浙江省重点中学协作体高考数学一模试卷 文(含解析)

浙江省重点中学协作体2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}
2．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（）
A．B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
4．（5分）如图给出的是计算++…+的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）
A．i＞108，n=n+1 B．i＞108，n=n+2 C．i＞54，n=n+2 D．i≤54，n=n+2 5．（5分）∀α∈（，），x=，y=，则x
与y的大小关系为（）
A．x＞y B．x＜y C．x=y D．不确定
6．（5分）若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）
A．af（a）＞bf（b）B．bf（a）＜af（b）C．bf（a）＞af（b）D．af（a）＜bf（b）7．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（5分）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．C．D．
10．（5分）某校数学复习考有400位同学参加﹐评分后校方将此400位同学依总分由高到低排序如下﹕前100人为A组﹐次100人为B组﹐再次100人为C组﹐最后100人为D组﹒校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题，则下列选项是正确的（）
（考空间概念）的答对率列表如下﹕
A组B组C组D组
第一题答对率100% 80% 70% 20%
第二题答对率100% 80% 30% 0%
A．第一题答错的同学﹐不可能属于B组
B．从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于B组的机率大于0.5
C．全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低15%
D．从C组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于0.3
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）已知i是虚数单位，若，则ab的值为．
12．（4分）已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于．13．（4分）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=．14．（4分）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．
15．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y
轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．
16．（4分）若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于．
17．（4分）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为．（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，且cos（A﹣）=2cosA
（1）若cosC=，BC=3，求AC．
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．
19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=，F是PB中点，E为BC上一点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
21．（15分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx，设h（x）=f（x）﹣g（x）
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2．
①求b的取值范围；
②求证：x1x2＞e2．
22．（14分）设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x
轴的直线被椭圆截得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆E上横坐标大于2的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，试判断点P在何位置时△PBC的面积S最小，并证明你的判断．
浙江省重点中学协作体2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：根据补集和交集的意义直接求解．
解答：解：C R B={X|x≥1}，A∩C R B={x|1≤x≤2}，
故选D．
点评：本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：平面向量及应用．
分析：结合向量数量积的应用，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答：解：∵向量=（x﹣1，2），=（2，1），
∴当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，
∴与夹角为0．
向量•=2x﹣2+2=2x，
若“与夹角为锐角，则向量•=2x，
设与夹角为θ，则cosθ=＞0，
即2x＞0，解得x＞0，
∴“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要而不充分条件．
故选：A．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量数量积的应用是解决本题的关键．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是单调递减的是（）
A．B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数是奇函数，得A项不符合题意；根据函数y=e﹣x是非奇非偶函数，得B
项不符合题意；根据二次函数y=﹣x2+1的图象是开口向下的抛物线且关于y轴对称，得到C 项符合题意；根据对数函数的单调性，得函数y=lg|x|在（0，+∞）上是增函数，可得D项不符合题意．
解答：解：对于A，函数满足f（﹣x）=﹣=﹣f（x），
可得函数是奇函数，且不是偶函数，可得A项不符合题意；
对于B，函数y=e﹣x不满足f（﹣x）=f（x），得函数不是偶函数，可得B项不符合题意；
对于C，函数y=﹣x2+1满足f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1=f（x），
∴函数y=﹣x2+1是R上的偶函数
又∵函数y=﹣x2+1的图象是开口向下的抛物线，关于y轴对称
∴当x∈（0，+∞）时，函数为减函数．故C项符合题意
对于D，因为当x∈（0，+∞）时，函数y=lg|x|=lgx，底数10＞1
所以函数y=lg|x|在区间（0，+∞）上是单调递增的函数，可得D项不符合题意．
故选：C
点评：本题给出几个基本初等函数，要我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上是单调减的函数，着重考查了基本初等函数的性质和函数单调性与奇偶性等知识，属于基础题．
4．（5分）如图给出的是计算++…+的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）
A．i＞108，n=n+1 B．i＞108，n=n+2 C．i＞54，n=n+2 D．i≤54，n=n+2
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子．
解答：解：∵算法的功能是计算++…+的值，
∴终止程序运行的n值为110，i值为55，∴判断框的条件为i＞54或i≥55；
根据n值的规律得：执行框②应为n=n+2，
故选：C．
点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键．
5．（5分）∀α∈（，），x=，y=，则x
与y的大小关系为（）
A．x＞y B．x＜y C．x=y D．不确定
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：两边同时取对数，利用对数运算法则能推导出x=y．
解答：解：∵∀α∈（，），
∴＜sinα＜1，0＜cosα＜
x=，y=，
对x，y两边同时取对数，得：
logπx=logπ=logπcosαlogπsinα，
logπy=logπ=logπsinαlogπcosα，
∴x=y．
故选：C．
点评：本题考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意对数、指数、三角函数等知识点的合理运用．
6．（5分）若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）
A．af（a）＞bf（b）B．bf（a）＜af（b）C．bf（a）＞af（b）D．af（a）＜bf（b）
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：构造g（x）=（x＞0），求导数g′（x），利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论．
解答：解：令g（x）=（x＞0），则g′（x）=（x＞0）；
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即，
∴bf（a）＞af（b）．
故选：C
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数来解题的方法，是易错题．7．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）
A．B．C．D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2（x++φ））的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得φ的值，然后函数f（x）在上的最小值．
解答：解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，
因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．
所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，
x=0时，函数取得最小值为．
故选A．
点评：本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．
解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
V==3⇒x=3．
故选C．
点评：本题考查由三视图求几何体的体积．
9．（5分）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．4 B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得
：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．
解答：解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．
又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．
∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣
，
∴，化为c2=7a2，
∴=．
故选B．
点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．
10．（5分）某校数学复习考有400位同学参加﹐评分后校方将此400位同学依总分由高到低排序如下﹕前100人为A组﹐次100人为B组﹐再次100人为C组﹐最后100人为D组﹒校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题，则下列选项是正确的（）
（考空间概念）的答对率列表如下﹕
A组B组C组D组
第一题答对率100% 80% 70% 20%
第二题答对率100% 80% 30% 0%
A．第一题答错的同学﹐不可能属于B组
B．从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于B组的机率大于0.5
C．全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低15%
D．从C组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于0.3
考点：频率分布表．
专题：图表型．
分析：根据B组第一题的答对率不是100%，判断A错误；
计算第二题的答错率，判断B错误；
分别计算第一题与第二题的答对率，通过运算判断C是否正确；
根据C组第一题与第二题的答对率，利用独立事件同时发生概率公式计算第一、第二题同时答对的概率，可得D正确．
解答：解：∵B组第一题的答对率为80%，∴第一题答错的同学有可能属于B组，故A错误；第二题答错的同学，B组20人，C组70人，D组100人，∴从第二题答错的同学中随机抽取
一人，属于B组的概率为，故B错误；
第一题的答对率为=，第二题的答对率为=，∵×（1
﹣15%）≠，故C错误；
从C组同学中随机抽出一人，第一，第二题同时答对的概率为×=＜30%，故D正确．
故选：D．
点评：本题考查了频率分布表，考查学生的数据处理分析能力，读懂图表是解题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b 的值，则答案可求．
解答：解：由，得．
所以b=3，a=﹣1．
则ab=（﹣1）×3=﹣3．
故答案为﹣3．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
12．（4分）已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于90．
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得a n，进而得到b n，然后利用前n项和公式求解即可．
解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得；
∴a n=3n，
∴b n=a2n=6n，且b1=6，公差为6，
∴S5=5×6+=90．
故答案为：90
点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．13．（4分）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．
解答：解：∵f（x）=+sinx，
∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，
则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，
故答案为：5．
点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．14．（4分）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．
解答：解：设，，则
∵AB=2，=1
∴2acosθ=1
又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosθ
∴a2=3，∴a=
故答案为：
点评：本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y
轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（0，]．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，可得∠F1PF2≤90°，由此可建立a，c的关系，即可求出椭圆C的离心率的取值范围．
解答：解：∵点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
∴∠F1PF2≤90°，
∴tan∠OPF2≤1，
∴≤1，
∴c≤b，
∴c2≤a2﹣c2，
∴0＜e≤．
故答案为：（0，]．
点评：本题考查椭圆C的离心率的取值范围，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．
16．（4分）若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于．
考点：简单线性规划．
专题：计算题；数形结合．
分析：作出可行域，给目标函数赋予几何意义：到（0，0）距离的平方，据图分析可得到点B与（0，0）距离最大．
解答：解：作出可行域
x2+y2表示点（x，y）与（0，0）距离的平方，
由图知，可行域中的点B（，3）与（0，0）最远
故x2+y2最大值为=34⇒a=（负值舍去）．
故答案为：．
点评：本题考查画不等式组表示的可行域，利用可行域求目标函数的最值．首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义
17．（4分）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：概率与统计．
分析：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．
解答：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．
故答案为96．
点评：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，且cos（A﹣）=2cosA
（1）若cosC=，BC=3，求AC．
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出tanA的值，确定出A的度数；
（1）由cosC的值，利用同角三角函数间的基本求出sinC的值，进而求出sinB的值，利用正弦定理求出AC的长即可；
（2）由B的范围，求出A﹣B的范围，由cos（A﹣B）的值求出sin（A﹣B）的值，将sinB 变形为sin[A﹣（A﹣B）]，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵cos（A﹣）=2cosA，
∴cosAcos+sinAsin=2cosA，即sinA=cosA，
∵A∈（0，π），且cosA≠0，
∴tanA=，
则A=；
（1）∵sin2C+cos2C=1，cosC=，C∈（0，π），
∴sinC==，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理知：=，即=，
则AC=1+；
（2）∵B∈（0，），∴A﹣B=﹣B∈（0，），
∵sin2（A﹣B）+cos2（A﹣B）=1，cos（A﹣B）=，
∴sin（A﹣B）=，
则sinB=sin[A﹣（A﹣B）]=sinAcos（A﹣B）﹣cosAsin（A﹣B）=×﹣×=．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）当n=1时，a1=S1，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得b n，利用c n==．利用“裂项求和”即可得出：数列{c n}的前n项和T n=．由于对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，可得
，化为=，利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，
化为a n=2a n﹣1，
∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，
∴．
（2）∵b n=log2a n==n，
∴c n==．
∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．
∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，
∴，化为=．
∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．
∴，
∴．
∴实数k的取值范围是．
点评：本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=，F是PB中点，E为BC上一点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE=时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
解答：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=PA=1，AD=，F是PB中点，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），
，，F（0，，），
=（0，，），
∵=0，，
∴AF⊥PB，AF⊥PB，
∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），，，
设平面PDE的法向量，
则，
取x=1，得=（1，，），
平面PCE的法向量为，
∵二面角C﹣PE﹣D为45°，
∴cos＜＞==，
解得a=，
∴当BE=时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
AF⊥平面PBC．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45°的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（15分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx，设h（x）=f（x）﹣g（x）
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2．
①求b的取值范围；
②求证：x1x2＞e2．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）根据g（2）=2，求出h（x）的表达式，求函数的导数，即可讨论函数h（x）的单调性；
（2）根据函数g（x）是关于x的一次函数，确定a=0，根据函数h（x）有两个不同的零点x1，x2．即可得到结论．
解答：解：（1）∵g（2）=2，∴a﹣b=1，即b=a﹣1，
∴h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x，其定义域为（0，+∞）
h′（x）=+（a﹣1）==，
（Ⅰ）若a≥0，则函数h（x）在区间（0，1）上单调增；在区间（1，+∞）上单调减．（Ⅱ）若a＜0，令h′（x）=0得
①当a＜﹣1时，则，则函数h（x）在区间（0，）上单调增；在区间（1，+∞）上单调增；在区间（，1）上单调减．
②当a=﹣1时，h′（x）＜0，则函数h（x）在区间（0，+∞）单调减．
③当﹣1＜a＜0时，则，则函数h （x）在区间（0，1）上单调增；在区间（，+∞）上单调增；在区间（1，）上单调减．
（2）∵函数g（x）是关于x的一次函数
∴h（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞）
①由h（x）=0得，记，则
∴在（0，e）单调减，在（e，+∞）单调增，
∴当x=e时取得最小值
又φ（1）=0，所以x∈（0，1）时φ（x）＞0，而x∈（1，+∞）时φ（x）＜0
∴b的取值范围是（，0）
②由题意得lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0
∴lnx1x2+b（x1+x2）=0，lnx2﹣lnx1+b（x2﹣x1）=0
∴，不妨设x1＜x2
要证，只需要证
即证，设
则
∴
∴函数F（t）在（1，+∞）上单调增，而F（1）=0，
∴F（t）＞0即
∴．
点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式的证明，综合性较强，运算量较大．
22．（14分）设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x
轴的直线被椭圆截得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆E上横坐标大于2的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，试判断点P在何位置时△PBC的面积S最小，并证明你的判断．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆方程．
（ II）设，B（0，m），C（0，n）．不妨设m＞n，由已知条件推导出m，n是方程的两个根，由此能求出点P的横坐标为时，△PBC的面积S最小．
解答：解：（ I）由已知，，…（2分）
解得：，
故所求椭圆方程为．…（4分）
（ II）设，
B（0，m），C（0，n）．不妨设m＞n，
则直线PB的方程为，…（5分）
即（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0，
又圆心（1，0）到直线PB的距离为1，
即，
化简得，…（7分）
同理，，
∴m，n是方程的两个根，
∴，
则，…（9分）
∵P（x0，y0）是椭圆上的点，
∴，∴．
则，令，
则x0=t+2，令，
化简，得，
则，
令f'（t）=0，得，而，
∴函数f（t）在上单调递减，
当时，f（t）取到最小值，
此时，
即点P 的横坐标为时，△PBC的面积S最小．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在何处时三角形面积最小的判断和证明，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．
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