高中数学选择性必修二 综合检测试卷一

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∴S5＝9×1＋1＋13 315＝247×1＋315＝691. 当 q＝12时，a1＝q12＝4. ∴S5＝4×1－1－12 215＝8×1－215＝341.
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解析 f′(x)＝4x－2＋41x22.
由f′(x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,1). 又因为f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
m≥－1，
所以m<2m＋1， 2m＋1≤1，
11.函数f(x)＝x2－ln 2x在下列区间上单调的是
A.－∞，
2
2
√
B.
22，＋∞
C.－
22，0
√
D.0，
2
2
解析 因为 f′(x)＝2x－1x＝2x2x－1，
所以 f′(x) ＜0⇔x2＞x2－0，1＜0， 解得 0＜x＜ 22；
f′(x)
x＞0， ＞0⇔2x2－1＞0，
解得
解析
由
an＝2
020－3n>0，得
2 n<
0320＝67313，
又∵n∈N*，∴n的最大值为673.
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14.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树 的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于_6___.
生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次
品率p与日产量x的函数关系是p＝
3x 4x＋32
(x∈N*)，为获得最大盈利，该
厂的日产量应定为
A.14件
√B.16件
C.24件
D.32件
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解析 设数列的通项公式为an＝a1qn－1， 则前三项分别为a1，a1q，a1q2， 后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1. 由题意得 a31q3＝2，a31q3n－6＝4，
两式相乘得 a61q3(n－1)＝8，即 a21qn－1＝2. 又∵a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，
解析 因为该厂的日产量为x，
则其次品数为 px＝4x3＋x232，正品数为(1－p)x＝x42x＋＋3322x， 根据题意得盈利 T(x)＝200×x42x＋＋3322x－100×4x3＋x232，
化简整理得
T(x)＝－25xx2＋＋81
600x .
因为 T(x)＝－25xx2＋＋81 600x，
解析 ∵a1＝13，an＝(－1)n·2an－1， ∴a2＝(－1)2×2×13＝23， a3＝(－1)3×2×23＝－43， a4＝(－1)4×2×－43＝－83， a5＝(－1)5×2×－83＝136.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，
部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有
所以
T′(x)＝－50x＋1
600x＋8－－25x2＋1 x＋82
600x
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＝－25×x2＋1x6＋x－8624×8 ＝－25×x＋3x2－x8－ 16， 当0<x<16时，T′(x)>0；当x>16时，T′(x)<0. 所以x＝16时，T(x)有最大值，即T(x)max＝T(16)＝800(元).
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15等于
A.32
B.－32
√C.35
D.－35
解析 ∵{an}是等差数列， ∴d＝a88－ －a44＝3，
∴a15＝a4＋11d＝2＋11×3＝35.
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A.f(x)>g(x)
B.f(x)<g(x)
√C.f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
√D.f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)
解析 因为f′(x)－g′(x)>0， 所以[f(x)－g(x)]′>0，所以f(x)－g(x)在[a，b]上单调递增， 所以当a<x<b时，f(b)－g(b)>f(x)－g(x)>f(a)－g(a)， 所以f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b).
解得－1<m≤0，
所以实数m的取值范围是(－1,0].
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四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3 处取得极值. (1)求f(x)的解析式；
f 得
1 1x>fxx，
x
所以1x<x，所以 x>1.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的最大正整 数n的值为__6_7_3__.
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10.设{an}是等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于
15 A. 2
√B.341
33 C. 4
√D.691
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n n 1
∴a1nq 2 ＝64， 即(a21qn－1)n＝642，解得 n＝12.
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7.设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处的切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的 部分图象可以为
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3.在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则 a5 等于
A.－136
√B.136
C.－83
8 D.3
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5.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b
＋c＝10，则a的值是
A.1
B.－1
C.－3
√D.－4
解析
2b＝a＋c，
由题意，得a2＝bc， a＋3b＋c＝10，
2.函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是
√A.12，－8
B.1，－8
C.12，－15
D.5，－16
解析 y′＝6x2－6x－12， 由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去). x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12； x＝1时，y＝－8. 所以ymax＝12，ymin＝－8.
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解 A点在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， 所以切线方程为y＝16.
15.已知 a<0，函数 f(x)＝ax3＋1a2ln x，且 f′(1)的最小值是－12，则实数 a 的值为_－__2_.函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为_－__2___.
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解析 f′(x)＝3ax2＋1a2x， 所以 f′(1)＝3a＋1a2≥－12，即 a＋4a≥－4. 又 a<0，有 a＋4a≤－4， 所以 a＋4a＝－4，故 a＝－2. 所以 f(x)＝－2x3－6ln x，f′(x)＝－6x2－6x＝－6x2＋1x<0，
√
解析 由曲线方程y＝sin x，可知g(x)＝cos x， 所以y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数，排除A，B； 当x＝0时，y＝0，排除D，故选C.
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8.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果
x＞
2 2.
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12.已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，可
以使不等式x2f 1x－f(x)>0的x的取值范围为
A.(0,1)
√B.(1,2)
√C.(1，＋∞)
解析 设数列{an}的公比为 q，由 a2a4＝1 得 a23＝1， ∴a3＝±1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝aq32＋aq3＋a3＝7， 当a3＝－1时，得8q2＋q＋1＝0无解， 当a3＝1时，得6q2－q－1＝0， 解得 q＝12或 q＝－13， 当 q＝－13时，a1＝q12＝9.
解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2. 由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102. 由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
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√D.(2，＋∞)
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解析 令 F(x)＝fxx，则 F′(x)＝xf′xx2－fx，
因为f(x)>xf′(x)，所以F′(x)<0，F(x)为定义域上的减函数，
由不等式
x2f
1x－f(x)>0
解得a＝－4，b＝2，c＝8.
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6.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积
为64，则该数列有
A.13项
√B.12项
C.11项
D.10项
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所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减， 函数f(x)在区间[1,2]上的最大值是 f(1)＝－2.
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16.若函数 f(x)＝x24＋x 1在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数 m 的取值范 围是_(_－__1_,_0_] _.
4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于
A.0
B.1
C.2
√D.3
解析 令 f(x)＝ax－ln(x＋1)，则 f′(x)＝a－x＋1 1. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1. 又切线方程为y＝2x， 则有a－1＝2，所以a＝3.
解 f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. 因为f(x)在x＝3处取得极值， 所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3. 所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
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