安徽省皖北十校高二期末联考(数学文)

安徽省皖北十校高二期末联考（数学文）
（时间1，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.若()
i 31z i 31－＝＋∙，则复数z ＝（ ）
A i 2321＋－
B i 2321－－
C i 31＋－
D i
231＋
2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

A 假设三内角都不大于60度； B 假设三内角都大于60度； C 假设三内角至多有一个大于60度； D 假设三内角至多有两个大于60度。

3.已知数列{an},那么“对任意的n ∈N*,点 Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“{an} 为等差数列” 的 （ ）
A.必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4．线性回归方程a bx y
ˆ+=表示的直线必经过的一个定点是 ( )
A )0,0(
B )0,x (
C )y ,0(
D )y ,x ( 5.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，
则这串珠子被盒子遮住的部分有( )颗. （第
5题图） A. 3 B. 5 C.10 D. 27
6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，至少有1名女生当选的概率为 （ ）
A ．34
B ．14
C ．57
D ．2
7
7．下列程序执行后输出的结果是( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2
8．双曲线的渐近线方程为
3y x
4=±，则双曲线的离心率为（ ）
A ．53
B ．5
4 C ．2或3 D ．
5534或
9．已知0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最小的（ ）
A 、22
a b + B 、2ab C 、a D 、1
2
10.已知椭圆的焦点是F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F1P 到Q ， 使得| PQ | = | PF2 |，那么动点Q 的轨迹是（ ） A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
11函数
),()(3
+∞-∞-=在x ax x f 内是减函数，则（ ） A 、
31
<
a B 、1<a C 、2<a D 、0≤a 12. 抛物线)
0(22>=p px y 的动弦AB 长为
)
2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是
（ ）
A ． 2a
B ． 2p
C ． 2p a +
D ． 2p a -
二、填空题（每题4分，共16分）
13．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为
14.已知数列
{}n a 的通项公式
)()1(1
2
+∈+=
N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过
计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出_______)(=n f
15．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65
的概率是___。

16．如图给出的是计算2016
14121+
+++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______。

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤写在答卷上）
17．（本小题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
18. （本小题满分12分） 投掷两个骰子，计算下列事件的概率：
（1）事件A ：两个骰子点数相同；（2）事件B ：两个骰子点数之和为8； （3）事件C ：两个骰子点数之和为奇数.
19（本小题满分12分）.在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2c o s s i n s i n A
B C =．证明ABC △
为等边三角形．
本题满分12分）已知椭圆
422
2=+y x ,AB 为椭圆的弦且以M(1,1)为中点,求以AB 为 直径的圆的方程.
21. （本小题满分13分）函数f （x ）= 4x3+ax2+bx+5的图在x=1处的切线方程为y=－12x ；
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值。

22．（本小题满分13分）
一条斜率为1的直线l
的双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>交于,P Q
两点，3,4,l OQ PQ RQ ∙=-=直线与y 轴交于R 点，且OP 求直线与双曲线的方程
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 810 14．
)1(22)(++=
n n n f 15．5
12 16. 10i >
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤写在答卷上）
17．（本小题满分12分）
.解：74)7090708060(51=++++=甲x 73
)7580706080(51
=++++=乙x
104416461451222222=++++=）（甲s 56
27313751222222
=++++=）（乙s
∵ 2
2乙甲乙甲
，s s x x >>
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡
18. （本小题满分12分）．
解：（1）将两个骰子标上记号A 、B ，将A 、B 骰子的点数依次记为（x ，y ），则共有6×6=36种等可能的结
果。

出现点数相同的结果有（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）（6，6）共6种。

∴
61
366)(=
=
A P ；
（2）出现点数之和为8的结果有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种∴
365
)(=
B P ；（3）出
现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有3×3+3×3=18种；∴
21
3618)(=
=
C P
19（本小题满分12分）.
解：180A B C ++=∵°，sin sin()C A B =+∴． 又2cos sin sin A B C =，
2cos sin sin cos cos sin A B A B A B =+∴， sin()0A B -=∴．
又A 与B 均为ABC △的内角，A B =∴． 又由()()3a b c a b c ab +++-=，
得22()3a b c ab +-=，222a b c ab +-=，又由余弦定理222
2cos c a b ab C =+-，
得222
2cos a b c ab C +-=，2cos ab C ab =∴，
1
cos 2C =
，60C =∴°．
又A B =∵，∴ABC △为等边三角形． 本题满分12分）
略解：AB 的方程为
2321+-=x y ; 330=AB ; 所求圆的方程为65
)1()1(22=
-+-y x
21. （本小题满分13分）
解：（1）f 1（x ）＝ 12x2＋2ax ＋b -----------------------------------2 分 ∵y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程为 y ＝－12x
∴⎩⎨⎧-==-=12)1()1(121f f k 即⎩
⎨⎧-=+++-=++125412
212b a b a 解得：a ＝－3 b ＝－18 -------------------------------6分 ∴f （x ）＝4x3―3x2―18x ＋5 ------------------------------------------------7分
（2）∵f 1（x ）＝ 12x2－6x －18＝6（x ＋1）（2x －3）
令f 1（x ）＝0 解得：x ＝－1或x ＝23
--------------------------------------9分 ∴ 当x ＜－1或x ＞23
时，f 1（x ）＞0
当－1＜ x ＜23
时， f 1（x ）＜0 ----------------------------------------11分
∵ x ∈[－3，1]
∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f （－1）＝16
又∵f （－3）＝－76 f （1）＝12 ---------------------------------------- ∴f （x ）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16。

-------------------------------13分
22．（本小题满分13分）
解：由2222
32e c a b a ==∴=∴双曲线方程为22222x y a -=
设直线
1122:,(0,),(,),(,)
l y x m R m P x y Q x y =+
则12222
22222
122220........(1)222x x m y x m x mx m a x y a x x m a +==+⎧⎧⇒---=∴⎨⎨-==--⎩⎩
又因为3,4,OQ PQ RQ ∙=-=OP 则有：
21212121232()30 (3)
x x y y x x m x x m +=-∴++++=
21212
2122143.......(2)4()34x x x x x y y y m y y m -==-⎧⎧⇒⎨⎨
-=-+=⎩⎩
由（1），（2）得
22
21,3,x m x m m a =-==代入（3）得
221,1m a ==22
1,1,2m a b ∴=±== 所以，所求的直线与双曲线方程分别是2
2
1,1
2y y x x =±-=。