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新人教版八年级数学上册角平分线的性质及其逆定理同步练习试卷

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人教版八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习(有答案)

人教版八年级上数学12.3《角平分线的性质》同步练习(有答案)

八年级上数学12.3 《角均分线的性质》同步练习一、选择题：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的均分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ______．2、如图，△ ABC中，∠ C=90°， AC=BC， AB=a（ a>0），∠ CAB的均分线交BC于点 D， DE⊥AB 垂足为 E，则△ DEB的周长等于 ( )A. aB. 1.5aC. 2aD. 1.2a3、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的均分线BD交 AC于点 D，AD=3，BC=10，则△ BDC 的面积是 ( )A. 13B. 12C. 24D. 154、如下图，OP均分∠ AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A.PC＞ PDB.PC=PDC.PC ＜ PDD. 不可以确立5、如图，BD均分∠ABC， DE⊥ AB 于E， DF⊥ BC于F， AB=6， BC=8.若S△ABC=28，则 DE=( )A. 3B. 3.6C. 4D. 56、如图，在△中，∠=50°，∠=60°，点E 在的延伸线上，∠的均分线ABC ABC ACB BC ABC 与∠的均分线订交于点，连结，以下结论中不正确的选项是（）BD ACE CD D ADA. ∠ BAC=70°B. ∠D OC=90°C. ∠ BDG=35°D. ∠D AC=55°7、如图 , 已知 DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C,且 DB=DC,∠BAC=40°, ∠ADG=130°, 则∠ DGF如图 , 已知 DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C, 且 DB=DC,∠BAC=40°, ∠ADG=130°, 则∠ DGF 的角度为（）A. 15 0°B.130°C. 120°D. 160°8、如下图，已知△ABC的周长是21， BO， CO分别均分∠ ABC和∠ ACB，OD⊥ BC于 D，且()OD=3，则△ABC的面积是A. 31.5B. 30C. 12D. 16.59、如图, 在△ ABC中, ∠ABC=50°, ∠ACB=60°, 点 E 在BC的延伸线上 , ∠ABC 的均分BD与线∠ACE的均分线CD订交于点D, 连结 AD,以下结论中不正确的选项是()A. ∠BAC=70°B. ∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°10、如下图，在△ABC中， AB=AC，∠ ABC、∠ ACB的均分线BD，CE订交于点O，且 BD交AC于点 D，CE交 AB于点 E. 某同学剖析图形后得出以下结论：①△ BCD≌△ CBE；②△ BAD≌△ BCD；③△ BDA≌△ CEA；④△ BOE≌△ COD；⑤△ ACE≌△ BCE.()此中必定正确的选项是A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ①③④二、填空题：11 、在△ABC 中 ,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.12、如图， AD是△ ABC的角均分线， DF⊥ AB，垂足为F， DE=DG，△ ADG和△ AED的面积分别为 50 和 39，则△ EDF的面积为.13、如图，在△ABC中，∠ A=90°， BD均分∠ ABC， AD=2cm， AB+BC=8， S△ABC=。

人教版八年级上册《12.3角平分线的性质》同步测试题(含答案解析)

人教版八年级上册《12.3角平分线的性质》同步测试题(含答案解析)

角平分线的性质测试题时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是()A. DE=DFB. AE=AFC. OD=OFD. OE=OF3.如图，在△ABC中，∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是()A. ∠BAC=60∘B. ∠DOC=85∘C. BC=CDD. AC=AB4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC 以点M，N为圆心，大于12于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是()A. 15B. 30C. 45D. 605.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在()A. 三角形ABC三条高线的交点处B. 三角形ABC三条角平分线的交点处C. 三角形ABC三条中线的交点处D. 三角形ABC三边垂直平分线的交点处6.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是()A. SASB. AAAC. SSSD. HL7.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，OA=8，PA=6，Q是射线OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是()A. 10B. 8C. 4D. 68.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是()A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点9.如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是()①PA=PC②BP平分∠ABC③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A. ①②B. ①④C. ③②D. ③④10.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长是()A. 2cmB. 4cmC. 1.2cmD. 2.4cm11.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）12.如图，∠AOE=∠BOE=15∘，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=______．13.如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40∘，∠ADG=130∘，则∠DGF=______．14.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为______．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC 以点M、N为圆心，大于12于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是______．16.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A=______ 度.17.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ．18.如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为______．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为______．20.如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，若CD=3cm，则点D到AB的距离为______ cm．21.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示)，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有______处.22.已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于D，且PD=3cm，过点P作PE//OA交OB于E，∠AOB=30∘，求PE的长度______cm．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）23.如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．24.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长．25.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）26.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC=30∘，∠C=45∘，ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．27.如图，∠AOB=90∘，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. B5. B6. D7. D8. C9. C10. D11. B12. 413. 150∘14. 2715. 3016. 3017. 318. 519. 820. 321. 422. 623. 解：作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，∵BH平分∠ABC，∠ABC，∴∠CBH=12∵∠B=2∠C，∴∠CBH=∠C，∴△HBC为等腰三角形，∵点E为BC的中点，∴HE⊥BC，∵AD⊥BC，∴HE//AD，∴AHHC =DEEC，∵BH为∠ABC的平分线，∴AHHC =BABC，∴DEEC =BABC，即3EC=BA2EC，∴AB=6．24. 解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB//DC，∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，又BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，∴CD =8，AB =16，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16．25. 解：作图如图，点P 即为所求作的点．26. 解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB =ED ，GB =GD ，DF =BF ，∴∠EBD =∠EDB ，∵∠EBD =∠DBC ，∴∠EDF =∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，{∠EDF =∠GBF ∠EFD =∠GFB DF =BF∴△EFD≌△GFB ，∴ED =BG ，∴BE =ED =DG =GB ，∴四边形EBGD 是菱形．(2)作EM ⊥BC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG +HC 最小， 在Rt △EBM 中，∵∠EMB =90∘，∠EBM =30∘，EB =ED=2√10，∴EM=1BE=√10，2∵DE//BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM//DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，在Rt△DNC中，∵∠DNC=90∘，∠DCN=45∘，∴∠NDC=∠NCD=45∘，∴DN=NC=√10，∴MC=3√10，在Rt△EMC中，∵∠EMC=90∘，EM=√10.MC=3√10，∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．27. 解：PC与PD相等.理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)又∵∠AOB=90∘，∠PEO=∠PFO=90∘，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF=90∘，∴∠EPC+∠CPF=90∘，又∵∠CPD=90∘，∴∠CPF+∠FPD=90∘，∴∠EPC=∠FPD=90∘−∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵{∠PEC=∠PFD PE=PF∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF(ASA)，∴PC=PD．【解析】1. 解：∵BF//AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，{∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选：A．根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．2. 解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90∘，在Rt△ADE和Rt△ADF中，{DE=DFAD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAO=∠FAO，在△AEO和△AFO中，{AE=AF∠EAO=∠FAO AO=AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴OE=OF；故选C．首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．3. 解：∵∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−50∘−60∘=70∘，故A选项错误，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50∘=25∘，在△ABO中，∠AOB=180∘−∠BAC−∠ABO=180∘−70∘−25∘=85∘，∴∠DOC=∠AOB=85∘，故B选项正确；∵CD平分∠ACE，∴∠CBD=12∠ABC=12×50∘=25∘，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12(180∘−60∘)=60∘，∴∠BDC=180∘−85∘−60∘=35∘，∴BC≠CD，故C选项错误；∵∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∴AC≠AB，故D选项错误．故选：B．根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70∘，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB，再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出∠BDC≠∠DBC，根据∠ABC=50∘，∠ACB=60∘，∠ABC≠∠ACB=60∘即可判定AC≠AB．本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．4. 解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90∘，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×15×4=30．故选：B．判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．5. 解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．故选B．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．6. 解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90∘，在Rt△ADP和△AEP中{AP=APPD=PE，∴Rt△ADP≌△AEP(HL)，故选：D．根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．7. 解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=6，∴PQ=PA=6，故选D．根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．8. 解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9. 解：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，∴PD=PE=PF．∴点P在∠ABC的平分线上，P到AB，BC的距离相等．故②③正确．故选C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD=PE=PF.点P在∠ABC的平分线上．此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．10. 解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC=12×18⋅DE+12×12⋅DE=36，解得DE=2.4cm．故选D．过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．11. 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90∘，∴∠EPF+∠AOB=180∘，∵∠MPN+∠AOB=180∘，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，{PE=PFOP=OP，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，{∠MPE=∠NPF PE=PF∠PEM=∠PFN，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，∴S△PEM=S△PNF，∴S四边形PMON =S四边形PEOF=定值，故(3)正确，∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，MN的长度是变化的，故(4)错误，故选：B．如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12. 解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE=∠BOE=15∘∴∠OEF=∠COE=15∘，EG=CE=2，∵∠AOE=15∘，∴∠EFG=15∘+15∘=30∘，∴EF=2EG=4．故答案为：4．作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15∘，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30∘，利用30∘角所对的直角边是斜边的一半解题．本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30∘角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG=30∘是解决问题的关键．13. 解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40∘，∴∠CAD=1∠BAC=20∘，2∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20∘+130∘=150∘．故答案为：150∘先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD 的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．14. 解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，∴OF=OH=OE=3，×(AB+BC+AC)×3=27，∴△ABC的面积=12故答案为：27．作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OF=OH= OE=3，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15. 解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90∘，DE⊥AB，∴DE=DC=4，×AB×DE=30，∴△ABD的面积=12故答案为：30．根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16. 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，△BCE与△BDE重合，∴ED⊥AB，∠EBA=∠EBC，又点D是AB的中点，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA=∠EBC.设∠A=∠EBA=∠EBC=x∵∠A+∠EBA+∠EBC=90∘，∴3∠x=90∘，∴x=30∘．∴∠A=30∘．只要证明∠A=∠EBA=∠EBC，设∠A=∠EBA=∠EBC=x列出方程即可解决问题．本题考查翻折变换、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用翻折不变性，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．17. 解：∵72+242=252，∴△ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PG=x，S△ABC=12×AB×CB=84，S△ABC=12AB×x+12AC×x+12BC×x=12(AB+BC+AC)⋅x=12×56x=28x，则28x=84，x=3．故答案为：3．首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积.注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即12(AB+AC+BC)x，然后即可计算x的值．18. 解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为：5．根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．19. 解：作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB，∴DE=DC=2，×AB×DE=8，∴△ABD的面积=12故答案为：8．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20. 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，BD平分∠ABC，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm．故答案为：3．过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．21. 解：如图所示，加油站站的地址有四处，故答案为：4．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．22. 解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30∘，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15∘，∵PE//OA，∴∠EPO=∠AOP=15∘，∴∠BEP=∠BOC+∠EPO=30∘，∴PE=2PF，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PF⊥OB于F，PD=3cm，∴PD=PF=3cm，∴PE=6cm，故答案为：6．过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15∘，根据平行线的性质可得∠EPO=∠AOP=15∘，从而可得PF=PD，即可得出答案．此题主要考查：(1)含30∘度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半，(2)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．23. 作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，由于∠B=2∠C，则∠CBH=∠C，于是可判断△HBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得HE⊥BC，易得HE//AD，根据平行线分线段成比例定理得AHHC =DEEC，接着根据角平分线的性质定理得AHHC=BABC，则DE EC =BABC，然后把BC=2EC代入计算即可得到AB=6．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了等腰三角形的判定与性质和角平分线性质．24. 根据等腰梯形性质得到AD=BC，∠DBA=∠CDB，根据角平分线性质推出∠CDB=∠CBD，推出CD=BC，根据已知梯形的周长求出即可．本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．25. 连接A、B，作AB的垂直平分线，然后作两条公路m和n夹角的平分线，其交点即为加油站的位置．此题考查学生对角平分线的性质和线段垂直平分线的性质的理解和掌握.特别要注意让学生牢记角平分线的性质定理．26. (1)结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可．(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．27. 先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90∘的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90∘减去∠CPF，那么三角形全等就可证．本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360∘、还有三角形全等的判定和性质等知识.正确作出辅助线是解答本题的关键．。

人教版八年级数学上册《角平分线性质定理及逆定理》练习题

人教版八年级数学上册《角平分线性质定理及逆定理》练习题

角均分线性质定理及逆定理练习一．选择题（共 11 小题）1．（ ?衢州）如图， OP 均分∠ MON ， PA ⊥ON 于点 A ，点 Q 是射线OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为（A ．1B ． 2C ．3D ．4）2．（?恩施州）如图， AD 是 △ ABC 的角均分线， DF ⊥ AB ，垂足为 F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则 △EDF 的面积 为（ ）A11．． D 3.5B 5.5C 7．．3．（?柳州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的均分线 BD 交 AC 于 D ，若 CD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离 DE 是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4．（?鄂州）如图， AD 是△ABC 中∠ BAC 的均分线， DE ⊥ AB 于点 E ，DF ⊥AC 交 AC 于点 F ． S △ ABC =7， DE=2，AB=4 ，则 AC 长是（）A ．4B ．3C ．6D ．55．（?临沂）如图， OP 均分∠ AOB ， PA ⊥OA ， PB ⊥ OB ，垂足分别为 A ，B ．以下结论中不必定建立的是（）A ．PA=PBB ．PO 均分．． 垂直均分 ∠ APBC OA=OBD ABOP6．（?中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A ． 三条中线的交点B ． 三条高的交点C ． 三条边的垂直均分线的交点D ． 三条角均分线的交点7．（?贵港）已知：如图，AD 是△ ABC 的角均分线，且 AB ：AC=：，则 △ABD 与 △ACD 的面积之比为（）A ．3：2B ．：C ．2：3D ． ：8．（?仙桃潜江江汉）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在AB 上的点 E 处．已知 BC=12，∠ B=30°，则 DE 的长是（）A．6B．4C．3D．29．（?内江）如图，∠ AOB=30°， OP 均分∠ AOB， PC∥ OB， PD⊥ OB，假如 PC=6，那么 PD 等于（）A．4B．3C．2D．110．（?天津）如图，在△ABC 中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则三个结论① AS=AR ；②QP∥ AR ；③△ BPR≌△ QSP 中（）A ．所有正确B．仅①和②正确 C．仅①正确D．仅①和③正确11．（?安徽）如图，直线 l1、l2、l 3表示三条互订交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地点有（）A．1 处B．2 处C．3 处D．4 处二．填空题（共 4 小题）12．（ ?通辽）如图，△ABC 的三边 AB 、BC、CA 长分别为 40、50、60．其三条角均分线交于点 O，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________ ．13．（?岳阳）如图， AD ∥BC，∠ ABC 的角均分线 BP 与∠ BAD 的角均分线 AP 订交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E．若 PE=2，则两平行线AD 与 BC 间的距离为 _________ ．14．（?随州）如图，△ ABC 的外角∠ ACD 的均分线 CP 与内角∠ABC 均分线 BP 交于点 P，若∠ BPC=40°，则∠ CAP= _________ ．15．（?河南）如图，在四边形ABCD 中，∠ A=90°， AD=4 ，连接 BD ，BD ⊥CD，∠ADB= ∠ C．若 P 是 BC 边上一动点，则 DP长的最小值为 _________ ．三．解答题（共 4 小题）16．（?牡丹江）在△ABC 中，∠ ACB=2 ∠B，如图①，当∠ C=90°，AD 为∠ BAC 的角均分线时，在 AB 上截取 AE=AC ，连结 DE，易证 AB=AC+CD ．（1）如图②，当∠ C≠90°， AD 为∠ BAC 的角均分线时，线段 AB 、 AC、 CD 又有如何的数目关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当 AD 为△ ABC 的外角均分线时，线段 AB 、AC 、CD 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，并对你的猜想赐予证明．17．（?西宁）（1）班同学上数学活动课，利用角尺均分一个角（以下图）．设计了以下方案：（Ⅰ）∠ AOB 是一个随意角，将角尺的直角极点 P 介于射线 OA 、OB 之间，挪动角尺使角尺两边同样的刻度与 M 、N 重合，即 PM=PN，过角尺极点 P 的射线 OP 就是∠ AOB 的均分线．（Ⅱ）∠ AOB 是一个随意角，在边 OA 、OB 上分别取 OM=ON ，将角尺的直角极点 P 介于射线OA 、OB 之间，挪动角尺使角尺两边同样的刻度与M 、N 重合，即PM=PN，过角尺极点P 的射线 OP 就是∠ AOB 的均分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）能否可行？若可行，请证明；若不行行，请说明原因；（2）在方案（Ⅰ） PM=PN 的状况下，持续挪动角尺，同时使PM⊥ OA ，PN⊥OB．此方案能否可行？请说明原因．18．（?福州）如图，直线 AC ∥BD ，连结 AB ，直线 AC ， BD 及线段 AB 把平面分红①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连结 PA，PB，构成∠ PAC，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所构成的角是 0°角）（1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠ PAC+∠PBD；（2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB=∠ PAC+∠PBD 能否建立？（直接回答建立或不建立）（3）当动点 P 落在第③部分时，全面研究∠PAC，∠ APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P的详细地点和相应的结论．选择此中一种结论加以证明．19．（?东城区）如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 AO 均分∠BAC ，求证： OB=OC．。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。

八年级初二上册数学 人教版《角平分线的性质》 练习试题 测试卷(含答案)

八年级初二上册数学 人教版《角平分线的性质》 练习试题 测试卷(含答案)

《12.3 角平分线的性质》课时练一、选择题1．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，连结AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定3．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BE＝3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．64．如图，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分线BF、CF相交于点F，则下列结论成立的是（）A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．AF平分∠BFC 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4m，AB ＝10m，则△ABD的面积是（）A ．20m 2B ．30m 2C ．40m 2D ．无法确定 6．三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．AD 是△ABC 的角的平分线，AB ＝5，AC ＝3，则S △ABD ：S △ACD ＝（ ）A ．1：1B ．2：1C ．5：3D ．3：58．如图，AB ∥CD ，点P 到AB 、BC 、CD 距离都相等，则∠P ＝（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°9．如图，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝PC C ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD 10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，△ABC 面积是28cm 2，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，则DE 的长为（ ）A．2B．2.4C．3D．3.2二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D 到AB的距离为．13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为．14．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是．15．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是（写序号）三．解答题16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC三边的距离相等，求∠AOC的度数．17．已知，如图，A，B，C，D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，AP平分∠BAC并交BC于点P．（1）求S△ABP 与S△ACP的比值；（2）求BP的长．19．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 二．填空题（共5小题）11．312．313．814．515．①②④⑤三．解答题（共4小题）16．解：∵点O到AC、BC、AB三边的距离相等，∴AO，CO分别平分∠CAB，∠ACB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°＝135°，17．证明：过P点作PE⊥ON，PF⊥OM，∵△P AB的面积与△PCD的面积相等，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE⊥ON，PF⊥OM，∴射线OP是∠MON的平分线．18．解：（1）过P作PE⊥AB，PF⊥AC，∵AP平分∠BAC并交BC于点P．PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE＝PF，∴S△ABP 与S△ACP的比＝；（2）∵＝＝，∴＝＝，∴PB＝BC＝．19．（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，∴PE＝PD，∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上。

2022年人教版八年级上册《角平分线的性质》同步练习(附答案)

2022年人教版八年级上册《角平分线的性质》同步练习(附答案)

12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质一、选择题1．以下说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2. AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,那么点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3．如图1，CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•那么图中与∠BCE 互余的角有〔 〕A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图2，点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，那么以下说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的选项是〔 〕A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③DCBA EFAPDCBA E〔1〕 (2) (3) 二、填空题5．用直尺和圆规平分角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，那么AB 与CD 之间的距离是___________． 三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．P D CBAEF10．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，•求证：PB=PC．PDBA参考答案:1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略9．证明AC平分∠BCD10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD《正多边形与圆》同步练习一、填空题，各角的多边形叫正多边形.对称图形.数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.和，这两个圆是 .5.边数相同的两个正n边形的周长之比是∶，那么它们的面积比是 .二、选择题1.以下说法中正确的选项是( )A.各边相等的圆外切多边形是正多边形；B.任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；360 n，都与原来的正多边形重合；D.任何正n边形都相似.°，这个正多边形是( )3.把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是( )°°°°三、解答题将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，求证：DEFGHI是正六边形.四、1.如图7-41，正六边形ABCDEF的对角线BF，与对角线AC，AE交于G、H，求证：BG＝GH＝HF.图7-412.正方形ABCD的边长为1，截去四个角后成正八边形，求这正八边形的面积.参考答案一、1.相等；相等 4.外接圆；内切圆；同心圆∶2三、提示用正多边形定义证四、1.提示：作正六边形ABCDEF的外接圆O，那么＝＝＝＝，∴∠BAG＝∠ABG＝∠HAF＝∠HFA，∴AG＝BG，HF＝AH，又∠AGH＝∠AHG＝∠GAH，∴AG＝AH＝GH，∴BG＝GH＝HF.2-1。

人教版八年级上册数学角的平分线的性质同步练习(含答案)

人教版八年级上册数学角的平分线的性质同步练习(含答案)

人教版八年级上册数学12.3角的平分线的性质同步练习一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠1=∠2，BC =16cm ，点D 到AB 的距离为6cm ，则BD 的长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm 2．如图，ABC 中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的角平分线交于点P ，若点P 到边BC 的距离为1，ABC 的周长为12，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 3．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，15,3,6ABC S DE AB ===，则AC 的长是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．6 4．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若AD =5cm ，4cm CD =，则点D 到直线AB 的最小值是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm 5．如图，AI 、BI 、CI 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，ID ∠BC ，∠ABC 的周长为18，ID ＝3，则∠ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．27 6．点P 在AOB ∠的角平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 7．如图，已知72AOB ∠=︒，以点O 为圆心、任意长为半径作弧、交OA 、OB 于点D 、E ，分别以D 、E 为圆心、以大于12DE 长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C ，作射线OC ．则AOC ∠的度数是（ ）A ．32°B ．34°C ．36°D ．38° 8．如图，在ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O 作OD ∠BC 于D ，下列三个结论：∠∠AOB ＝90°+∠C ；∠若AB ＝4，OD =1，则2ABO S =△；∠当∠C ＝60°时，AF +BE ＝AB ；∠若OD =a ，AB +BC +CA ＝2b ，则OBC S ab =△．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若BC ＝10，AD ＝3，则△BCD 的面积为______．10．如图，在ABC 中，BH AC ⊥交AC 于点H CD ，平分ACB ∠交BH 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于E DCH ，的面积为4BCD ，的面积为83CH =，，则BC 的长为_____．11．如图，∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是100，110，120，其三条角平分线将∠ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BOC ：S △CAO ＝_____．12．如图，已知∠ABC 的周长是6，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ∠BC 于D ，且OD =2，则∠ABC 的面积是_________．13．如图，在ABC 中，O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边的距离相等，134∠=︒BOC ，则A ∠的度数为____________．14．已知，如图DC 平分ACB ∠，DB 平分ABC 的外角ABE ∠，若20CDB ∠=︒，则DAB ∠=__________．15．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为_____．16．如图，在四边形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE∠AB于点E，AB＝8，BC＝4，则BE的长度是______．三、解答题17．如图，在Rt∠ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∠AB，BC=4cm．(1)若ED=2cm，则DC=______cm；(2)求证：BE=BC；(3)若∠AED的周长是4cm，AC=3cm，求AB的长．18．已知：如图，在∠ABC 中，角平分线BM 与角平分线CN 相交于点P ，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ．(1)求证：PD ＝PE ＝PF ；(2)点P 在∠BAC 的平分线上吗？说明理由．19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．(1)求证：CF ＝EB ；(2)请你判断AE 、AF 与BE 之间的数量关系，并说明理由．20．如图，在四边形ABCD 中，,AD CD BD =平分,ABC DF BC ∠⊥于F ，DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E ．(1)求证：180DAB C ∠+∠=︒；(2)猜想BF 与AB BC 、存在的的数量关系并证明；(3)若,ABD BDC S m S n ==△△，请用含有m ，n 的式子直接写出DFC S 的值．答案第1页，共1页 参考答案：1．D2．A3．A4．C5．D6．B7．C8．B9．1510．611．10：11：12 12．613．88︒ 14．70︒ 15．216．617．(1)2(3)518． (2)在， 19．(2)AF +BE ＝AE ， 20． (2)2BF AB BC=+ (3)2n m-。

人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题（附答案）姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（）A．在BC边的垂直平分线上B．在BC边的高上C．在BC边所对角的平分线上D．在BC边的中线上2．如图，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）A． B． C． D．4．如图，ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若ACD的面积等于3，则ABD的面积为（）A．B．4 C．6 D．125．如图，在中，∠A=90°，AB=2，BC=5，是的平分线，设和的面积分别是和，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，BC=10，则BCP 的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．807．如图，中，是边的高线，平分，DE=1cm，BC=4cm，则的面积是（）A．B．C．D．8．如图，中，∠ACB=90°，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②BF=BA；③；④连接，平分．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知点在第四象限角平分线上，则该点的坐标是．10．已知，AD是△ABC的角平分线，过点D作，垂足为点E，作，交边AB所在直线于点F，若，则AB的长为cm。

11．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是．12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB=25cm，BC=20cm，AC=15cm，且S△ABC=150cm2，那么OD= cm．13．如图，在中，点O是和的平分线的交点，点D是BC延长线上的点，和的平分线交于点E，∠A=a，则的度数为．（用含的式子表示）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如果，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°，∠C=70°．求∠EAD的度数．15．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．16．如图，在中，∠ABC=90°，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F．求证： DE=BF ．17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AC=AB+2BE.18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：FA平分∠BFE．参考答案：1．C 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．（11，-11）10．4或811．4.8cm12．513．14．解：∵AD是高∴∠ADC=90°∵∠C=70°∴∠DAC=20°∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°∴∠EAC= ∠BAC=27°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=27°﹣20°=7°.15．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB△DBF的面积为： BF·DM△DCE的面积为： DN·CE∵△DCE和△DBF的面积相等∴ BF·DM＝ DN·CE∵CE＝BF∴DM＝DN又∵DM⊥AB，DN⊥AC∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．16．证明：如图∵CD平分∠ACB17．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠E=∠DFC=90°在Rt△BDE与Rt△CDE中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴DE=DF∴AD平分∠BAC；（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)∴AE=AF∵CF=BE∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．18．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE ∵∴AM＝AN∴点A在∠BFE平分线上∴FA平分∠BFE。

角平分线的性质定理及其逆定理 习题精选及答案(一)

角平分线的性质定理及其逆定理 习题精选及答案(一)

角平分线的性定理及其逆定理习题精选（一）1．（1）在角的平分线上的点到这个角的________相等。

（2）到一个角的_______相等的点，在这个角的平分线上。

2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（）A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝PC3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，点D的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：OD ＝OE，∠OPD＝∠OPE5．已知，如图，点A、B在OP上，AC⊥OM于点C，AD⊥ON于点D，BE⊥OM于点E，BF ⊥ON于点F，且AC＝AD，求证：BE＝BF。

6．如图，点D、点P在∠ABC的平分线上，PA⊥BA，PC⊥BC，A、C为垂足，求证：AD ＝CD，∠ADB＝∠CDB。

7．下列命题正确的是（）A．三角形一个外角等于两个内角的和B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等C．有两边对应相等的两个直角三角形全等D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上8．下列定理中有逆定理的是（）A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．同位角相等D．角平分线上的点到这个角的两边距离相等9．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证：PM＝PN。

10．已知，△ABC中，P是角平分线AD、BE的交点，求证：点P在∠C的平分线上。

11．如图，在△ABC 中，请证明：（1）若AD 为角平分线，则ABD ACD S AB S AC∆∆=。

（2）设D 为BC 上一点，连结AD ，若ABD ACD S AB S AC ∆∆=，则AD 为角平分线。

人教版数学八年级上册：12.3 角的平分线的性质 同步练习(附答案)

人教版数学八年级上册：12.3 角的平分线的性质 同步练习(附答案)

12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A．SSS B．ASAC．AAS D．角的平分线上的点到角两边的距离相等2．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，但不写作法)．3．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10 cm，CD＝6 cm，则DE的长为( )A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm5．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.6．命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是，结论是．7．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，．求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A．M点B．N点C．P点D．Q点第8题图第9题图9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )A．8 B．6C．4 D．210．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( ) A．15 B．30 C．45 D．60第10题图第11题图11．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．13．证明：全等三角形对应边上的中线相等．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.14．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易证：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC.第2课时角的平分线的判定1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB 的平分线的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个第1题图第2题图2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝．3．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD 是∠BAC的平分线．4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝．6．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．7．D，E分别是△ABC中边AB，AC上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？解：AO平分∠CAB.理由如下：∵点O到∠CAB两边的距离相等，∴点O在∠CAB的平分线上．∴AO平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．8．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2 D．无法确定9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB ＝( )A．30° B．35° C．45° D．60°第9题图第10题图10．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是．11．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有处．12．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC 的外角平分线．13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．14．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.参考答案：12．3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质1．A2．解：作图略． 3．B 4．C5．证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 与△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.6．两个三角形是全等三角形，它们对应边上的高线相等． 7．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠POD ＝∠POE ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 8．A 9．C 10．B 11．6cm ．12．解：∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴CD ＝DE.在Rt △ACD 和Rt △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝ED ，AD ＝AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL )．∴AE ＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .13．证明：∵△ABC ≌△A′B′C′，∴AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BC ＝B′C′.又∵AD ，A′D′分别是BC ，B′C′边上的中线，∴BD ＝12BC ，B′D′＝12B′C′.∴BD ＝B′D′.在△ABD 和△A′B′D′中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BD ＝B′D′，∴△ABD ≌△A′B′D′(SAS )． ∴AD ＝A′D′.14．证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠DEB ＝∠F ＝90°.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS )． ∴DC ＝DB.第2课时 角的平分线的判定1．D2． 35°．3．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL )．∴DE ＝DF.∴AD 是∠BAC 的平分线． 4．B5．4∶5∶6．6．解：图略．提示：作∠AOB 的平分线，与AB 的交点即为点M 的位置．7．解：不正确．以上解法忽视了OD ，OE 分别垂直于AB ，AC 的条件，故产生错误．正确的结论是“AO 不一定平分∠CAB ”． 8．A 9．B10．31.5． 11．4． 12．证明：过点D 分别作DE ⊥AB ，DG ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，G ，F. 又∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACF ， ∴DE ＝DF ，DG ＝DF. ∴DE ＝DG.∴AD 平分∠EAC ，即AD 是∠BAC 的外角平分线．13．解：移动到BC 的中点时，AD 恰好平分∠BAC.理由如下：∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°. 在△DEB 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )． ∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC. 14．证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E. ∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ， ∴OB ＝OE.∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝OD. ∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°， ∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OE ＝OB ， ∴Rt △ABO ≌△Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE.同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180°＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ， ∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

新人教版八年级上册《12.3 角平分线的性质》2020年同步练习卷

新人教版八年级上册《12.3 角平分线的性质》2020年同步练习卷

新人教版八年级上册《12.3 角平分线的性质》2020年同步练习卷
一、选择题
1．如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6cm，则△DEB的周长为（）
A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC＝5cm，那么AE+DE等于（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）
A．作一个角等于已知角
B．作一条线段等于已知线段
C．作已知直线的垂线
D．作角的平分线
4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）
A．三条中线交点
B．三条角平分线交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线交点
5．下列作图语句正确的是（）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB。

【八年级数学试题】八年级上册12.3角平分线的性质同步测试题(人教版含答案解析)

【八年级数学试题】八年级上册12.3角平分线的性质同步测试题(人教版含答案解析)

八年级上册12.3角平分线的性质同步测试题（人教版含答
案解析）
角平分线的性质测试题
时间60分钟总分 100
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共11小题，共330分）
如图，AD是△ABc的角平分线，DE⊥Ac，垂足为E，BF//Ac交ED的延长线于点F，若Bc恰好平分∠ABF，AE=2BF给出下列四个结论①DE=DF；②DB=Dc；③AD⊥Bc；④Ac=3BF，其中正确的结论共有( )
A 4个
B 3个c 2个D 1个
如图，AD是△ABc的角平分线，DE⊥AB，DF⊥Ac，垂足分别为点E，N，再分别以点，N为圆心，大于1/2 N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边Bc于点D，若cD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A 15
B 30c 45D 60
为促进旅游发展，某地要在三条路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条路的距离相等，则这个度假村应修建在( )
A 三角形ABc三条高线的交点处
B 三角形ABc三条角平分线的交点处
c 三角形ABc三条中线的交点处
D 三角形ABc三边垂直平分线的交点处
如图，PD⊥AB，PE⊥Ac，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD 与△APE全等的理由是( )。

人教版八年级数学上册《角平分线的性质及其逆定理》同步练习

人教版八年级数学上册《角平分线的性质及其逆定理》同步练习

角均分线的性质及其逆定理练习第 1 题 . 如图，△中， 为∠ 的均分线，⊥ ， ⊥ ， 、 AABC AD BACDEABDFACEF 为垂足，在以下结论中：①△≌△；②△≌△；③△ABDADEADFBDECDFE≌△ ；④ = ；⑤= ；⑥ = ．此中正确结论的个数是（）FACDAE AFBE CF BD CDBA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4DC答案： B ．第2题.如图， Rt △ABC 中，∠ C =90o ， BD 是角均分线， DE ⊥AB ，垂足为 E ，ABC =6， CD =3，AE =4，则 DE =_______，AD =_______，△ ABC 的周长是 _______．E答案： 3， 5， 24DCB第 3 题 . 用三角尺画角均分线： 如图，∠是一个随意角，在边AOBA ，上分别取= ，再分别过、 作，的垂线，交点O OB OMON M N OA OB为 P ，画射线 OP ，则这条射线即为角均分线．请解说这类做法的道理．你还可以举出哪些作角均分线的方法，并说明这类做法的道理．答案：提示： OM =ON ，OP =OP ，∴Rt △ OMP ≌ Rt △ ONP (HL) ，∴∠ MOP =∠ NOP ，∴射线OP 是∠ AOB 的均分线．第 4 题 . 求证：三角形的三条角均分线订交于一点．答案：提示：画出图形，写出已知、求证，证明两条角均分线的交点到第三个角的两边的距离相等．第 5 题 . 如图，三条公路围成的一个三角形地区，要在这个地区中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么地点？请用尺规作图，找出建筑加油站的地点．答案：提示：作两个角的均分线，交点即为建加油站的地点．第 6 题 . 如图，△ ABC 中，∠ C =90o ， BD 均分∠ ABC 交 AC 于 D ， DEBEC D A1是 AB的垂直均分线，DE=2 BD，且 DE=1.5cm，则 AC等于（）A． 3cm B． 7.5cm C． 6cm D． 4.5cm答案： D．第 7 题 . 如图，△ABC中，P是角均分线A D，BE的交点．求证：点 P在∠ C的均分线上．AEPB DC答案：如图，过点P作 PM⊥ AB， PN⊥ BC， PQ⊥ AC，垂足分别为M、 N、 Q．∵ P 在∠ BAC的平分线 AD上，∴ PM=PQ．P 在∠ ABC的均分线 BE上，∴ PM=PN。

八年级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习

八年级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习

八年级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习----6375e2ca-7157-11ec-aded-7cb59b590d7d24.8角平分线的性质及其逆定理1.如图所示，△ ABC，ad是∠ 巴克德⊥ AB，DF⊥ AC、e和F为垂直脚。

在以下结论中：① △ 艾德≌ △ ADF；②△溴化二苯醚≌△cdf③△阿布德≌△acd④ae=af⑤be=cf⑥ BD=CD。

正确结论的数量为（）a.12.如图，rt△abc中，∠c=90º，bd是角平分线，de⊥ab，垂足为e，bc=6，aCD=3，AE=4，然后de=\uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu △ ABC的周长是___答案：3，5，243.用三角尺画一条角平分线：如图所示，∠ AOB是一个任意角度。

在边缘OA和ob上分别取om=on，然后分别通过M和N画一条线。

交点是p，并画一条光线OP，那么这条光线就是角平分线的原理。

你能举出什么作为角平分线的原理oa，ob的垂请解释一下方法和步骤答案：提示：om=on，op=op，∴rt△omp≌rt△onp(hl)，∴∠mop=∠nop，∴射线op 是∠aob的平分线．4.如图所示，在三条道路环绕的三角形区域内，应在该区域内修建加油站，使其与三条道路的距离相等。

加油站应该建在哪里？请用尺子和量规画一张地图，找出加油站的位置答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．5.如图，△abc中，∠c=90º，bd平分∠abc交ac于d，de是abe的垂直平分线，de=2bd，de=1.5cm，则AC等于（）a．3cmb．7.5cm答案：d．6.如图所示，△ ABC，P是角平分线AD和be的交点。

验证：点P位于∠ Cc．6cmd．4.5cm答：如图所示，交叉点P为PM⊥ AB，PN⊥ BC和PQ⊥ AC，垂直支脚为m、N和q。

八年级数学上册《第十二章 角平分线的性质》同步训练题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章 角平分线的性质》同步训练题含答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步训练题含答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两条平行线a、b被第三条直线c所截得的同旁内角的平分线的交点到直线c的距离是2cm，则a、b之间的距离是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD=3，BC=8，则BE=（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD＝4，△ABC的面积是( )A．25 B．84 C．42 D．215．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是（）A．4 B．6 C．8 D．106．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）A．∠2＝75°B．∠3＝45°C．∠4＝105°D．∠5＝130°7．如图AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED=3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（）A．48 B．36 C．24 D．128．如图AB//CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M .若E、F为圆心，大于12∠ACD=110°则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°二、填空题9．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD ＝5，CD＝7，则AE＝．10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于P，PM⊥AC于M，若PM=6cm，则点P到AB的距离为．11．已知如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M、N两点，∠BMF和∠DME的角平分线交点P，则MP与NP的位置关系是．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=12cm，BD=9cm，则点D到AB的距离是 cm．13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10且DE=2，AB=4，则AC长是．三、解答题14．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E，求证：∠CFE=∠CEF．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．17．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．求证：BE=CF．18．如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE垂是为点F，交CD 于点G．（1）求证：BG平分∠ABE．（2）若∠DCB=100°，∠DAB=60°求∠BGC的度数．19．如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10．（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）①在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；②过点D作DE⊥AB，交AB于点E；（2）在（1）的条件下，则△ADE的周长为．参考答案1．B2．B3．C4．C5．D6．D7．C8．B9．610．6cm11．MP⊥NP12．313．614．证明：如图∵∠ACB=90°∴∠1+∠3=90°∵CD⊥AB∴∠2+∠4=90°又∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2∴∠3=∠4∵∠4=∠5∴∠3=∠5即∠CFE=∠CEF.15．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC ∴CD=DE=5cm又∵AD平分∠BAC∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°16．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°∵D 是BC 的中点∴BD ＝CD在△BED 和△CFD 中{∠BDE =∠CDF∠BED =∠CFD BD =CD∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴DE ＝DF∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F∴点D 在∠BAC 的角平分线上∴AD 平分∠BAC ．17．证明：∵∠B=90°， ∴BD ⊥AB ， ∵AD 为∠BAC 的平分线，且DF ⊥AC ， ∴DB=DF ，在Rt △BDE 和Rt △FDC 中， {DE ＝DCDB ＝DF , ， ∴Rt △BDE ≌Rt △FDC （HL ）， ∴BE=CF ．18．（1）证明：∵AD ∥BC∴∠DAB +∠ABC =180°∵BG ⊥AE∴∠AFB =90°，∠FAB +∠ABF =90°∵AE 平分∠DAB∴∠FAB =12∠DAB∴∠ABF =12∠ABC∴BG 平分∠ABE ；（2）解：∵∠DAB =60°∴∠FAB =12∠DAB =30°∴∠ABF =90°−∠FAB =60°∴∠CBF =60°∴∠BGC =180°−∠CBF −∠DCB =180°−60°−100°=20°．19．（1）解：①点D如图所示②点E如图所示；（2）8。

人教版八年级数学上册角平分线的性质同步练习题

人教版八年级数学上册角平分线的性质同步练习题

12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA 2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ） A ．5cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A. 4㎝ B. 6㎝ C. 10㎝ D. 不能确定21DAPOEB第2题图 第3题图 第4题图D C A EBFEOA 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA PB =B.PO 平分APB ∠C.OA OB =D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ． 4B ．3 C ．6 D ．5第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） A 、11 B 、5.5 C 、7 D 、3.58.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC的距离分别等于（ ）（A）2cm、2cm、2cm．（B）3cm、3cm、3cm．（C）4cm、4cm、4cm．（D）2cm、3cm、5cm．二、填空题9．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD ⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．11 .如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为．第9题图第10题图第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．第12题图第13题图第15题图13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为．14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD= ．15.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC的面积为．17.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．第16题图第17题图第18题图18. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO = ．三、解答题19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. AEF20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．21.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．22. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13.4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．21.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．23.证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF=CG关注数学的解题过程数学是一门非常严谨的科目,在平时的学习中,同学们应该养成积极思考、重视细节、严谨计算、活学活用的好习惯,这是学好数学的前提高效学习经验——注重解答过程中考状元XX在中考中仅仅丢掉了6分。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步测试(含答案)

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步测试(含答案)

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步测试（含答案）1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点2．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB 的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．124.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45.如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD6．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。

7．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为 cm．8．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC 和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。

9.如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,点E为垂足,DF⊥AC,点F为垂足,求证:DE=DF.1.如图，Q是△OAB的角平分线OP上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，FQ⊥OQ交OA 于F，则下列结论正确的是（）A．PA=PB B．PC=PD C．PC=QE D．QE=QF2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB 边的距离为( )A．18 B．16 C．14 D．123.如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为( )A.3B.5C.6D.不能确定4. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定7.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .8.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC=9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为10．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．11．如图,已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．1. （2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．422.（2019·北京模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是A.9B. 8C. 7D. 63.（2019·南通模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠ABC，BC=10cm，BD：DC=3:2，则点D到AB的距离为 cm．4．（2018·宝鸡模拟）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13cm，AD=12cm.求BC的长.参考答案1-5.DBCBC6.15；7. 2；8. DE=DF=DG9.证明在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.1-6.BCCDCB7.48.279.310.解：如图过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90，即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．11.解：（1）连接AO，OB，OC∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．1-2.BD3.44.解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC. BD=CD∴∠ADB=90Ο.∵AB=13 AD=12∴BD22221312 25AB AD=-=-==5∴BC=10cm。

第1课时《角平分线的性质定理及其逆定理》基础训练

第1课时《角平分线的性质定理及其逆定理》基础训练

第1课时角平分线的性质定理及其逆定理知识点1 角平分线的性质1.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是 ( )C.32.下列各图中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是 ( )3.如图,点P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,连接CD交OP于点E,下列结论不一定正确的是 ( )=PD=OD垂直平分CD=CD4.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为 ( )5.(2021·郑州五十七中期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC.若CD=2,AB=5,则△ABD的面积为 .6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.知识点2 角平分线的判定7.如图,DA⊥AC,DE⊥BC,若AD=5cm,DE=5cm,∠ACD=30°,则∠DCE= ( )°°°°8.(2021·平顶山叶县期中)如图所示,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF相交于点D,且BD=CD.求证:射线AD是∠BAC的平分线.易错点错用角平分线的判定定理9.已知D,E分别是△ABC中AB边,AC边上的一点,在△ABC内有一点O,使OE=OD,则AO 平分∠CAB吗解:AO平分∠CAB,理由如下:因为点O到∠CAB两边的距离相等,所以点O在∠CAB的平分线上,所以AO平分∠CAB. 以上解法是否正确若不正确,请说明理由,并写出正确的结论.参考答案=15.6.(1)DE=3.(2)S△ABC8.证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠DEC=∠DFB=90°.又∵∠CDE=∠BDF,BD=CD,∴△DEC≌△DFB(AAS).∴DE=DF.又∵DE⊥AC,CF⊥AB,∴射线AD是∠BAC的平分线. 9.不正确.以上解法忽视了OD,OE分别垂直于AB,AC的条件,故产生错误.正确的结论是“AO不一定平分∠CAB”.。

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角平分线的性质及其逆定理练习
第1题. 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、
F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD
≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B ．
第2题. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90º，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，CD =3，AE =4，则DE =_______，AD =_______，△ABC 的周长是_______．
答案：3，5，24
第3题. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB 是一个任意角，在边
O A ，OB 上分别取OM =ON ，再分别过M 、N 作OA ，OB 的垂线，交点
为P ，画射线OP ，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理．
答案：提示：OM =ON ，OP =OP ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP (HL)，∴∠MOP =∠NOP ，∴射线OP 是∠AOB 的平分线．
第4题. 求证：三角形的三条角平分线相交于一点．
答案：提示：画出图形，写出已知、求证，证明两条角平分线的交点到第三个角的两边的距离相等．
第5题. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置． 答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置．
第6题. 如图，△ABC 中，∠C =90º，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE A
B C
D
E
F A
B
C
D
E
B
C D E
A
是AB 的垂直平分线，DE =21
BD ，且DE =1.5cm ，则AC 等于（ ）
A ．3cm
B ．7.5cm
C ．6cm
D ．4.5cm
答案：D ．
第7题. 如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．
答案：如图，过点P 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，PQ ⊥AC ，垂足分别为M 、N 、Q ．∵P 在∠BAC 的平分线AD 上，∴PM =PQ ．P 在∠ABC 的平分线BE 上，∴PM =PN 。

∴PQ =PN ，∴点P 在∠C 的平分线．
第8题. 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，
PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．
求证：（1）AD =CD ；（2）∠ADB =∠CDB ．
答案：△ABP ≌△CBP ，∴AB =CB ，又∠ABP =∠CBP ，BD =BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD =CD ，∠ADB =∠CDB ．
第9题. 如图，在∠AOB 的两边O A ，OB 上分别取OM =ON ，OD =OE ，
DN 和EM 相交于点C ．
求证：点C 在∠AOB 的平分线上．
A
B
C D
E
P
A B
C
P D E M
N Q A
B
C
D
P A
B
D
C
E
O
M
N
答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△M O E =S△N O D，同时去掉S四边形ODCE，得S△M D C=S△N E C，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点C在∠AOB的平分线上．
第10题. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
E、F分别为垂足．
求证：AD垂直平分EF．
答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=
∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．
第11题. 如图，已知△ABC中，∠C=90º，∠BAC=2∠B，D是BC
上一点，DE⊥AB于E，DE=DC．
求证：AD=BD．
答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=
∠DAC=1
2
∠BAC，又∠B=
1
2
∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD．
A
B C
D
E
F
A
B D C
E。

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