2014版高考命题探究数学知识点讲座15三角函数的图像与性质(解析版)

考点十五：三角函数的图像与性质
2014年河北省某重点中学高三补习理科快班知识点讲座
内部资料，请勿外传 主讲人：孟老师
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义 二.知识梳理
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+=+π
πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是
该图象的对称中心
4.由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才
能灵活进行图象变换
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”
多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移
ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象
5. 由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式
给出图象确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－
ω
ϕ
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．
第一个零点的位置.
6.对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；
cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；
对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
7. 求三角函数的单调区间
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8. 求三角函数的周期的常用方法
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法
9.五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图 五点取法是设x=ωx+ϕ，由x 取0、2π、π、2
π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.
三．考点逐个突破 1.平移变换问题 例1.定义
12142334
a a a a a a a a =-,
若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =
,则将()f x 的图象向右平移
3
π
个
单位所得曲线的一条对称轴的方程是
A ．6
x π
=
B ．4
x π
=
C ．2
x π
=
D ．x π=
【答案】A 由定义可知
,()2cos 22sin(2)6f x x x x π=
-=-,将()f x 的图象向右平移
3
π
个单位得到52sin[2()]2sin(2)366y x x πππ=--=-,由52,62
x k k Z ππ
π-=+∈得对称轴为
2,32k x k Z ππ=+∈,当1k =-时,对称轴为2326
x πππ=-=,选A ．
例2.关于函数
()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:
;P 2:把函数
()21f x x =-的图象向右平移
4
π
个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图 象;P 3:单调递增区间为[71188
k ,k ππ
ππ++
],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为 (128
k ,π
π+-),k Z ∈.其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】因为2
()=22221(2)14
f x sin x cos x cos x sin x cos x x π
-=--=-
-,所以最大
值
为
1,所以P 1错误.
将()21f x x =-的图象向右平移4
π
个单位后得
到()2()2(2)14
2
f x x x π
π
=
-
-=--
,所以P 2
错
误
.
由
2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-≤
+,解得增区间为38
8
k x k ,k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈,即3[]88k ,
k k Z π
πππ-
++∈,所以3p 正确.由24x k ,k Z ππ-=∈,得,28
k x k Z π
π=+∈,所以此
时的对称中心为(1)28
k ,π
π+-,所以4p 正确,所以选B ．
例3. 已知函数(
)()2
1cos cos 02f x x x x ωωωω=+->,其最小正周期为.2π
(I)求()f x 的表达式;
(II)将函数()f x 的图象向右平移
8
π
个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.
【答案】解
:(I)
21
()cos cos 2
f x x x x ωωω=⋅+-
cos2112sin(2)226
x x x ωπ
ωω+=
+-=+ 由题意知)(x f 的最小正周期2
T π
=,2
22T π
ωπωπ===
所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
(Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个
8π个单位后,得到)3
4sin(π
-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)3
2sin(π
-=x y 的图象.
所以)3
2sin()(π-=x x g 因为02x π≤≤,所以22333x πππ
-≤-≤.
()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上
有且只有一个交点,
由正弦函数的图象可知22
k -
≤-<或1k -=
所以k <≤1k =-. 2.三角函数的性质 （1）单调性、周期性
例4. 设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=. (Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3
π
个单位,得)(x g y =的图象,求
x x g x F 323)()(-=
在
4π
=
x 处
的切线方程.
【答案】
解:(Ⅰ)(1cos 2)()6
2)326
x f x x x π
+==++,
故f (x )的最小正周期π=T , 由ππ
ππk x k 26
22≤+≤+-
得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--
]12
,127[π
πππ (Ⅱ)由题意
:())]32336
g x x x π
π
=-
++=+, x x x
x g x F 2sin 323
)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x x
x x x F -=, 因此切线斜率2
'16
)4(ππ-
==F k , 切点坐标为)4,4(
π
π, 故所求切线方程为)4
(16
4
2
π
π
π
-
-
=-x y , 即08162=-+ππy x
（2）最值
例5.
已知函数2()2sin (
)21,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+--∈⎢⎥⎣⎦
,则)(x f 的最小值为_________ 【答案】1
【
解析】2()2sin (
)211cos 2()2144
f x x x x x π
π
=+-=-+--
cos(2)2sin 222sin(2)23
x x x x x ππ
=-+==-
,因为
4
2
x π
π
≤≤
,所以
226
3
3x π
π
π≤-
≤
,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123
x π
≤-≤,所以12sin(2)23
x π
≤-
≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.
（3）奇偶性
例6. 函数x x
y sin 3
+=
的图象大致是
【答案】C
【 解析】函数()sin 3
x
y f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除
B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1
cos 3
x =-,
所以函数()sin 3
x
y f x x ==+的极值有很多个,所以选C ．
（4）对称性
例7.已知函数()sin()(0)6
f x x ωω=+π
＞的最小正周期为4π,则
A ．函数()f x 的图象关于点(
,03
π
)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π
对称
C ．函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位后,图象关于原点对称
D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增
【答案】C 因为函数的周期24T π
πω==,所以12ω=,所以1()sin()26
f x x π
=+.当3x π=
时
,1()sin()sin 32363f ππππ=⨯+==
所以A ,B 错误.将函数()f x 的图象向
右平移3π个单位后得到11
()sin[()]sin()2362
f x x x ππ=-+=,此时为奇函数,所以选C ．
（5）定义域、值域
例8.已知函数f （x ）=x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理. 解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+
2
π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）.
所以f （x ）的定义域为{x|x ∈R 且x ≠
2πk +4
π
，k ∈Z}. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且
f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+---=x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-=f （x ），
所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠
2πk +4
π
（k ∈Z ）时， f （x ）=x
x x 2cos 1cos 5cos 624+-=x x x 2cos 1cos 31cos 222））（（--=3cos 2
x －1，
所以f （x ）的值域为{y|－1≤y ＜21或2
1
＜y ≤2}.
3.简单的应用问题
例9.已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+． （１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2
πϕ<
）在一个周期内的图象，根据图中数据求
sin()I A t ωϕ=+的解析式；
（２）如果t 在任意一段
1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A ＝300．设t 1＝－1900，t 2＝1
180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝1
75
．
∴ ω＝2T π
＝150π．
又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1
180＋ϕ）＝0，
而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6
π．
故所求的解析式为300sin(150)6
I t π
π=+．
（２）依题意，周期T ≤
1150，即2πω≤1150
，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *
，故最小正整数ω＝943．。