x ∀∈，()()24f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，
若
()()221682f m f m m m +--≤++，则实数m 的取值可以为（
）
A.－1
B.
13
-
C.
12
D.1【答案】BCD 【解析】
【分析】利用已知条件得到
()()()2222f x x f x x ⎡⎤-=----⎣⎦
，
构造函数()()2
2g x f x x =-，利用已知条件得到函数()g x 为奇函数且函数
()g x 在()0,∞+上单调递减，可得函数()g x 在R 上单调递减，所给的不等式转化为()()21g m g m +≤-，利用单
调性求解即可.
【详解】依题意可得：()()24f x f x x +-=，故()()()2
222f x x f x x ⎡⎤
-=----⎣⎦
，
令
()()22g x f x x =-，则()()g x g x =--，所以函数()g x 为奇函数，
()()4g x f x x ''=-，因为当()0,x ∈+∞时，()4f x x '<，
即当
()0,x ∈+∞时，()()40g x f x x ''=-<，
故
()g x 在()0,∞+上单调递减，由()g x 为奇函数可知，()g x 在R 上单调递减，因为
()()221682f m f m m m +--≤++，
故
()()()()
2
2
212212f m m f m m +-⋅+≤--⋅-，
即
()()21g m g m +≤-，故21m m +≥-，故13
m ≥-
，故实数
m 的取值范围为1,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.由选项可知：BCD 正确；故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数列
{}n a 满足()121n n a a n n N +++=+∈，1=1a ，则数列{}n a 的通项公式为___________.
【答案】=n a n 【解析】【分析】把
n 变为1n -，得到()121121n n a a n n -+=-+=-，和原式相减得到112n n a a +--=，得到
奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，即可得解.【详解】当
2n ≥时，由题得()121121n n a a n n -+=-+=-，
联立()1+1+=21+1=21+=2+1
n n n n a a n n a a n ---⎧⎨
⎩得，1
12n n a a +--=，
所以奇数项成等差，偶数项也成等差，公差为2，由1=1a 得当
n 为奇数时，=n a n ，
当=1n 时，由
()121n n a a n n N +++=+∈得22a =，
所以当
n 为偶数时，=n a n ，
从而=n a n .故答案为:=n a n .
14.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，
BC =AO BC ⋅=
________．
【答案】
5
2
【解析】
【详解】
因为
BC AC AB
=- AO BC ⋅= 0()00A AC AB A AC A AB
⋅-=⋅-⋅
,
根据向量数量积的几何意义得：
35003232122
A AC A A
B AE AF ⋅-⋅=-=⨯-⨯= ．
15.三棱锥
P ABC -中，2PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB 的中点，且CD =P ABC -的外接球O 的表面积___________.
【答案】
283
π
##
28
3
π【解析】
【分析】推导出AC ⊥平面PAB ，利用正弦定理计算出PAB △的外接圆半径r ，可得出三棱锥P ABC -
的外接球半径为R =，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：
圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有
2R =
.
本题中，依题意，由
2PA AC ==，CP =，得AP AC ⊥.
连接
AD ，由点D 是PB 的中点且2PA AB PB ===，则AD PB ⊥，且AD ==，
又CD
=2AC =，则222CD AC AD =+，可知AD AC ⊥，
又
AP AD A ⋂=，所以AC ⊥平面PAB .
可将三棱锥C
PAB -置于圆柱12O O 中，且PAB △的外接圆为圆2O ，
圆2O 的半径为2sin 603
AB r
=
=
，所以，三棱锥C
PAB -的外接球的直径为23
R =
=
，则
3
R =
，故三棱锥
P ABC -的外接球的表面积23428S R ππ==
.故答案为：
283
π
.
16.不等式
220x x ax a ---<的解集中只存在两个整数，则正数a 的取值范围是___________.【答案】10,2⎛⎤
⎥⎝⎦【解析】
【分析】画出
22y x x
=-与
()1=+y a x 的图象，数形结合，找出临界状态从而得到a 的取值范围即可.
【详解】
220x x ax a ---<，则22x x ax a -<+，分别画出
22y x x
=-与
()1=+y a x 的图象，
因为只存在两个整数x ，使得不等式成立，
故而从图象上看，只需
22y x x
=-上有两个横坐标为整数的点在
()1y a x =+的下方.
数形结合可知：当
1x =时，2
2y x x
=-过点
()1,1A ，此处为临界状态.
此时直线
()1y a x =+的斜率12a =
，故而要满足题意，只需12
a ≤.满足不等式解集的整数为
0x =或2x =.
又
a >，故a 的取值范围为10,
2⎛⎤ ⎝
⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数
()2
43x
f x x a
-=
-，a R ∈.
（1）若
()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，求a 的值；
（2）若
()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 在[]22-,
上的最大值.【答案】（1）0a
=或7
5
a =
（2）
3
2
【解析】
【分析】（1）由已知可得出
()15f '=-，即可解得实数a 的值；
（2）由已知可得
()10f '-=，求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 在区间[]22-,
上的单调性，即可求得函数()f x 在区间[]22-,上的最大值.
【小问1详解】解：因为
()2
43x
f x x a
-=-，则()()()
()
()
222
2
2
2
3243383x a x x x x a
f x x
a x
a -----+'==
--，
因为
()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率为5-，所以()()
2
35
151a f a -'=
=--，
整理得
2
570
a a -=，解得0a =或75
a =
.【小问2详解】
解：因为
()f x 在1x =-处取得极值，即
()()
2
311
101a f a +'-=
=-，解得113
a =-，
所以
()243113x
f x x -=+，则()2
2
2
3811113x x f x x --'=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，令
()0f x '=，解得111
3
x =
，21x =-，所以当
()2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，
当
()1,2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()max 312
f x f =-=
.18.如图所示，在梯形ABCD 中，
//AB CD ，2
BAD π
∠=
，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠
.
（1）求
BEC ∠的大小；
（2）若BCE 的面积S
为BC .【答案】（1）∠BEC ＝
3
π；（2
）B C =．【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1
cos 2BEC ∠=，故可求其大小.（2）设
AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.
【详解】（1）∵
2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB
∠=∠+∠222222
2•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC
BC
+-+-⋅⋅＝＋＝
∴1cos 2BEC ∠=
，而BEC ∠为三角形内角，故3
BEC π∠=．（2）设
AEB α∠＝，则23
DEC
π
α∠=
-，其中203
πα<<
，
∵DE ＝2AE ＝4，
∴2
cos cos AE BE αα==
，
4
22cos()cos()
33
CE DE ππ
αα=
--=
，∵△BCE
的面积
1sin 223cos cos()
3
S BE CE ππαα=⋅⋅=
-22
=
2sin(2)16
πα=
=
--，
∴由已知得
2sin(21
)6
π
α=--，
∴sin 2
16πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，因为72666πππα-<-<
，故2
62
ππ
α-
=，即
3
πα=
，此时24cos BE α
==，4
8
2cos()3
CE π
α==-，∴在△BCE 中，由余弦定理得：
2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，
∴
B C =.
19.如图，在四棱柱
1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ,122AA AB ==，点M
在1DD 上，
且
1B D ⊥平面ACM
.
（1）求
1
DM DD 的值；（2）求二面角
D AC M --的正弦值.
【答案】（1）
14
（2
）
3
【解析】
【分析】（1）以点A 为坐标原点，
AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设()0,1,M a ，利用空间向量法
可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可得出结果；
（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【小问1详解】
解：因为在四棱柱
1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，
以点A 为坐标原点，
AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为
122AA AB ==，故可设()0,1,M a ，其中02a ≤≤，
则
()11,0,2B 、()0,1,0D 、()C ，
所以
()1,1,0AC = ，()0,1,AM a =
，()11,1,2B D =-- ，
设平面ACM 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00
m AC m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0
0x y y az +=⎧⎨+=⎩，取x a =，得(),,1m a a =-
，
因为
1B D ⊥平面ACM
，所以
1//B D m
，即1
112a a -==--，解得12a =，所以12DM =，1
14DM DD =.【小问2详解】易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1n =
，
设二面角D AC M --的大小θ为，而11,,122m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅
，
则sin
3
θ=.20.已知各项都为正数的数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有22(n n n pS a pa =+其中0p >，且p 为常数)，记数
列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n H （1）求数列
{}n a 的通项公式及n
H （2）当
=2p 时，将数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前m 项和为m T ，若存在*N m ∈，使得对任意
*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，求实数λ的取值范围
【答案】（1）
n a np =，21
n n H p n =
⋅
+（2）
()0,+∞.【解析】
【分析】（1）利用11,=1
=,2
n n n S n a S S n --≥⎧⎨
⎩，求出10n n a a p --=>，得到数列{}n a 是等差数列，求出通项公式和n S ，利用裂项相消
法求解
n H ；
（2）当
=2p 时，2n a n =，可得
1234111111112468a a a a ====，，，，只有111
248
，，成等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式可得n b ､.n T 再利用m T 及n H 的单调性即可.【小问1详解】当=1n 时，21
112pa
a pa =+，
10a > ，
12p a p ∴=+，解得1a p =.
当
2n ≥时，由22n n n pS a pa =+，2
111
2n n n pS a pa ---=+，两式相减得：22
11
2n
n n n n pa
a pa a pa --=+-+（），化为
()()110n n n n a a a a p --+--=，
*N n ∀∈ ，都有0n a >，10n n a a p -∴-=>，
∴数列{}n a 是等差数列，
1n a p n p np
∴=+-=（），
222222
n n p np n n p
S p ++∴==
（），
12111
n S p n n ∴
=-+（），1211121111112231n n H S S S p n n ⎡⎤∴=
++⋯+=-+-+⋯+-⎢⎥+⎣⎦
（）（2121.11
n
p n p n =-=⋅++（）即21
n
n n
a np H p n ==
⋅+，.【小问2详解】
当
=2p 时，2n a n =，
1234111111112468
a a a a ∴
====，，，，只有
111
248
，，成等比数列，∴数列{}n b 的首项112
b =，公比1
2q =，
1111222
n n
n b -∴=⋅=（）（.11112211212n n n T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
==--（（）
.112
m
m T =- （）是关于m 的单调递增数列，1
12
m T ∴≤<.
又2211
n
n n
H n n =⋅=++因为
()()
111
02121n n n n H H n n n n ++=-=>++++-，
所以
1n n H n =
+的最小值为1
12
H =，
存在*N m ∈，使对任意
*n ∈N ，总有m n T H λ<+恒成立，
故只需
()()min min m n T H λ
<+11
022
λ∴>
-=，故实数
λ的取值范围是()0,+∞.
21.
已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>
的离心率为2
，点A ，B ，C 分别为Γ
的上，左，右顶点，且||4BC =.
（1）求Γ的标准方程；（2）点D 为线段
AB 上异于端点的动点，过点D 作与直线AC 平行的直线交Γ于点P ，Q ，求||||PD QD ⋅的最大值.
【答案】（1）2214
x y +=（2）
5
4
【解析】【分析】（1）由题可得2a =，根据离心率即可求出；
（2）求出直线
AB 的方程，设出直线l 的方程1
2
y x λ=-
+，与椭圆联立，得出11λ-<<，联立两直线表示出D 坐标，表示出||||PD QD ⋅即可求出最值.
【小问1详解】由题意得：2||4a
BC ==，解得2a =.
又因为2
c e a ==
，所以c =2221b a c =-=.所求Γ的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】可得
(0,1),(2,0),(2,0)A B C -，则1
2
AC k =-
，直线AB 的方程为：220x y -+=，设直线l 的方程为
1
2
y x λ=-+.
联立方程组22121
4
y x x y λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得221442x x λ⎛⎫+-+=
⎪⎝⎭，整理得：
222220x x λλ-+-=①由l 与线段
AB 有公共点，得11λ-<<，
联立方程组12220y x x y λ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩，解得D 的坐标为11,2λλ+⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
设()()1122,,,P x y Q x y ，由①知122
12
222x x x x λ
λ+=⎧⎨=-⎩②
又12|
|(1),||(1)PD QD λλ=
--=--所以()212125
|
|||(1)(1)4
PD QD x x x x λλ⋅=
--++-③
②代入③，得2
5||||1,(1,1)
4
PD QD λλ⋅=-∈-
所以当0λ
=时，||||PD QD ⋅有最大值
54
.22.已知函数
()e x f x x x =-．
（Ⅰ）讨论
()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当
0x >时，()ln 1f x x -≥．
【答案】（Ⅰ）
()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；
（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数
()'f x ，由()'f x 的正负确定()f x 的单调区间；
（Ⅱ）不等式变形为
()ln e ln 1x x x x +-+≥，令ln t x x =+，又变为e 1t t -≥．引入新函数()e t u t t =-，由导数求得最小值可
证明不等式成立．
【详解】（Ⅰ）由题意得
()()1e 1x f x x =+-'，
设
()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，
当
1x ≤-时，()0g x ≤，
当
1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，
又因为
()01g =，
所以当
0x <时，()1g x <，即()0f x '<，当0x >时，()1g x >，即()0
f x '>因此
()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．
（Ⅱ）要证
()ln 1f x x -≥，即证e ln 1x x x x --≥，即证()ln e ln 1x x x x +-+≥，
令
ln t x x =+，易知R t ∈，待证不等式转化为e 1t t -≥．设
()e t u t t =-，则()e 1t u t '=-，
当0t
<时，()0u t '<，当0t >时，()0u t '
>，
故
()u t 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．所以
()()01u t u ≥=，原命题得证．。