2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题58：直线与椭圆的位置关系(讲解版)

专题58：直线与椭圆的位置关系
1..点与椭圆的位置关系
点P (x 0，y 0)在椭圆122
22=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；
在椭圆上的充要条件是122
220=+b
y a x .
2.直线与椭圆的位置关系.
设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：122
22=+b
y a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二
次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，
则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，
y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212
1
11y y k
x x k -+
=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系
（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]
k x x x x =++-或
者
2222212121212122111
()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221
(1)[()4]y y y y k
=+
+-) 4.中点弦问题
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦
AB 的中点为M (x 0，y 0)，则
⎝
⎛
x 21
a 2＋y 21
b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②
由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，
∴y 1－y 2x 1－x 2
＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题
能得以解决．
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为25
5，且
5BF =．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．
【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为25
5
c e a =
=
，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2
215
x y +=；
（2）设点()00,M x y 为椭圆2
215
x
y +=上一点，
先证明直线MN 的方程为
0015
x x
y y +=， 联立00221515
x x
y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，22
00440x x ∆=-=，
因此，椭圆2
215
x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.
在直线MN 的方程中，令0x =，可得0
1
y y =
，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 直线BF 的斜率为12
BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得0
12x y =-
，即点01,02P y ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，
因为//MP BF ，则MP
BF k k =，即20
00000
2112122y y x y x y ==-++
，整理可得()2
0050x y +=， 所以，005x y =-，因为222
000615x y y +==，00y ∴>，
故0y =
0x =，所以，直线l
的方程为1x y =，
即0x y -+. 举一反三
1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）椭圆2
215
x y +=的左右焦点为()()120000,,,0,0F F P x y x y >>为椭圆上一点，
直线12,PF PF 分别交椭圆于M ，N 两点，则当直线MN 的斜率为1
9
-时，00x y =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【详解】由已知得12(2,0),(2,0)F F -，
所以直线1PF 的方程为：1(2)y k x =+（其中0
102
y k x =
+）， 与椭圆方程联立得()
2222
11151202050k x k x k +++-=，
由韦达定理22100221020205149M k y x x k x --+==++，所以2
0000020920
4949
M y x x x x x -+=-=-++， 故()00002249
M M y y
y x x x =
+=-++； 类似得0092049
N x x x -=-，0
049N y y x =-，
所以()000000
22
000
01594545995545M X MN M M y y x y x y x x k x x x y y y -=
===-=-⇒=----，故选：D ． 2．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知,A B 分别为椭圆22
2:
1(04)16x y C b b
+=<<的左、右顶点，,P Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，若1234
k k =，则椭圆的短轴长为（ ） A
．B
．C
．D
．【答案】C
【详解】根据椭圆的标准方程22
2116x y b +=知()(4)004A B -，
，，， 设00()P x y ，，则00()Q x y -，，且2200
2116x y b +=，0104y k x =+，020
4y k x -=-，
所以2
20122
03
16164
y b k k x -=
==-
，解得b =，
即椭圆的短轴长为2b =故选C ． 题型二：椭圆的弦长
例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>
，AB 为
过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2． (1)求椭圆M 的方程．
(2)若斜率为1的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，直线PC 的斜率为1
2，求线段CD 的长度．【解析】(1)因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
c a ==
过椭圆右焦点的弦长的最小值为2
22b a
=，
所以2a =
，c =
b =M 的方程为22
142
x y +=．
(2)设直线PC 的方程为()122y x =-，联立直线PC 与椭圆M 的方程得()2
22
122344014
2y x x x x y ⎧
=-⎪⎪⇒--=⎨⎪+=⎪⎩，则43P C x x +=
，因为点()2,0P ，所以C 点坐标为24,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，所以可得直线l 的方程为4233y x +=+，即23y x =-．
联立直线l 与椭圆M 的方程，消去y 得2
8283039
x x --
=，解得123x =-，2149x =，
所以12209CD x x =-=． 举一反三
1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l 与椭圆2
212
x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）
A ．2 B
C
D
【答案】D
【详解】设A B ，两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x m =+， 由22
12
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22342(1)0x mx m ++-=， 则1243m x x +=-，2122(1)
3
m x x -=
.
∴
12AB x =-=
=
，∴当0m =时，
AB :D. 2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设A ，B 两点坐标分别为()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
4
-．
(1)求点M 的轨迹方程E ；
(2)求曲线E 内接矩形面积S 的最大值． 【解析】
(1)设(),M x y ，∵()2,0A -，()2,0B ，则()22122244
MA MB y y y k k x x x x ⋅=⋅==-≠±+--， ∴点M 的轨迹方程E ：()2
2124
x y x +=≠±．
(2)设第一象限内曲线E 内接矩形的顶点为()(),0,0P x y x y >>， 则221242
x x
y y +=≥⋅⋅，∴1xy ≤， ∴44S xy =≤，当且仅当2x =，22
y =时取等号；
所以曲线E 内接矩形面积S 最大值为4． 题型三：椭圆的焦点弦
例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中
点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是____. 【答案】15
【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，
联立方程22
195x y +=可解得321,22x x =-=（舍）
，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以15
21512
PF k == 方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，
由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3
42
p p a ex x -=⇒=-
求得3152P ⎛- ⎝⎭
，所以15
21512
PF
k == 举一反三
（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆22
:154
x y C +
=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）
A ．16545⎡⎢⎣
B ．1655⎡⎢⎣
C ．855⎡⎢⎣
D ．855⎡⎤
⎢⎥⎣ 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =.设点()11,A x y ，()22,B x y .
若直线AB 的斜率不存在，则点45A ⎛- ⎝⎭，451,B ⎛- ⎝⎭，所以85AB =，所以12AF CF AB +=85=. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，
联立22(1),1,5
4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()
222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则2
122
1045k x x k +=-+.又()
()
2
2
221111114511455AF x y x x =
++=
++-
，同理可得125
5BF =，所以)21212525||525k AF CF AB x x +==+==2
8525,25255⎝+，所以128525AF CF +∈⎝.综上，12AF CF +的取值范围为8525⎡⎢⎣，故选:C. 题型四：椭圆的中点弦
例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163
x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，
N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为___________． 【答案】2220x y -
解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则
2211163
x y +=，2222631x y +=， 所以2222
121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063
x x x x y y y y -++-+= 所以()()()()1212121212
y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得
m x k =-
，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
即1222m
k m k ⨯=--，解得2
2k =-或22k =（舍去），
又23MN =，即(
)
2
2223MN m m
=+=，解得2m =或2m =-（舍去）
， 所以直线2
:22
AB y x =-
+，即2220x y +-=； 故答案为：220x +-=
举一反三
（2022·上海·模拟预测）已知椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)与直线220x y +-=交于A 、B 两点，||5AB =且AB 中
点的坐标为1
(,)2
m ，则此椭圆的方程为________．
【答案】2
214
x y +=
【详解】由于AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫
⎪⎝⎭
且满足直线方程220x y +-=，
即有12202m +⨯-=，解得1m =，则AB 的中点坐标为11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
．
设()11,A x y ，()22,B x y ，由22222201
x y x y a
b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222222
44440a b x a x a a b +-+-=，
则2122244a x x a b +=+，222
1222
444a a b x x a b -=
+， ∵AB 的中点坐标为11,2⎛⎫
⎪⎝⎭，∴1212x x +=，即122x x +=，
则22
2
424a a b
=+，即22
4a b =，故2222122244224a a b x x b a b -==-+， 又()
()
2
2
2
2212121141242252AB k x x x x b ⎛⎫
++-=+--⋅- ⎪⎝⎭
，
解得21b =，故2244a b ==．
∴椭圆方程为22
14x y +=．故答案为：2214
x y +=．
题型五：椭圆中参数的范围及最值例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P (0，1)，椭圆24
x +y 2
=m (m >1)上两点A ，
B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5
详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-
因为A ,B 在椭圆上,所以2222
1212,,44
x x y m y m +=+=
222
2222243(23),()4424
x x m y m y ∴+-=∴+-=，
与
22
224
x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值 举一反三
1．（2021·全国·高考真题（文））设B 是椭圆2
2:15
x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）
A ．52
B C D ．2
【答案】A
【详解】点()00,P x y ，因为()0,1B ，2
2
0015
x y +=，所以
()(
)
()2
2
2
2
2
220
00
00
001251511426444PB x y y y y y y ⎛
⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝
⎭，
而011y -≤≤，所以当014
y =-时，PB 的最大值为5
2．故选：A ．
（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C
上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
【答案】A
【详解】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则
tan 603a b ≥=≥，
得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 题型六：椭圆中的定点、定值问题
例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫
⎪
⎝⎭
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．
(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫
⎪⎝⎭
，
则41
914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1
3m =，14n =，
所以椭圆E 的方程为：22
143
y x +=.
(2)3
(0,2),(,1)2
A B --，所以2:23+=AB y x ，
①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22
134x y
+=，
可得(1,M
，N ，代入AB 方程223y x =-，可得
(3,T ，由MT TH =
得到(5,H -.求得HN 方程：
(22y x =-，过点(0,2)-. ②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=. 联立22
(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩
得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)34
3(4)34k k x x k k k x x k +⎧
+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩
， 且1221224(*)34k x y x y k -+=+联立1
,2
23y y y x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时12
22112
:()36y y HN y y x x y x x --=
-+--， 将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).- 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
举一反三（2020·山东·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
，且过点()2,1A ．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【详解】（1
）由题意可得：2222241
1c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2226,3a b c ===，
故椭圆方程为：22
163
x y +=.
(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，
代入椭圆方程消去y 并整理得：()
222
124260k x kmx m +++-=，
可得122412km x x k +=-+，2122
26
12m x x k -=+，
因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：
()
()()()2
2
121212140x x km k x x k
m ++--++-+=，
所以(
)
()()222
22
264121401212m km
k km k m k k
-⎛⎫
++---+-+= ⎪++⎝⎭
， 整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，
故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭()1k ≠，
所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()
1
2
2
1210x y -+-=，结合22
11163
x y +=可得：2113840x x -+=，
解得：123
x =或2
2x =（舍）.
此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △
的斜边，故123
DQ AP ==
， 若D 与P 重合，则12DQ AP =
，故存在点41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22
(2)(1)163
x y +++=，设直线MN
的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即
2
(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=
⋅1
12
m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，则在原坐标系下直线MN
过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．
故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得1||||2DQ AP ==．
［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为
21163
x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得12
1k k ．
则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为
()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫
+-+--+--+= ⎪⎝⎭
（其中λ为系数）
． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．
即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫
+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得
()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪
++=-⎨⎪+-=+⎩
①
②③
将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．
故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP
中点41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
即为圆心Q ．
经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得1||||2DQ AP =．
［方法四］：
设()()1122,,,M x y N x y ．
若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()12
21210x y -+-=．
由22
11163
x y +=，解得123x =或12x =（舍）．
所以直线MN 的方程为2
3
x =
． 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222
122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．
令2x =，则()()122
2(21)(21)
2212k m k m x x k +-++--=
+．
又()()2
2
1221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+． 因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2
(21)(231)
12k m k m k +-++=+0=，
即21m k =-+或21
33
m k =--．
当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意； 当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．
综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以||AP =
又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动． 取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则1||||2DQ AP =
所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值． 题型七：椭圆的定直线
例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点A 关于原点O 的对称点为点B ，与直线AB 平行的直线l 与C 交于点,M N ，直线AM 与BN 交于点P ，点P 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)
由题意得2
222
22412⎧=
⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a
b a b a b
c ，解得2282⎧=⎨=⎩a b ，
所以椭圆C 的方程是22
182x y +
=. (2)点P 是在定直线1
2
y x =-上，理由如下，
由（1）知()()2,1,2,1A B --，设()()1122,,,M x y N x y ，
1:,02l y x m m =+≠，将l 的方程与22
182
x y +=联立消y ，得222240x mx m ++-=，
则()22Δ44240m m =-->，得22m -<<且0m ≠，且2
12122,24x x m x x m +=-=-，
因为12121112221111
111122,22222222
AM
BN x m x m y y m m k
k x x x x x x +-++-+===+===+---+++， 所以直线AM 的方程为()111222m y x x ⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，即1112222m m
y x x x ⎛⎫=+- ⎪
--⎝⎭， 直线BN 的方程为()211222m y x x ⎛⎫+=++ ⎪+⎝⎭
，即2212222m m
y x x x ⎛⎫=++
⎪++⎝⎭， 联立直线AM 与直线BN 的方程，得1212222222m m m m
x x x x x ⎛⎫-=+ ⎪-+-+⎝⎭， 得()
121211212,4222P P P x x m m
x y x x x x x +⎛⎫=-
=+-
⎪----⎝⎭
， 所以()()()()()
121212111211244121222222P P x x x x y x x m m m x x x x x x x x ++--⎛⎫--=++⋅=+⋅ ⎪
--+-+⎝⎭ ()()111212241121.2222x m m x x x x x -=
+⋅=+=--++所以点P 在定直线12
y x =-上. 举一反三
（2022·全国·模拟预测）已知椭圆C ：22
18
4
x y +=的右焦点为F ，23
OF OE =，过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，
N 两点．
(1)若直线l 的斜率为3，求MN 的值．
(2)过点M 且与y 轴垂直的直线l '交直线EN 于点G ，探究：点G 是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
(1)设()11,M x y ，()22,N x y ，依题意，()2,0F ，直线l ：y ＝3x －6，联立22
184
36x y y x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，消去y 整理得：21972640x x -+=， 10∆>，则127219x x +=，1264
19x x =，
故
MN == (2)由题易知直线l 不与y 轴垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋2，
联立222
18
4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：()22
2440m y my ++-=，()22221644232320m m m ∆=+⨯+=+>，则
12242
m y y m +=-+，1224
2y y m =-+，得1212y y my y +=．由23OF OE =，可知点E 的坐标为()3,0，则直线EN 的方
程为()2
233
y y x x =
--，①，直线l '的方程为1y y =，② （根据点G 是直线l '与直线EN 的交点，联立方程求解即可） 联立①②可得，()()1212121222
313334G y x y my y y y
x y y y --+-=+
=+=+=， 故点G 在定直线上，该直线的方程为x ＝4． 题型八：椭圆中的向量问题
例8：（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C 上动点(),P x y
到定点(1F
与定直线1:l y =的距
(1)求曲线C 的轨迹方程；
(2)以曲线C 的上顶点T 为圆心作半径为()0r r >的圆，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程．
【解析】(1)动点(),P x y
到定点(1F
与定直线1:l y =
=
22
14y x +=
(2)点M 与点N 关于y 轴对称，设()00,M x y ，()00,N x y -，不妨设00x >．
由于点M 在椭圆C 上，所以220
14
y x =-．
由已知()0,2T ，则TM ()00,2x y =-，()00,2TN x y =--， ∴()
2
2
220
000055812434455
TM TN x y y y y ⎛⎫⋅=-+-=-+=-- ⎪⎝⎭ 由于022y -<<，故当085y =时，TM TN ⋅取得最小值为15-．此时38
,55M ⎛⎫
⎪⎝⎭，r MT =故圆T 的方程为()2
2
13225
x y +-=
． 举一反三
（2022·天津红桥·二模）已知椭圆C ：22221x y
a b +=（0a b >>）的离心率e =，点
(),0A a 、()0,B b 之间的距离
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)
因为点(),0A a 、()0,B b
=
e =
c a =，而222a b c =+，
因此组成方程组为：22222
21a c a b a b c =⎧⎪==
⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩2212x y +=； (2)设l
的方程为y kx =
22
221
(12)202
x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩
，
于是有222
1
)4(12)202
k k -+⋅>⇒>
，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，
于是有12x x +=
，
假设存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线，
因为1212(,)OP OQ x x y y +=++
，(,)(AB a b =-=，
12121212)()()y y x x kx kx x x +=-+=-+，
1212()4()x x x x ++=-+
，因为12x x +=
4k ==
，不满足2
12k >， 因此不存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线.。