地球流体力学_浅水方程前八节相关公式的推导

2、涡度
∂V ( ) + ∇ ⋅ V + f V H =0 涡度方程(4.3)化为： ∂t
对流体域 A 作面积分，利用散度定理和(5.1)得：
[
]
(5.6)
∂ ( ) Vdxdy = ∫ V + f VH ⋅ n0 dr c0 ∂t ∫∫ A J − Σ ∫ (V + f ) VH ⋅ n j ⋅ dr = 0
H=
1 gh u 2 + v 2 + gh ，为哈密顿函数 2
(
)
见 Salmon .R. ,1983，J.F.M., V.132 ,P431-444.
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§3.6，3.7，3.8，小振幅运动，线性地转运动（线性定常） ， 等深流体层中的平面波（线性非定常）线性问题。
H = H 0 ( x, y ) + η ( x, y , t )
∂u ∂v w − whB = −( z − hB ) ∂x + ∂y w≡ ∂u ∂v ∂hB ∂hB dz + u = (hB − z ) + + v ∂x ∂y dt ∂x ∂y
（*）
∂hB ∂hB = w u + v 已应用了下边界条件： z = hB ∂x ∂y
(6.1)
H 0 ～静止流体层厚度，η << H 0 ， V H 很小，即：
∂V H >> V H ⋅ ∇VH ， （3.15a，b）(3.22a)，线性化。 ∂t
∂u ∂η − fv = − g ∂x ∂t ∂v ∂η + fu = − g ∂y ∂t ∂η ∂ ∂ + (uH 0 ) + (vH 0 ) = 0 ∂y ∂t ∂x (6.3a) (6.3b) (6.3c)
j =1 c j
(5.7)
V 已用前述边界条件： H ⋅ n j
3、总质量
cj
= 0 ，总涡度或平均涡度守恒。
∂ H dxdy = 0 （3.22a） ∂t ∫∫ A
总质量守恒。 4、总能量
(5.8)
2 V HVH ⋅ (5.3) + H ⋅ (3.22b ) : 2
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∂ VH ⋅ VH HV H ⋅ V H + ∇ + (ξ + f )k ∧ V H = − g∇h 2 ∂t 2 V ∂H + H ⋅ + ∇ ⋅ HV H = 0 2 ∂t VH ⋅ k ∧ VH = k ⋅ VH ∧ VH = 0 1 2 ∂ H 2 VH + ∇ ⋅ HVH VH 2 ∂t 2 = − g∇ ⋅ HVH h + gh∇ ⋅ HVH ∂H ∂h H V ∇ ⋅ = − ， (H = h − hB ) 代入上式： H = − (3.22b) ∂t ∂t 2 ∂ 1 2 HVH + gh = −∇ ⋅ HVH VH 2 + gh (5.10) )) ) ))) ( ∂t 2
dρ + ρ∇ ⋅ V = 0 ⇒ 连续方程 dt ∂u ∂v ∂w + + =0 不可压条件： ∂x ∂y ∂z
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∂w ∂u ∂v = − ∂x + ∂y dz ，u，v 不随 z 变化 和 ρ = const ： ⇒ ∫ ∂z hB
z
（初始化如此，以后也如此） ⇒
地球物理流体力学
A
课程：硕士研究生 主讲：陆 维 松
二 00 六年二月
1
目
第一章 引 言…
录
第三章 无粘浅水理论 §3.3,3.4 浅水方程 §3.5 积分关系 §3.6，3.7，3.8，小振幅运动，线性地转运动（线性定常） ， 等深流体层中的平面波（线性非定常）线性问题页
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地球物理流体力学
By Joseph Pedlosky 第一章 引 言
则随流体运动时， Π s = 质点运动的轨线守恒。 注 意 ： f > ς → (ς + f ) > 0 则 ln (ς + f )
(3.4.6)
ς+f
H
= 0 （位涡守恒） ，即沿流体
有意义；若
ς < 0且 ς > f , 则 ln(ς + f ) 无意义，低纬可能出现此情况。
（2）流体质点相对高度守恒：
∂p = − ρg + O δ 2 也是静力平衡条件，反之， ∂z
义，直接写出浅水方程：
( )
也可作浅水定
∂u ∂u ∂u ∂h +v − fv = − g +u ∂t ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v ∂h + u + v + fu = − g ∂t ∂x ∂y ∂y ∂H ∂ ∂ + (uH ) + (vH ) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂H + V ⋅ ∇H + H∇ ⋅ V = 0 ∂t
w≡
(3.25)：
∂h ∂h dz z − hB dH = +u B +v B dt H dt ∂x ∂y
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d (z − hB ) z − hB dH 1 d (z − hB ) = 1 dH = ⇒ dt H dt z − hB dt H dt
1 d 1 dH d z − hB ( ) − = z h ln = 0 B ⇒ dt ， ⇒ z − h dt H dt H B
式中 H = h − hB ， z = hB 为底面或地形高度。
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(3.3.15a) (3.3.15b) (3.3.15c)
浅水方程两个个别质点所携带的物理量守恒： （1）位涡 ； （2）流体质点相对高度。 （1）由（3.3.15a，b）作涡度运算，得涡度方程：
d (t + f ) ≡ ∂ς + u ∂ς + v ∂ς + v ∂f dt ∂t ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v = −(ς + f ) ∂x + ∂y
（3.17）
∂F ∂F ∂F ∂F dF +u +v +w =0 = 0, ∂z ∂t ∂x ∂y dt
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z ∂z = 0 ⇒ w = −u −v =u +v ∂t ∂F ∂z ∂F ∂z ∂x ∂y ∂h ∂h ⇒ w=u B +v B ∂x ∂y
(3.22b) 代入 (*) ，得：
与上述位涡仅差常数因子 ρ 。若不计常数因子 ρ ，Π 正是位势 涡度。 注意：自由面上流体质点沿自由面的物质面运动时，其自身 高度与 z 无关，仅与 x，y，t 有关。 §3.5 积分关系
四个积分量守恒： 总涡度，质量，能量，环流。 “苏子曰，客亦知夫水与月乎。逝者如斯，而未尝往也；盈虚 者如彼，而卒莫消长也。盖将自其变者而观之，则天地曾不能以 一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。而又何羡乎？” --苏轼，赤壁赋 “年年岁岁花相似， 岁岁年年人不同” .-- 刘希夷 “代悲白头翁V d r ⋅ = − + ∧ ⋅ H H ∫c j j ∂t ∫c j
(
)
(5.4)
注意：斯托克斯公式 ，
∫
cj
∇( ) ⋅ dr = ∫∫ ∇ ∧ [∇(
)] ⋅ ds = 0，
∇ ∧ [∇( )] = 0 混合积： a b ∧ c = a , b , c = b , c , a 对应： k ∧ V H ⋅ dr = k ⋅ V H ∧ dr =0
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1、环流
∂ V ⋅V VH + ∇ H H + (V + f )k ∧ VH = − g∇h (5.3) ∂t 2 C j ( j = 1,2, , J ) 积分， V H = ui + vj ， 将上式沿任意闭周积分，
有，
水平动量方程（3.15a，b）写为矢量形式
从密度层结看，重空气位于轻空气之下，似乎是重力稳定的， 但它还受到温度层结制约，重力稳定是这两者综合。即层结稳定 度，或静力稳定度。若考察地球旋转，则有对称不稳定。

要做到，把研究成果提炼成带有自然哲学意义的结论。 地球物理流体力学，主要研究对象是大气与海洋大尺度运动
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动力学问题。而大气和海洋这两种地球流体有三种相同的主 要特征： (1)同处于旋转地球上；(2)，同在重力场作用下；(3)，密度层 结和温度层结。 因此，这两种流体都遵循旋转层结流体运动的规律。
(
)
z − hB = λ ρ = const ， ω = ςk ， 2Ω = fk ， λ H （ 必须是

守恒量才行）代入（2.5.8）得：
ς + f z − hB Π= k ⋅ ∇ + O(δ ) ρ H
≈
ς + f ∂ z − hB 1 ς + f = ρ ∂z H ρ H
∂u ∂v dH = − H (3.22a)： dt ∂x + ∂y
（3.4.3）
1 d (ς + f ) 1 dH = (3.4.3)代入上式：ς +f dt H dt d d ⇒ ln (ς + f ) − ln H = 0 ， ⇒ dt dt
（3.4.5）
d ς + f d ς+f ln = 0 =0 ⇒ ， dt H dt H
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第三章
无粘浅水理论
均质不可压缩的无粘旋转流体动力学，特点： 1，足够简单； 2， 该模式研究大气和海洋的重要的基本运动； 3， ρ = ρ 0 ，不考虑层结效应，或层结效应不太重要，但有旋转 和重力。
§3.3
浅水方程
D << 1 L
浅水近似：δ =
（3.2.1）
D ：运动垂直尺度 L： 运动的特征水平长度尺度。 (3.2.1)
(
)
(
)
[
(
( )] ( )
{ (
)
(
)
(
)
)}
能通量矢量
积分得：
2 ∂ 1 dxdy HVH + gh 2 = 0 ∫∫ ∂t A 2
(
)
(5.11)
1 2 HVH ~ 单位面积流体柱的动能，无地形： hB = 0 。 2 1 2 gh ~ 单位面积流体柱的位能。 2
(5.11) ：总能量守恒。
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半径——尺度问题。 二．波动理论： 1．准定常行星波动力学、阻塞动力学、大气环流遥相关机 制；大气自由模 2．能量频散：重力波将非地转累积能量频散，地转适应； Rossby 波将准地转累积能量频散，旋转适应； 能量的累积（集中）与频散是个重要问题，有一时空尺度。 三．大气动力稳定性： 波－波相互作用、波－流相互作用、 波的破碎和非线性临界层 四．温度层结和密度层结：大气的垂直结构
Charney，J.G.(1971)首次写了一本”Planetary Fluid Dynamics” 的专著。Pedlosky，J.(1979)写了“地球物理流体力学”这一著名 教科书，1987 年出了第 2 版。这标志着地球物理流体力学这一 学科走向成熟。展望未来，地球物理流体力学将会取得更大的进 展和突破。可以从以下方面考虑： 一、 气候：低频动力学。如 ENSO、热带、中高纬低频振荡、 平流层准两年振荡、年代际变化。 。 。 二、 暴雨等：大气微物理过程：云、辐射、水的相变、CO2、 O3 等物理、化学过程对大气运动的影响。暴雨等强对流中小 尺度天气现象，还包括生态环境和人类活动对大气的影响。 三、 大气中不同时空尺度运动的相互作用，及其结构和稳定 性，重要天气系统的主要物理过程和动力机制。 四、 非线性数学物理理论的应用。如：突变、分岔、稳定性； 湍流串级理论； “负粘性”机理。 。 。 理论基础： 一．准地转理论与地转适应理论： 1． 准地转、准水平、准无辐散性； 2． 大气质量场与运动场之间相互调整、相互适应、变形
d z − hB d z − hB ln = 0 ⇒ dt ， ⇒ dt H = 0 H
(3.26)
z − hB （3.26）式表示 H 表示每个流体质点距下边界的相对高度。
当每个流体柱伸长或收缩时， 流体质点在流体柱中的相对位置不 变。
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z − hB 由 H ，相对高度守恒也可构成位涡 ω + 2Ω Π = ⋅ ∇λ （2.5.8） ： 位涡 ρ
(
(
) ( )
) ( (
) )
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应用刚壁边界条件： V H ⋅ n j = 0 ，在 c j 上： VH // dr → V H ∧ dr = 0 ∂ ⋅ = 0 ， j=0，1，2….，J。 V d r H 则： ∂t ∫c j 即相对速度 V H 沿 c j 的环流守恒。