人教A版高中数学选修4-1课件高二:1.3.1相似三角形的判定及性质
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相
似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (2)记法:两个三角形相似,用符号“∽”表示,例如△ABC 与△A'B'C'相似,
记作△ABC∽△A'B'C'.
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归纳总结(1)三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一
定相似,但相似三角形不一定全等. (2)三角形相似定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例.
∵BD=DC,∴AH=AG.
∵HG∥BC,∴������������������������
=
������������ ������������
,
������������ ������������
=
������������������������.
∵AH=AG,∴������������������������ = ������������������������.∴EF∥BC.
高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
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三 相似三角形的判定及性质
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1.相似三角形的判定
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课程目标
学习脉络
1.能学会三角形相似的定义,相似三角形的判定 定理及性质定理,并会判定直角三角形相似. 2.会证明三角形相似,并能解决有关问题.
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引 理
判定 定理 3
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三 条边和另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相似
三边对应成比 例,两个三角形 相似
判定 两条 直线 平行
判定 定理 2
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且 夹角相等,那么这两个三角形相似
两边对应成比例 且夹角相等,两个 三角形相似
作用
判定 两个 三 角形 相似
判定 两个 三角 形 相似
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(3)相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与全等三角 形是一致的;例如△ABC 和△DEF 相似,若点 A 与点 E 对应,点 B 与点 F 对
应,点 C 与点 D 对应,则记为△ABC∽△EFD.
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点评本题中,∠DAB 与∠EAC 的相等关系,不易直接找到,这里用
∠BAC=∠EAD,在∠BAC 和∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC,间接证明.
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,
������������ ������������
=
������������������������,
∴������������
������������
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【典型例题 2】 如图,已知在正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,且
BP=3PC,Q 是 CD 的中点,求证:△ADQ∽△QCP.
思路分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的 关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明������������������������ = ������������������������即可.
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规律总结证明直角三角形相似的方法主要有除直角外的
一组锐角对应相等或两边对应成比例.本题就是利用了������������������������
=
������������两直角边对
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【典型例题 1】
如图,已知������������������������
=
������������ ������������
=
������������������������,求证:△ABD∽△ACE.
思路分析:证明三角形相似,关键在于找到符合定理的条件.由题目所给 条件,应需再找出角的相等关系.
在△ADQ 和△QCP 中,
������������ ������������
=
������������������������=2,∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP.
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思考判定两个三角形相似的方法有哪些?
提示:(1)定义法,即对应边成比例,对应角相等的两个三角形是相似三 角形.
(2)平行法,即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相 交,所构成的三角形与原三角形相似.
,
������������ ������������
=
������������������������,
∴������������
������������
=
������������������������.∴EF∥BC.
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(3)判定定理: ①判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似; ②判定定理 2:两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似; ③判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似; ④直角三角形相似的判定定理.
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判定 两个 三角 形 相似
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温馨提示判定三角形相似的三种基本图形
(1)平行线型:
(2)相交线型:
(3)旋转型:
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证法三:过点 M 作 BC 的平行线,分别与 AB,AC 交于 G,H 两点,如图所示.
则������������
������������
=
������������ ������������
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证法二:过点 A 作 BC 的平行线,与 BF,CE 的延长线分别交于 G,H 两点, 如图所示.
∵AH∥DC,AG∥BD,
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证明:在正方形 ABCD 中,
∵Q 是 CD 的中点,∴������������������������=2.
∵������������������������=3,∴������������������������=4.
又 BC=2DQ,∴������������������������=2.
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【典型例题 3】 如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,M 是 AD 上一
点,BM,CM 的延长线分别交 AC,AB 于 F,E 两点.求证:EF∥BC.
∵BD=DC,MD=DG, ∴四边形 BGCM 为平行四边形.21 Nhomakorabea首页
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∴EC∥BG,FB∥CG.
∴������������
������������
=
������������ ������������
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∴������������
������������
=
������������ ������������
,
������������ ������������
=
������������������������,∴������������������������
=
������������������������.
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证明:因为������������������������
=
������������ ������������
=
������������������������,所以△ABC∽△ADE.
探究二 判定直角三角形相似
直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似的判定方 法判定,又有其独特的判定方法,在求证、识别的过程中,可由已知条件结合 图形特征,确定合适的方法.
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3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边 和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
������������
应成比例证明.
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探究三 证明两直线平行
常利用引理来证明两直线平行,其关键是证明其对应线段成比例,这样 就转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量,转化成线段成比例, 两者结合使用证明.
思路分析:要证明线段 EF∥BC,则需要利用平行线分线段成比例定理.
反过来思考,结合题目作出平行线以便利用判定定理来证明平行.
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证法一:延长 AD 至 G,使 DG=MD,连接 BG,CG,如图所示.
所以∠BAC=∠EAD,∠BAC-∠DAC=∠EAD-∠DAC,即∠DAB=∠
EAC.
又������������
������������
=
������������������������,即������������������������
=
������������������������,所以△ABD∽△ACE.
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探究一 判定三角形相似
判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对 应相等,根据三角形相似的判定定理,寻找推导出结论的条件.
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2.相似三角形的判定
定理 预 备 定 理
判定 定理 1
内容
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两 边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那 么这两个三角形相似
简述
两角对应相等,两 个三角形相似