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第3章 能量定理和守恒定律
3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。

已知摆球质量为m ，圆半径为R ，摆球速率为υ，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为多少？
解：如3-5题图所示，一周内作用在摆球上重力冲量的大小为 3-6用棒打击质量为0.3Kg 、速率为20m/s 的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m 的高度。

求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力。

解：设球的初速度为1υ，球与棒碰撞后球获得竖直向上的速度为2υ，球与棒碰撞后球上升的最大高度为h ，如3-6题图所示，因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 由冲量的定义可得棒给予球的冲量为 其冲量大小为 球受到的平均冲力为
t F I ⋅=__
()N t
I
F 366__
==
3-7质量为M 的人，手里拿着一个质量为m 的球，此人用与水平线成θ
角的速度0υ向前跳去。

当他达到最高点时，将物体以相对人的速度
μ水平
向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少?（假设人可视为质点） 解：如3-7题图所示，把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向后抛物的过程中，满足动量守恒，故有
式中υ为人抛物后相对地面的水平速率，υμ-为抛出物对地面的水平速率，得
人的水平速率的增量为
而人从最高点到地面的运动时间为
所以，人由于向后抛出物体，在水平方向上增加的跳跃后距离为 3-8 一质量为m ＝2kg 的物体按()m t x 22
13+=的规律作直线运动，求当物体由m x 21=运动到m x 62=时，外力做的功。

解：由22
13+=t x ，可得 2
32
dx t dt υ=
= 当物体在m x 21=处时，可得其时间、速度分别为
()2113002
m s υ-=⨯=⋅ （1）
当物体在m x 62=处时，可得其时间、速度分别为
()2123262
m s υ-=⨯=⋅ （2）
则由（1）、（2）式得外力做的功 3-9
求把水从面积为2
50m 的地下室中抽
到街道上来所需作的功。

已知水深为1.5m ，水面至街道的距离为5m 。

解：设01h h 、分别表示水面至街道的距离、水深，如3-9题图所示，将地下室中的水抽到街道上来所需作的功为
3-10如图所示，一个质量M ＝2kg 的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从A 滑到B ，在B 处时速度的大小是6m/s 。

已知圆的半径R ＝4m ，求物体从A 到B 的过程中，摩擦力所作的功。

解：如3-10题图所示，以物体和地球为一系统，物体滑动过程中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为
3-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为s N ⋅00.4，
在同一时间间隔内，该力所作的功为J
00.2，问该质点质量是多少？
3-9题图
3-10题图
解：设质点末动量为p ，末动能为k E ，由于质点最初处于静止状态，因此，初动量00=p ，初动能00=k E ，，根据动量定理和动能定理分别有
而 222
1222k p I E m m m
υ===
所以 kg W
I E I m k 00.4222
2===
3-12 如3-12题图所示，A 球的质量为m ，以速度u 飞行，与一静止的小球B 碰撞后，A 球的速度变为1υ其方向与u 方向成090，B 球的质量为5m ，它被撞后以速度2υ飞行，2υ的方向与u 成θ (5
3
arcsin =θ)角。

求： (1)求两小球相撞后速度12υυ、的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。

解：（1）取A 球和B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得
水平方向： 25cos mu m υθ= （1） 竖直方向： 2105sin m m υθυ=- （2）
联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为
（2）碰撞前后两小球动能的变化为 3-13 一质量为10g 、速度为1200-⋅s m 的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m 后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，
求墙壁对子弹的作用力。

解：以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有
3-14一质量为m 的质点在x-y 平面内运动，其位置矢量为
tj b ti a r ωωsin cos +=，其中a ，b 和ω均是正常数 试证明该质点对于坐标原
点角动量守恒。

解：由tj b ti a r ωωsin cos +=可得
即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。

3-12题图
3-15在光滑的水平面上有—木杆，其质量kg m 0.11=，长cm l 40=，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。

一质量为g m 102=的子弹，以2210/m s υ=⨯的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。

若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。

解：设/12J J ωω、、、分别表示杆相对于轴O 的转动惯量、子弹相对于O 轴的转动惯量、子弹射向杆前子弹相对于O 轴的角速度、子弹陷入杆后时杆的角速度，如3-15题图所示，以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律
222/1
2222122m l l l m m l υω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-16 一质量为kg 0.20的小孩，站在一半径为
m 00.3、转动惯量为2450m kg ⋅的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转
台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。

如果此小孩相对转台以
100.1-⋅s m 的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大?
解：取0ωωω1、、分别表示转台相对地面的角速度、小孩相对转台的角速度、小孩相对地面的角速度，由相对角速度的关系，小孩相对地面的角速度为
以小孩和转台为一系统，由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有
式中负号表示转台的方向与小孩相对转台的速率引起的转动方向相反。

3-17 一质量为m 的地球卫星，沿半径为E R 3的圆轨道运动，E R 为地球的半径。

已知地球的质量为E m ，求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能。

解：（1）卫星与地球之间的万有引力是提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得
则卫星的动能 21
2
6E k E
m m
E m G
R υ== （2）取与卫星、地球相距无限远（∞→r ）时的引力势能为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为 （3）卫星的机械能为
3-18如图所示，一质量为m 的子弹在水平方向以速度v 射入竖直悬挂的
3-15题图
靶内，并与靶一起运动，设靶的质量为M ，求子弹与靶摆动的最大高度。

解：如3-18题图所示，取子弹和靶为一系统，子弹与靶碰撞过程中无水平外力作用，由动量守恒定律得
()1m m M υυ=+ （1） 子弹与靶在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得
()()211
2
m M m M gh υ+=+ （2）
联解（1）、（2）式可得子弹与靶摆动的最大高度为
3-19 如图所示，质量为m 的钢球。

系在长为l 的绳子的—端，绳子的另一端固定。

把绳拉到水平位置后，再把球由静止释放，球在最低点与—质量为M 的钢块作完全弹性碰撞，问碰撞后钢球能达到多高?
解：设12V h υυ、、、分别表示钢球下落到刚要与钢块碰撞时的速度、钢球与钢块碰撞后钢球的速度、钢球与钢块碰撞后钢块
的速度、钢球与钢块碰撞后钢球能达到的最大高度，如3-19题图所示，钢球由静止释放过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得
1υ=（1）
以钢球和钢块为一系统，钢球在最低点与钢块作完全弹性碰撞，无水平方向外力作功，则有
12m m MV υυ=-+ （2） 222121112
2
2
m m MV υυ=+ （3） 221
2m mgh υ= （4）
联解（1）、（2）、（3）、（4）可得钢球能达到的最大高度为
3-20长为l 质量为0m 的细棒可绕垂直于一端的水平轴自由转动。

棒原来处于平衡状态。

现有一质量为m
的小球沿光滑水平面飞来正好与棒下端
相碰(设碰撞为完全弹性)使杆向上摆到0
60=θ。

如3-20题图所示，求小
球的初速度。

解：设ω为小球与棒碰撞后棒获得的角速度，υ为小球与
棒碰撞后小球的速度，0υ为小
球与棒碰撞前小球的初速度，如3-20题图所示，取小球和棒为一系统，小球与棒碰撞过程中，外力对转的轴力矩为零，则由角动量守恒定律得
2001
3
m l J m l m l m l υωυωυ=+=+ （1）
又小球与棒碰撞为完全弹性碰撞，则在碰撞瞬间， 22201112
2
2
m m J υυω=+ （2）
棒在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得
()
00260cos 1221-=l
g m J ω （3） 联解（1）、（2）、（3）可得小球的初速度为
3-21 如3-21题图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k ），它的一端固定，另一端系一质量为1m 的滑块。

最初滑块静止时，弹簧呈自然长度0l ，今有一质量为2m 的子弹以速度0υ沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l 时，求滑块速度的大小和方向。

解：设A υ、B υ、θ分别表示为子弹嵌入滑块后的共同速度、弹簧被拉伸至长度l 时，滑块的速度、弹簧被拉伸至长度l 时，滑块的速度与拉伸长度l 的延长线之间夹角，如3-21题图所示，由动量守恒定律得 ()2012A m m m υυ=+ （1）
再由机械能守恒定律得
()()()2
22
120121
1122
2
A B m m k l l m m υυ+=-++ （2）
联解（1）、（2）式得当弹簧被拉伸至长度l 时，滑块速度的大小为
B υ=
由角动量矩守恒得。