数学：2.1.1《曲线与方程的概念》同步练习(2)(新人教B版选修2-1)

第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A 组题（共 100 分）
一．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上，那么
（）
（ A）曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0
（ B）凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上
又两准线间距离为 2a2
50 ,∴ P 到右准线的距离为
50
5
35 .
c3
3
3
(2)由椭圆定义得 PF1 PF2 2a 10…① ;
又 PF1 PF2 1…② ,
由① ,②联立可解得 PF1
11 2 , PF 2
9 ;在 F1 PF2
2
中 , F1F2 2c 6 ,
∴ cos F1PF2
PF12
PF 2 2
是
.
八．解答题：本大题共 2 小题，每题 20 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x2 y2 27．已知椭圆 a 2 b 2 1（ a＞b＞ 0）的离心率 e
6
，过
3
点A
（ 0， - b）和 B（ a，0）的直线与原点的距离为
3
2
（1）求椭圆的方程 （ 2）已知定点 E（ - 1， 0），若直线 y＝kx＋ 2（ k≠ 0）与椭圆交于 C D 两点 在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由
2
F1F 2
2 PF1 PF2
29 , 99
∵
F1PF2 为锐角 , sin F1PF2
16 35 , 99
∴ tan F1PF2 16 35 . 29
C组
25．选 D.
ππ
x2
y2
26. 答 ： θ ∈ ( 4 , 2 ). 椭 圆 方 程 化 为 1
1
sin con
1 con ∴ cos
1 sin
（ C） 4y– 3x=0,且 0≤ x≤ 3
（ D） 3y– 4x=0,且 y＞0
x2 y2 15．椭圆 m + 4 = 1 的焦距为 2,则 m 的值等于
（）
（ A） 5 或 3
（ B）8
（ C） 5
（ D） 16
x2 y2 16．已知 F1、 F2 为椭圆 a2 + b2 = 1(a＞ b＞0)的两个焦点，过
(1)m ＝4； (2)m＝ 2； (3)m ＝ 1.
m（ m＞ 0）,分别根据 m
B 组题（共 100 分）
四．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
13．命题 A：两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B：曲线 F(x,y)+λ g(x,y)=0(λ 为
（ C）在曲线 C 上的点的坐标不一定都适合 F(x,y）=0
（ D）不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y） =0，有些不合适 F(x,y） =0
2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是
（ A） x– y= 0
（ B） x + y=0
（ C） | x| =| y| （D） y=| x|
x2 y2 3．已知椭圆方程为 8 + m2= 1 ，焦点在 x 轴上，则其焦距等于
问：是否存
x2 y 2 28．已知直线 l: 6x－ 5y－ 28=0 交椭圆 2 2 1(a b 0) 于 M , N 两点 ,B（ 0,b）是椭圆的一
ab
个顶点 ,且 b 为整数 ,而 MBN 的重心恰为椭圆的右焦点 F2. (1)求此椭圆的方程 ;
(2)设此椭圆的左焦点为 F1,问在椭圆上是否存在一点 P,使得 F2PF1 600 ?并证明你的结
sin
0
π
ππ
, 又 θ∈ (0, 2 ),∴ θ∈ ( 4 , 2 ).
27．解：（ 1）直线 AB 方程为： bx- ay- ab＝ 0
依题意
c 6，
ab
解得
3
a 2 b2
2
a 3， b1
∴ 椭圆方程为
x2 y2 1 3
1 ,∵ 椭 圆 焦 点 在 y 轴 上 ， ∴
x2
25．若实数 x， y 满足
y2
x ，则 x2 + y2 有
4
（）
（ A）最小值
1
，无最大值
3
（ C）最小值 0，无最大值
（ B）最小值
1
，最大值 16
3
（ D）最小值 0，最大值 16
π 26．已知 θ ∈ (0, 2 ), 方程
x2sinθ
+ y2cosθ =1 表示焦点在
y 轴上的椭圆，则 θ的取值范围
＝1 9
上有一点
P 到一条准线的距离是
， 2
F1、
F2
是椭圆的两个焦点，则△
PF1F2
的面积等于
.
x2 y2 20．已知 P 是椭圆 25 + 9 = 1 上一点，以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8,
则点 P 的横坐标是
。
21．已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆左顶点为 A，上顶点为 B，左焦点 F1 到直线 AB 的
（）
（ A） 18 或124 9
128 （ B） 18 或 9
124 （C） 16 或 9
128 （D） 16 或 9
五．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。
2
2
x
y
18．方程 24– k + 16 + k = 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是
.
x2 y2
5
19．椭圆
＋ 25
2 x 5x 5 2
所以动点 C 的轨迹方程为
2
2
xy
25 + 25 = 1 (x≠± 5）
2
23．解：（1）圆 C： (x 2)2 ( y 2)2 8 ；
x2 y2
（ 2）由条件可知 a=5，椭圆
1 ，∴ F（ 4， 0），若存在，则
25 9
O、Q 在圆 C 上，所以 O、 Q 关于直线 CF对称；
F2 作椭圆的弦
AB, 若△ AF1B 的周
3 长为 16,椭圆的离心率 e= 2 , 则椭圆的方程为
（）
x2 y2
x2
y2
（ A） 4 + 3 = 1 （ B）16 + 3 = 1
x2
y2
（ C） 16 + 12 = 1
x2 y2 （D） 16 + 4 = 1
x2 y2
1
17．若椭圆 16 + m = 1的离心率为 3, 则 m 的值等于
F 在 OQ 的中垂线上，又
y
3
直线 CF的方程为 y－ 1= 1 ( x 1) ,即 x 3 y 4 0 ，设 Q（ x,y），则 x
，
3
x 3y
40
22
4 x
解得
5
y 12
5
所以存在，
Q 的坐标为
(
4
,
12 )
。
55
24.解 :(1) 由方程知 ,a=5,b=4,则 c=3,e = 3 .
5
P 到左焦点的距离为 3,则 P 到左准线的距离为 d1 PF1 5 , e
2
（）
x2 y2
5．已知 F是椭圆 a 2
b2
1(a>b>0)的左焦点 , P 是椭圆上的一点 , PF⊥ x 轴 , OP∥ AB(O为原点 ),
y
则该椭圆的离心率是
P
B( )
2
（ A）
2
2
（ B）
4
F
o
Ax
1
（ C）
2
3
(D)
2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。
6．椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 ( 0,2) ，那么 k
18．答： (– 16, 4)
24 k 0 (4, 24). 由 16 k 0
24 k 16 k
k ∈ (–16, 4) (4, 24).
19．答：3
4
5
7.
∵
e
＝
，|PF 5
1|
＝ 2e＝ 2，|PF2|
＝ 8，|F
1F2|
＝8，∴
PF1 边上的高
h=
82
1
3 7,
1 ∴△ PF1F2 面积等于 2|PF1| · h＝3 7.
22．分析 因为直线 AC、BC的斜率存在，所以可分别用点 C、A 的坐标和点 C、B 的坐标，表
示直线 AC、 BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–
1 2，即可得到动点 C 的轨迹方程 .
解 设 C(x, y), 则
y
y
kAC
, kBC
（ x≠± 5）
x5
x5
由 k AC k BC
1, 得 y
y
1
常数）过点 P(x0,y0)，则命题 A 是命题 B 的
（）
（ A）充分不必要条件
（ B）必要不充分条件
（ C）充要条件
（ D）既不充分也不必要条件
14．到两定点 A（ 0，0）， B（ 3，4）距离之和为 5 的点的轨迹方程是
（）
（ A） 3x–4 y=0, 且 x＞0
（ B）4x– 3y=0, 且 0≤ y≤ 4
x2 y2 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 5 + 9 = 1 .
12．解：设 P(x,y), 依题意 | PA | +| PB| =m,
即 ( x 1)2 y2 (x 1)2 y2 m .
(1)当 m ＝4 时，由
( x 1)2 y 2 ( x 1)2 y2 4
化简得点 P 的轨迹方程是：
x2 y2 1.
2
x
2
10．直线 x– y– m= 0 与椭圆 9 + y = 1有且仅有一个公共点，求
m 的值 .
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴， O 是坐标原点， F 是一个焦点， A 是一个顶点，若椭圆 2
的长轴长为 6, 且 cos∠ OFA= 3, 求椭圆的方程 .
12．若一个动点 P(x, y)到两个定点 A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值 的值，求点 P 的轨迹方程 .
论.
参考答案
A组 一、 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 二、 6．1
2
2
xy
7 ．答： 16 + 25 = 1 . 由
ac 1 a c 4 解得
b4
a ＝ 5 ，又椭圆焦点在
x2
y2
16 + 25 = 1 .
8．答： [1, 5) (5,+∞ ).
y 轴上，∴椭圆方程为
9．答： m＞ 1. ∵椭圆的准线平行于 x 轴，∴椭圆的焦点在 y 轴上，∴ 2m
43
(2)当 m ＝2 时，由
( x 1)2 y2 ( x 1)2 y2 2
化简得点 P 的轨迹方程是： y=0，（－ 1≤x≤ 1)
(3)m ＝1 时，
( x 12) y2
(x 12 ) y2 1
无解，∴点 P 的轨迹不存在 . B组 13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
3m 1 0 ,
5
1
5
20．答： x=± 3
5.
设
P(x,y)，由
· 8· | 2
y|
=8,得|
y|
＝ 4，∴ x＝± 3
5.
1
ab bc
21．答： e＝ 2. ∵ F1(－ c, 0)到直线 AB： bx－ay＋ ab＝0 的距离为 a2 b2
7 7
b
，
c e＝a，
∴ 8e2－ 14e＋5＝ 0，解得
e＝
1 2.
7．椭圆的焦点在 y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1∶ 4, 短轴长为 8, 则椭圆的
标准方程是
.
x2 y2
8．已知点（ 0, 1)在椭圆 5 + m = 1 内，则 m 的取值范围是
.
x2
y2
9．椭圆 3m + 1 + 2m = 1的准线平行于 x 轴, 则 m 的取值范围是
.
三．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a2
xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标
y2 1 与圆 C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为
9
10。
（ 1）求圆 C 的方程；
（ 2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF
的长，若存在求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
（） （）
（ A） 2 8– m 2 （ B）2 2 2– | m|
（C） 2 m 2– 8 （D） 2 | m | – 2 2
x2
4．已知椭圆
y2
1 上的一点 M 到焦点 F1 的距离为 2， N 是 MF1 的中点， O 为原点，则
25 9
|ON| 等于 （ A） 2
（ B） 4
（ C） 8
3
（ D）
距离为
7 |OB| ，则椭圆的离心率等于
.
7
六．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知△ ABC 的两个顶点 A、 B 的坐标分别是 (–5, 0)、 (5, 0) ，边 AC、BC 所在直线的斜率之
积为– 1，求顶点 C 的轨迹方程 . 2
23．在直角坐标系 原点 O，椭圆 x2
解得 m＞ 1. 三、 10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去
x 得到 10y2+2my+m 2－ 9=0,
令△＝ 0，解得 m ＝± 10. 11．解：依题意 cos∠ OFA= 23＝ ac，又 2a＝ 6 , ∴ a＝3， c=2， b2＝ 5.
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 9 + 5 = 1 ；
24. 已知椭圆 x 2 y 2 1 ,P 为该椭圆上一点 . 25 16
(1)若 P到左焦点的距离为 3,求到右准线的距离；
(2)如果 F1 为左焦点 ,F2 为右焦点 ,并且 PF1 PF2 1 ,求 tan F1PF2 的值 .
七．选择或填空题：本大题共
C 组题（共 50 分）
2 题，每题 5 分。