【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)

考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3
B ．0
C ．1-
D ．1
2．（山东省日照市2019届高三1月校际联考数学理）若直线102430x ay x y +-=-+=与垂直，则二项
式5
21ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为( )
A ．2-
B ．5
2
-
C ．2
D ．
52
3．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为
42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．（宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学理）双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153
x y +=，
若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．
5
4
B ．
53
C ．
43
D ．5
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测二）设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2α的值为（ ） A ．5
-
B ．25
-
C ．
35
D ．45
-
6．（安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学理）已知函数
在区间
内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理）已知点是曲线
上任意一点，记直线
（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）
A ．至少存在两个点使得
B ．对于任意点都有
C ．对于任意点都有
D ．存在点使得
8．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线
上两点
分别作抛物线
的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．（江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学理）已知m 为实数，直线：
，：
，则“
”是“
”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2数学理）若实数满足不等式组，则
目标函数的最大值是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．（河南安阳2018届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：
的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线
上，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）设不等式组22(1)
x y y k x ⎧+≤⎨+≤+⎩所表示的平面区域为D ，其
面积为S .①若4S =，则k 的值唯一；②若12S =
，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则2
03
k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该
直线方程为 A ． B ．
C ．
或
D ．
或
14．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）若曲线()x
x
f x ae e -=+在点(0,(0))f 处的
切线与直线30x y +=垂直，则函数()f x 的最小值为__________． 15．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）已知，
，若直线
与
直线
互相垂直，则
的最大值是__________．
16．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列{}n a ，若点()(
)*
,n n a n N ∈在经过
点()4,8的定直线l 上，则数列{}n a 的前7项和7S =______．
17．（山东省烟台市2019届高三高考一模考试数学理）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F
的动直线交抛物线C 与,A B 两点，当直线与x 轴垂直时，|4AB|=. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标.
18．（广东省百校联考2019届高三高考模拟数学理）已知为椭圆的右焦点，点
在上，且
轴．
（1）求的方程； （2）过的直线交于两点，交直线
于点．判定直线
的斜率是否依次构成等差数列？请
说明理由．
19．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，
为其左右顶点，
为其上下顶点，若
，。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过
分别作轴的垂线，椭圆的一条切线
，与
交于二点，求证：。

20．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟二数学理）已知椭圆的方程为
，
在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是
的面积的
倍．
（1）求椭圆的方程； （2）直线
（
）与椭圆交于，，连接
，
并延长交椭圆于，，连接
，指出
与
之间的关系，并说明理由．
21．（黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学理）设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.
(I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
22．（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的根坐标方程为，射线，，
与曲线分别交于不同于极点的三点.
（1）求证：；
（2）当时，直线过,两点，求与的值.
23．（广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学理）已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.
（1）若直线的斜率，求直线和抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，设，的面积分别为，，若，求的取值范围.
24．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）椭圆的离心率，
过点和的直线与原点间的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.
25．（山东省聊城市2019届高三一模数学理）已知平行四边形OMAN 的三个顶点M A N ，，都在椭圆
2
21,2
x C y O ：＝+为坐标原点．
1（）当点A 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭
时，求直线MN 的方程； 2（）
证明：平行四边形OMAN 的面积为定值． 26．（新疆2019届高三第一次毕业诊断及模拟测试理）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过点()0,1，其长轴、
焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==．
()1求椭圆的标准方程；
()2若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．
考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3 B ．0
C ．1-
D ．1
【答案】C 【解析】
直线120mx y m -+-=可化为()21y m x =-+，故直线过定点()2,1Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故21
11,132
PQ m k m m m -⋅=⋅
=⋅=-=--，故选C. 2．（山东省日照市2019届高三1月校际联考数学理）若直线102430x ay x y +-=-+=与垂直，则二项
式5
21ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为( )
A ．2-
B ．5
2
-
C ．2
D ．
52
【答案】B 【解析】
由直线10x ay +-=与2430x y -+=垂直，可得()1240a ⨯+⨯-=，求得1
2
a =
，则二项式55221112ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式的通项公式()5103151••1?2r
r
r r r T C x --+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，令1031r -=，求得
3r =，可得展开式中x 的系数为()2
3515••122C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
.故答案为B ．
3．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为
）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B 【解析】
因为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a
=±，
因为两条渐近线互相垂直，所以2
1b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，得a b = 因为双曲线焦距为42，所以22c =
由222c a b =+可知228a =，所以2a =，所以实轴长为24a =. 故选B 项.
4．（宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学理）双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153
x y +=，
若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．
5
4
B ．
53
C ．
43
D ．5
【答案】A 【解析】
过C 的左焦点和点()0,b -的直线可写为：:
1x y l c b
+-'=-，即0bx cy bc ++= l '与l 平行 11053c b ⇒-= 3
5
b c ⇒=
又222b c a =- 222925c c a ⇒=- 221625
a c ⇒= 255
164
c e a ∴=
== 本题正确选项：A
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测二）设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2α的值为（ ） A ．5-
B ．25
-
C ．
35
D ．45
-
【答案】C 【解析】
由题意可知，tan 2α=，2
2
2
3cos22cos 11tan 15
ααα=-=
-=-+.故选C. 6．（安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学理）已知函数
在区间
内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
的几何意义，
表示点与点连线斜率，
实数在区间内，故和在内，
不等式恒成立，
函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,
故函数的导数大于1在内恒成立，
在内恒成立，
由函数的定义域知，，
所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递增函数，
故时，在上取最大值为，
，，故选C.
7．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理）已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（）
A．至少存在两个点使得B．对于任意点都有
C．对于任意点都有D．存在点使得
【答案】C
【解析】
设点的坐标为，则．
对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，
所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．
对于B，当时，，所以，所以B不成立．
对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．
8．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，得，
∴．
设，则，
抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，
由解得，
又两切线交于点，
∴，故得．
∵过两点的切线垂直，
∴，故，
∴，故得抛物线的方程为．
由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
由和可得且，
∴直线的方程为．
故选B．
9．（江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学理）已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l1∥l2⇒，
由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，
由得m≠2，则m=1，
即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，
故答案为：A
10．（湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2数学理）若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
画出表示的可行域，如图，
由可得，
即，
将形为，
表示可行域内的点与连线的斜率，
由图知最小，最大
最大值为，故答案为.
故选B.
11．（河南安阳2018届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：
的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
与,相减得公共弦所在直线方程：，即
，所以由得，
即，因此，选D.
12．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）设不等式组
2
2(1)
x y
y k x
⎧+≤
⎨
+≤+
⎩
所表示的平面区域为D，其
面积为S .①若4S =，则k 的值唯一；②若12S =
，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则2
03
k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，
不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k 的正负有关），
所以不等式组()2
21x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩
所表示的平面区域D 就是它们的公共部分，
（1）因为大正方形的面积为8，若4S =，面积为正方形面积的一半，且过原点O 的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k 的值唯一，命题正确; （2）左边阴影三角形的面积为1，故当k 取适当的负值左倾可以使三角形的面积为1
2
，k 取适当的正值，使得阴影部分的面积为
12，故S=1
2
时，k 的值有两个，故该命题正确；
（3）由（2）的讨论可知，当k ＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D 为三角形时，k 的取值范围为
2
--20]3
∞（，）（，，故该命题错误；
(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D 就是五边形， 此时k ＞
2--2=40--1（）
（）
.故命题正确.
故选：C
13．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该
直线方程为 A ． B ．
C ．
或
D ．
或
【答案】D 【解析】
当直线过原点时，可得斜率为，
故直线方程为
，即
当直线不过原点时，设方程为， 代入点可得
，解得
， 方程为
，
故所求直线方程为：或
，
故选D ．
14．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）若曲线()x x
f x ae e -=+在点(0,(0))f 处的
切线与直线30x y +=垂直，则函数()f x 的最小值为__________．
【答案】4 【解析】
()x x f x ae e -=+，()01f a =+
∴()x x f x ae e -'=-，
代入切点横坐标0x =得到切线斜率
()01f a '=-，
切线与直线30x y +=垂直
()1113a ⎛⎫
∴-⨯-=- ⎪⎝⎭得4a =，
∴()44x x f x e e -=+≥.当且仅当1
4x x
e e =
时，即ln 2x =-时，等号成立 故答案为4
15．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）已知，
，若直线
与
直线互相垂直，则
的最大值是__________．
【答案】. 【解析】 因为直线与直线
互相垂直，所以
，
，又
，
所以
，当且仅当，即
时，等号成立。

所以
的最大值为。

16．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列{}n a ，若点()(
)*
,n n a n N ∈在经过
点()4,8的定直线l 上，则数列{}n a 的前7项和7S =______． 【答案】56 【解析】
因为等差数列{}n a 中，点()(
)*
,n n a n N
∈在经过点()4,8的定直线l 上，
48a ∴=，
∴数列{}n a 的前7项和()71747
7562
S a a a =
+==， 故答案为56．
17．（山东省烟台市2019届高三高考一模考试数学理）已知F 为抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，过F
的动直线交抛物线C 与,A B 两点，当直线与x 轴垂直时，|4AB|=. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标.
【答案】(1) 2
4y x = (2) (1,2)P ±
【解析】 解：（1）因为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．
于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为2
4y x =．
（2）因为抛物线2
4y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --．
设直线AB 的方程为1y x =-，
联立241
y x y x ⎧=⎨=-⎩消去x ，得2
440y y --=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-. 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即00102
00102
221y y y y y x x x x x +--⋅
=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004
y x =，2114y x =，2
224y x =．
代入化简可得
()()0012
220012012
2224
y y y y y y y y y y y +++=
++++，
将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =．
于是点()1,2P ±为满足题意的点．
18．（广东省百校联考2019届高三高考模拟数学理）已知为椭圆的右焦点，点
在上，且
轴．
（1）求的方程； （2）过的直线交于两点，交直线
于点．判定直线
的斜率是否依次构成等差数列？请
说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析. 【解析】 （1）因为点
在上，且
轴，所以
,
由 ，得， 故椭圆的方程为
．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的的方程为，
令
，得的坐标为
．
由，得．
设，则有．①
设直线
的斜率分别为
，
从而．
因为直线
的方程为
，所以
，
所以
． ②
把①代入②，得．
又，所以，故直线的斜率成等差数列．
19．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，
为其左右顶点，为其上下顶点，若，。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：。

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
(1)由题设知解得，，
椭圆的方程为
(2)由题设知，，
与的方程联立消得
与相切
的
得
与、联立得，
又
，即
同理可得
20．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟二数学理）已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，
又，
所以，
由在椭圆上，可得，
所以，
可得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，则，
故直线的方程为，
由消去整理得，
又，
代入上式化简得，
设，，
则，
所以，．
又直线的方程为，
同理可得，．
所以
，所以．
21．（黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学理）设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.
(I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）.
(Ⅱ) 直线的方程为或.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）设抛物线方程为，由以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，可得，故所求方程为．（Ⅱ）由题意设出直线的方程为，并设，由导数的几何意义
可得抛物线在点处的切线方程为，令，可得．根据三点共线得，整理得
，然后结合根与系数的关系可解得，于是可得直线的方程．
试题解析：
（Ⅰ）设抛物线方程为，
∵以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，
∴，
∴该抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设其方程为，
由消取整理得，
显然，．
设，则.
抛物线在点处的切线方程为，
令，得，可得点，
由三点共线得，
∴，即，
整理得,
∴
解得，即，
∴所求直线的方程为或.
22．（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的根坐标方程为，射线，，
与曲线分别交于不同于极点的三点.
（1）求证：；
（2）当时，直线过,两点，求与的值.
【答案】（1）见解析;（2），.
【解析】
（1）证明：依题意，，，
，
则
.
（2）当时，点的极坐标为，
点的极坐标为
直线，
∴，.
23．（广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学理）已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.
（1）若直线的斜率，求直线和抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，设，的面积分别为，，若，求的取值范围. 【答案】（1）：，：；（2）.
【解析】
（1）由题设知：，且，
由与相切知，到的距离，得，
∴：.
将与的方程联立消得，
其得，
∴：.
综上，：，：.
（2）不妨设，根据对称性，得到的结论与得到的结论相同.
此时，又知，设，，
由消得，
其得，从而解得，
由与切于点知到：的距离，得则，故.
由得，
故.
到：的距离为，
∴，
又，
∴.
当且仅当即时取等号，
与上同理可得，时亦是同上结论.
综上，的取值范围是.
24．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）椭圆的离心率，
过点和的直线与原点间的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2） .
【解析】
（1）据题知，直线的方程为.
依题意得.
解得，
，所以椭圆的方程为
.
（2）设
，
（
，），
设直线的方程为.
代入椭圆方程整理得：
.
∴，
.① 由
，依题意可得：
，②
结合①②得，消去解得，（不合题意）.
所以直线的方程为
.
25．（山东省聊城市2019届高三一模数学理）已知平行四边形OMAN 的三个顶点M A N ，，都在椭圆
2
21,2
x C y O ：＝+为坐标原点．
1（）当点A 的坐标为21,2⎛ ⎝⎭
时，求直线MN 的方程； 2（）
证明：平行四边形OMAN 的面积为定值． 【答案】（1）210x -＝； （2）6
2
【解析】
1（）点A 的坐标为21,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，OA ∴的中点坐标为12,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵四边形OMAN 为平行四边形，
MN ∴的中点坐标为122⎛ ⎝⎭
，
设1122M x y N x y （，），（，）
，12121x x y y ∴++＝，， 2
2112222
12
,1
2
x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得()()12121212102x x x x y y y y （）（）＝+-++-，
即)1212102
2
x x y y +-=（﹣）
，1212MN
y y k x x -∴==-， ∴直线MN
的方程为1422y x ⎛⎫
-
-- ⎪⎝⎭
，即10x -＝， 证明2（）：
设直线MN 的方程为：y kx m +＝与椭圆C 相交于M N 、两点，设1122M x y N x y （，），（，）， 将其代入221112
x y +=得()22
2214210k x kmx m +++-（
）＝，()()
22221682110k m k m -+＝﹣＞ 即2221k m +＞，
又1224,21km x x k +=-+ ()
212221
•21m x x k -+＝，
12122y y k x x m ∴+++＝（）＝ 2421km k -
+ 2m +＝2
221
m
k +， ∵四边形OMPAN 为平行四边形．
()12122242,2121km
m OA OM ON x x y y k k ⎛⎫∴=+=++- ⎪++⎝⎭
，＝
∴点A 坐标为22
42,2121km m k k ⎛⎫-
⎪++⎝⎭
∵点A 在椭圆C 上，()()
22
2
222
8412121k m m k k ∴+=++，整理得22421m k +＝
MN ∴=
=
==
点O 到直线MN
的距离为d =
1
2?2
OMAN S MN d ∴⨯
＝
==26．（新疆2019届高三第一次毕业诊断及模拟测试理）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过点()0,1，其长轴、
焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==．
()1求椭圆的标准方程；
()2若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．
【答案】（1）2
213
x y +=；
（2）见解析 【解析】 解：()
1椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过点0,1，
1b ∴=，设焦距为2c ，
长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，
222(2)(2)2(2)a b c ∴+=，又222a b c =+
解得2 3.a =
∴椭圆的方程为2
2 1.3
x y +=
()2由题意设()0,P m ，()0,0Q x ，()11,M x y ，()22,N x y ，
设l 方程为()x t y m =-，
由1PM MQ λ=，知()()111011,,x y m x x y λ-=--
111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，11
1m
y λ∴=
-，
同理由2PN NQ λ=知，22
1m
y λ=
-， 123λλ+=-，()()12120*y y m y y ∴++=，
联立()
2233{x y x t y m +==-，得()22222
3230t y mt y t m +-+-=，
∴需()()
()2422244330**m t t t m ∆=-+->
且有()22212122223
,***33
mt t m y y y y t t -+==++，
()***代入()*得222320t m m mt -+⋅=，2()1mt ∴=，
直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，
∴由题意0mt <，1(mt ∴=-满足()**)，
得l 方程为1x ty =+，过定点()1,0，即()1,0为定点.。