抛物线的简单性质导学案

§2.3* 抛物线的简单性质
【合作探究】
1. 抛物线的焦半径：
抛物线上任意一点P ),(00y x 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径.
由抛物线的定义知，焦半径|PF |的长度，等于点P ),(00y x 到抛物线准线的距离，例如： （1）抛物线)0(22>=p px y ，|PF |=00--
22
p p
x x =+（） ； 类比可知： 2. = .
3.直线与抛物线的位置关系：
（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.
（2）对于抛物线C ：)0(22
>=p px y 和直线b kx y l +=:
①当0=k ，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个交点.它们相 . ②当0≠k ，联立⎩⎨
⎧=+=px
y b
kx y 22
，消去y ，得到关于x 的二次方程k 2x 2+2（km-p ）x+m 2=0
（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .
（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与
抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离（k 不存在时，直线与抛物线的位置关系如何？ ） 3. 直线与抛物线的位置关系：
（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.
（2）对于抛物线C ：22(0)y px p =>和直线:l x my a =+
①当0k =，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个 交点.它们相 . ②当0≠k ，联立2
2x my a y px
=+=⎧⎨
⎩，消去y ，得到
关于x 的二次方程y 2+2mpy-2pa=0
（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们 相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .
（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与
抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离 4．相交弦
设抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:有两交点),(),,(2211y x B y x A 相交弦长d=|AB |= = . 【自学检测】
1. 抛物线x y 42=上一点P 到直线02=+x 的距离为5，则点P 到抛物线焦点F 的距离为 .
2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点A ，B 。

其中点A 的坐标为（1,2），该抛物线的焦点为F ，求|FA|+|FB|=
3. 过定点P （0,1）且与抛物线x y 22
=只有一个公共点的直线的方程为
4. 已知抛物线y 2＝6x ，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P 被平分，则这条弦所在的直线方程是
5. 点M 为抛物线x y 42=上的动点，F 是焦点，P 是定点（3，1），则|MP|+|MF|的最小值是 【当堂训练】
6. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22
>=p px y 上，这个正三角形的边长为
7. 已知边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛
物线方程是
8．已知抛物线()022
>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径
的圆恰好过原点，则此抛物线的方程是
9. 已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，则此抛物线的方程是
10. 已知抛物线2
2(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、
22()B x y ，两点，给出下列结论：①OA OB ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为2
4p ；③2124x x p =-，
其中正确的结论是_____________
11. 设过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线交抛物线于11()A x y ，，22()B x y ，两点，
记直线AB 与x 轴的夹角为θ，求证：（1）12y y =2
p -,12x x =2
4
p ；（2）
|AB |=1222sin p x x p θ++=；（3）22sin AOB
p S θ∆=（4）11||||FA FB +=2
p
12. 过定点A(－2，－1)，倾斜角为45°的直线与抛物线2ax y =交于B 、C 两点，且｜BC ｜
是｜AB ｜、｜AC ｜的等比中项，则此抛物线的方程是
§2.3* 抛物线的简单性质参考答案
【合作探究】
1.（2）|PF |=
02p x -（3）|PF |=02p y +（4）|PF |=02
p
y - 2. ①|AB |=12x x p ++;|AB |=12x x p --+②|AB |=12y y p ++;|AB |=12y y p --+
3.（1）相交（ 1 或 2 个公共点）；相离（ 0个公共点）；相切（ 2 个公共点）. （2）对于抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:
①当0=k ，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 1 个交点.它们相 交 .
②当0≠k ，联立⎩⎨
⎧=+=px
y b kx y 22
，消去y ，得到关于x 的二次方程2
=++c bx ax （Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 2 个交点，它们相 交 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 1个交点，它们相 切 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 0个交点，它们相 离 . （4）相交弦
设抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:有两交点),(),,(2211y x B y x A
相交弦长d=|AB |12x -【自学检测】
1. 4
2. |FA|+|FB|=
3.1
1=y=
x 12
y =+或x 0或 4. 3x-y-11=0 5. 4 6.
7. 2
y x =
或2y = 8．2y x = 9. 212y x =或24y x =- 10.①② 11. (优化探究第45页例3) *
12. 解：设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线过A （－2，－1）
点，且倾斜角为︒45，所以直线方程为y =x +1，建立方程组
⎩⎨⎧=+=2
1ax
y x y 由①代入②整理得：ax 2－x －1=0,1140,,4a a ∆=+-＞＞ 而|BC |是|AB |、|AC |的等比中项，其x 坐标成等比中项，所以（x 2－x 1）2=(x 2＋2)(x 1
＋2),(因为倾斜角为︒45，|BC
x 2－x 1）…),
得,4)(24)(212121212+++=-+x x x x x x x x 而a
x x a x x 1
,12121-=⋅=
+代入可得 )(41
1,421412
舍去或得-==++-=+a a a a a a
∴抛物线方程为y =x 2.
① ②。