人教课标版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》教案-新版

1.3 简单曲线的极坐标方程
一、教学目标 （一）核心素养
通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力． （二）学习目标
1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．
3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． （三）学习重点
1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程． 2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． （四）学习难点
1．求曲线的极坐标方程．
2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 2．预习自测
（1）下列点不在曲线θρcos =上的是( )
A.)3
,21(π
B.)3
2,21(π-
C.)3,21(π-
D.)3
2,21(π-
【知识点】极坐标方程
【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D 不满足方程 【思路点拨】由极坐标方程定义可得 【答案】D ．
（2）极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为( ) A.2=ρ B .4=ρ C.2cos =θρ
D.1sin =θρ
【知识点】极坐标方程
【解题过程】任取圆上一点的极坐标为),(θρ，依题意R ∈=θρ,2,所以选A 【思路点拨】根据题意寻找θρ,的等量关系式 【答案】A ．
（3）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： ①射线)0(3≤=x x y ；②圆0222=++x y x ． 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化
【解题过程】①因为=x θρcos ，=y θρsin 代入可得3tan ,cos 3sin ==θθθ 又因为0≤x ，所以射线在第三象限，故取θ＝4π
3(ρ≥0 )
②将=x θρcos ，=y θρsin 代入0222=++x y x ，整理得θρcos 2-= 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得 【答案】①θ＝4π
3(ρ≥0 ) ②θρcos 2-=．
（4）极坐标系下，直线2)4cos(=-π
θρ与圆ρ＝2的公共点个数是 .
【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系
【解题过程】直线方程ρcos )4
(π
θ-＝2，即)sin 22cos 22(θθρ+＝2，
所以直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
圆的方程ρ＝2，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝
|0＋0－2|
2
＝2＝r ，
所以直线与圆相切，即公共点个数是1.
【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理 【答案】 1 (二)课堂设计 1．知识回顾
（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．
（3）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：
=x θρcos ， =y θρsin
=2ρ22y x +， =
θtan )0(≠x x
y
2．问题探究
探究一 结合实例，类比认识极坐标方程★ ●活动① 类比推理概念
在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示．曲线与方程满足如下关系：
(1)曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x f 的解； (2)以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上．
那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示呢？我们先看一个例子 半径为a 的圆的圆心坐标为)0,(a C ，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件吗？
类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如右图所示，设圆经过极点O ,圆与极轴的另一个交点为A ，
则a OA 2=，设),(θρM 为圆上除A O ,以外的任意一点，则AM OM ⊥,所以在AMO Rt ∆中，
MOA OA OM ∠=cos ,即θρcos 2a =.
经验证，点)0,2(),2
,0(a A O π
的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标
),(θρ满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上.
所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲
线C 的极坐标方程．
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．则这个点在曲线上.
【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升
分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？
求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标θρ,的关系式0),(=θρf 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：
(1)建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．
(2)连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．
(4)检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．
【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究二 探究直线的极坐标方程 ●活动 互动交流、初步实践
组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的步骤，我们动手求解：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为
3
π
的直线的极坐标方程
.
M
如右图，以极点O 为分界点,直线l 上的点的极坐标分成射线,OM 射线M O '两个部分，射线
OM 上任意一点的极角都为
3
π
，所以射线OM 的极坐标方程为：)0(3
≥=
ρπ
θ；
而射线M O '上任意一点的极角都是
34π，所以射线M O '的极坐标方程为：)0(34≥=ρπθ 综上：直线l 的极坐标方程可以用)0(3≥=ρπθ和)0(3
4≥=ρπ
θ表示
现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？
我们定义：若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称.
这样就可以将ρ的取值范围推广到全体实数.于是在允许R ∈ρ，那么上述直线l 的极坐标方程就可以写为： )(3
R ∈=
ρπ
θ或)(3
4R ∈=
ρπ
θ 【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点． 探究三 探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识
在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为)4,1(π
A ,半径为
1的圆的极坐标方程是多少呢？
如右图所示，设),(θρP 为圆上任一点，
当P A O ,,三点不共线是，在OPA ∆中利用余弦定理可得
222)4
cos(2AP OAOP OP OA =--+π
θ
1)4cos(212=--+∴π
θρρ
即 )4cos(2π
θρ-=
当P A O ,,三点共线时，点P 的坐标为)43,0(π或)4
,2(π
，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程.
在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.
【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备． ●活动② 强化提升、灵活应用
),(θρP
O
根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即
由于圆心在极坐标系下为)4
,1(π
A ，则在直角坐标系下圆心)22,22(A ，半径1=r ，所以
圆的直角坐标方程为：1)2
2()22(2
2=-+-
y x ，整理得：y x y x 2222+=+，
因为=x θρcos ， =y θρsin ，代入直角坐标方程得)4
cos(2sin 2cos 22π
θρθρθρρ-=+=
化简得： )4
cos(2π
θρ-= 【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系． 活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 极坐标方程2
π
ρ=
表示( )
A ．直线
B ．射线
C ．圆
D ．椭圆 【知识点】曲线与极坐标方程．
【解题过程】44,22
2
22
2
ππρπ
ρ=
+∴=∴=y x ，所以曲线表示的是圆． 【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断． 【答案】C
同类训练 极坐标方程)(2
1
sin R ∈=
ρθ表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线 【知识点】曲线与极坐标方程． 【解题过程】∵sin θ＝
21，∴)(26Z k k ∈+=ππθ或)(26
5Z k k ∈+=ππθ,又∵R ∈ρ，∴)(2
1
sin R ∈=
ρθ表示两条相交直线． 【思路点拨】通过极坐标方程来判断． 【答案】A
例2 把下列直角坐标方程化成极坐标方程．
（1）0132=--y x （2）0222=++y y x （3）1022=-y x
【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．
【解题过程】（1）由=x θρcos ，=y θρsin ，代入直角坐标方程0132=--y x 得，
01sin 3cos 2=--θρθρ，即01)sin 3cos 2(=--θθρ
（2）由上同理可得：θρsin 2-= （3）102cos 2=θρ 【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．
【答案】（1）01)sin 3cos 2(=--θθρ；（2）θρsin 2-=；（3）102cos 2=θρ
同类训练 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1） 2sin =θρ （2） θθρsin 4cos 2-= 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．
【解题过程】（1）由=x θρcos ， =y θρsin ，代入极坐标方程2sin =θρ得，2=y ，即02=-y （2）由θθρsin 4cos 2-=，等式两边同乘以ρ得θρθρρsin 4cos 22-=，所以y x y x 4222-=+，即：5)2()1(22=++-y x
【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如θρsin ，θρcos ，2ρ的形式，进行整体代换．
【答案】（1）02=-y ； （2）5)2()1(22=++-y x .
【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化． ●活动4 强化提升、灵活应用
例3 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离．
【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．
【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标
方程22
)4sin(=+πθρ化为直角坐标方程，得：1=+y x .
把点A 的极坐标)4
7,
2(π
化为直角坐标，得：)2,2(-
在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离2
22
1
22=
--=
d ，所以点)4
7,
2(π
A 到直线22)4sin(=
+πθρ的距离为22． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】
2
2
． 同类训练 求极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．
【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程2)cos (sin =-θθρ化为直角坐标方程，得：2=-x y . 把极点的极坐标)0,0(化为直角坐标，得：)0,0(
在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离22
2
00=--=d ，所
以极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离为2． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】2． 3.课堂总结 知识梳理
（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线
C 的极坐标方程．
（2）求曲线的极坐标方程的一般步骤：
①建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．
②连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．
④检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可
以省略．
（3）若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称． 重难点归纳
（1）求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．
（2）极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． （三）课后作业 基础型 自主突破
1．经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4
π
的直线l 的极坐标方程是（ ）
A ．)0(4
≥=
ρπ
θ B ．4
π
ρ=
C ．)0(4
>=
ρπ
θ D ．)(4
R ∈=
ρπ
θ
【知识点】极坐标方程．
【解题过程】将直线l 画在极坐标系中，易得选项D 正确. 【思路点拨】根据根据图像进行判断． 【答案】D ．
2．直线3
3x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π
6 B ．θ＝7
6π C ．θ＝π6和θ＝7
6π
D ．θ＝5
6π
【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【解题过程】由33x －y ＝0，得3
3ρcos θ－ρsin θ＝0，
即tan θ＝33，∴θ＝π6和θ＝76π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝π6和θ＝7
6π表示 【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【答案】C
3．极坐标方程cos θ(ρ≥0)表示的曲线是( )．
A ．余弦曲线
B ．两条相交直线
C ．两条射线
D ．一条射线 【知识点】极坐标方程的求解．
【解题过程】∵cos θ，∴θ＝4
π
±＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ表示两条射线． 【思路点拨】利用三角函数图像可得． 【答案】C ．
4．圆的极坐标方程ρ＝cos θ－2sin θ对应的直角坐标方程为( )
A.45)1()21(22=+++y x
B.4
5
)1()21(22=++-y x
C.45)1()21(22=-+-y x
D.4
5)1()21(22=-++y x
【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．
【解题过程】θρθρρθθρsin 2cos ,sin 2cos 2-=∴-= ，所以y x y x 222-=+
即4
5
)1()21(22=++-y x ，所以选B.
【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】B ．
5．极坐标系内，点)2,1(π
到直线ρcos θ＝2的距离是________．
【知识点】极坐标与直角坐标的转化．
【解题过程】点)2,1(π
的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，
1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.
【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】2．
6．在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．
【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离． 【数学思想】分类讨论思想．
【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42
＝8
5，所以A ，B 两点之间距离的最小值
为d －r ＝85－1＝3
5．
【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】 3
5． 能力型 师生共研
7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.)2,1(π
B.)2
3,
1(π C ．)0,1(
D ．),1(π
【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．
【解题过程】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为)2
3,1(π
. 【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】B ．
8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为1)3cos(=-π
θρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程．
【解题过程】 (1)由1)3
cos(=-π
θρ，得1)sin 23cos 21(=+θθρ
又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋3
2y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N )2
,332(π.
(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标)33
2
,0(. 又P 为MN 的中点， ∴点P )33,
1(，则点P 的极坐标为)6
,332(π. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R )． 【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解． 【答案】(1)M (2,0)，N )2
,332(π
；(2) θ＝π6(ρ∈R ) 探究型 多维突破
9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建
立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4
cos(=-π
θρ，曲线C 的极坐标方程为
),2(sin 4⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=ππθθρ，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标．
【知识点】极坐标方程的应用． 【数学思想】分类讨论的思想．
【解题过程】由⎪⎩⎪
⎨⎧=-=22)4cos(sin 4π
θρθρ 得：1sin cos sin 2=+θθθ，即：θθθ2cos cos sin = （1）当0cos =θ时，即2
π
θ=时，4=ρ
（2）当0cos ≠θ时，即2π
θ≠
时，此时θθcos sin =，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=ππθθ,21tan ，所以不成立. 交点极坐标为)2
,4(π
【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．
【答案】)2
,4(π
．
10．已知椭圆的中心在坐标原点O ，椭圆的方程为：122
22=+b y a x ，B A ,分别为椭圆上的两
点，且OB OA ⊥. （1）求证：
2
21
1OB OA +
为定值；（2）求AOB ∆面积的最大值和最小值．
【知识点】极坐标方程的应用．
【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2
＝1，即ρ2
＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ2
1＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，
ρ22＝a 2b 2b 2
sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22
＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2
θ1
a 2
b 2＝
a 2＋
b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1
|OB |2为定值．
(2)解析：依题意得到S △AOB ＝12|OA ||OB |＝1
2ρ1ρ2＝ 12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·
a 2
b 2
（a 2－b 2）2sin 2
2θ1
4＋a 2b 2
，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 2
2θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2. 【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．
【答案】（1）1|OA |2＋1|OB |2=a 2＋b 2
a 2
b 2；（2）S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2，S △AOB
有最大值为
ab
2. 自助餐
1．过点)4,2(π
A 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
A ．2sin =θρ
B ．2sin =θρ
C ．2cos =θρ
D ．2cos =θρ
【知识点】极坐标方程的求解．
【解题过程】如图所示，
如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)(ρ≥0)，过M
x 轴于H .
⎭
⎪⎫
2，π4，
在直线l 上任意取点),(θρM ，过M 作x MH ⊥轴于H ，)4,2(πA 24
sin 2==∴π
MH ，
,sin sin Rt OMH MH OM θρθ∴∆=∴=，
所以，选B
【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找θρ,的关系式． 【答案】B ．
2．极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.
2
2
B.2
C.1
D.2 【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．
【解题过程】:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ
和ρ2=ρsin θ.∴x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y .它们的圆心分别是(21,0)、(0,2
1
),圆心距是22.
【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】A ．
3．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π
3，则弦长|AB |＝________．
【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离． 【解题过程】A ，B 两点的极坐标分别为)3
,3(),32,
3(π
π，化为直角坐标为)23,23(),23,23(-
.故3)2
323()2323(22=-+--
=AB 【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】3．
4．曲线θ＝0，θ＝π
3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________． 【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积． 【数学思想】数形结合的思想
【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线)0(3,0≥==x x y y ，圆
1622=+y x ，他们围成的是一个圆心角为3
π
θ=
，半径为4=r 的扇形，所以3
8212π
θ=
=
r S ． 【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．
【答案】
3
8π
． 5．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：
(1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；
【知识点】极坐标与直角坐标互化．
【解题过程】(1)∵x 2＋(y －2)2＝4，∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，
即2
81)29()29(22=-+-y x
(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16.
【思路点拨】用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．
【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）2
81
)29()29(22=-+-y x ；（3）x 2＋y 2＝16．
6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标为θ＝π
4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．
【解题过程】：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2.
【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用ρ的几何意义求三角形的面积．
【答案】（1）C 1 ρcos θ＝－2，C 2 ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）1
2.。