天津市武清区杨村第一中学高三数学上学期第一次阶段性检测试题 理

数学理
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分） 1．已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=
的定义域为M ，则=M C U （ ）
A ．]0,(-∞
B ．),0(+∞
C ．)0,(-∞
D ．),0[+∞
2. 已知幂函数)(x f 的图象过点
)
21,4(，则()8f 的值为 （ ） A. 42 B.64 C. 22 D. 641
3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．当
21
0≤
<x 时，x a x
log 4<，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．)2,1(
B ．),2(+∞
C ．
)
22
,
0( D ．)1,22(
5．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，
x x x f 4)(2
-=， 则不等式5)32(≤+x f 的解集为 （ ） A ．]5,5[- B ．]2,8[- C ．]1,4[- D ．]4,1[
6．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，
则=+)2015()2014
(f f （ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
7．设函数
⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,20,2)(2
2
x x x x x x x f ，且关于x 的方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根
321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是 （ ）
A ．)0,1(-
B ．),21(+∞-
C ．)1,0(
D ．)
0,21(-
8. 已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，
1log 2)(2-=x x h x
的零点分别为
,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c << 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．若对任意R x ∈，
a a x x 4|3||2|2
-≥++-恒成立，则实数a 的取值范 围是 .
10．已知直线l 的参数方程为：2,
14x t y t =⎧⎨
=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方
程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 . 11．函数
)
2(log log )(24x x x f ⋅=的值域用区间表示为________．
12．函数
⎩⎨
⎧>≤+=)0(,log )
0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 . 13．如图，ABC ∆内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于点E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在点A 切线于点P ，若
3,2,3===EF ED PE ，
则PA 的长为 ． 14．设R b a ∈,，
已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，
当0≥x 时，
⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16
x x x x f x
．
若关于x 的方程
0)()]([2
=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则a b
的取 值范围是 ．
三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．）
15．设命题p ：函数
21
()lg()
16f x ax x a =-+
的定义域为R ；
命题q ：不等式
39x x a -<对一切R x ∈均成立。

（Ⅰ）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题， 求实数a 的取值范围．
16．已知函数
x x x f -=3
)(. （Ⅰ）求)(x f 在区间]0,2[-上的最大值；
（Ⅱ）若过点),2(t P 存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围．
17．设,0>a 且1≠a ，已知函数11log )(--=x bx
x f a
是奇函数
（Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）当)2,1(-∈a x 时，函数)(x f 的值域为),1(+∞，求实数a 的值．
18． 设函数())
ln 2
(2x x k x e x f x +-=（k 为常数，其中e 是自然对数的底数）
（Ⅰ）当0≤k 时，求函数)(x f 的极值点；
（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，求k 的取值范围．
19．已知函数x
x e e x f -+=)(，其中e 是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数； （Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-+≤-m e
x mf x
在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）已知正数a满足：存在
)
,1[
+∞
∈
x
，使得
)
3
(
)
(
3
x
x
a
x
f+
-
<
成立，试比较1-a e与1-e a
的大小，并证明你的结论．
20．已知函数
1
)
(2-
-
-
=bx
ax
e
x
f x，其中R
b
a∈
,，e是自然对数的底数
若
)1(=
f，且函数)
(x
f在区间)1,0(内有零点，求实数a的取值范围．
2014-2015学年度第一学期第一次阶段性检测 高三数学理试卷参考答案
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．B 2. A 3．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7. A 8．B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．15a -≤≤ 10
． 11．),81[+∞- 12．7 13．6 14．)
81,54(--
三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．解：（Ⅰ）若命题
p 为真命题，则
20,16a
ax x x R -+
>∈恒成立
2a a >⎧⇒⇒>⎨⎩△<0 …………4分
（Ⅱ）若命题q 为真命题，则
1
394x x a a -<⇒>
； …………8分
“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假
故1(,2]
4a ∈ …………13分
所以，当
33-
=x 时，)(x f 有最大值93
2)33(=
-f ……5分
（Ⅱ）设切点为),(0300x x x -，切线斜率
132
0-=x k 从而切线方程为
))(13()(02
0030x x x x x y --=-- …………7分 又过点),2(t P ，所以)2)(13()(02
0030x x x x t --=-- 整理得
02622
030=++-t x x 令262)(23++-=t x x x g ，则x x x g 126)(2/-= 由0)(/=x g 得0=x 或2=x
当x 变化时，)(x g 与)(/
x g 的变化如下表：
…………11分
于是，⎩
⎨
⎧<-=>+=06)2(02)0(t g t g ，所以62<<-t …………13分
17． 解：
（Ⅰ）因为)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=- …………1分
从而0)()(=+-x f x f ，即
011log 11log =--+--+x bx
x bx a a
于是，
0)1(2
2=-x b ，由x 的任意性知012=-b 解得1-=b 或1=b （舍）
所以1-=b …………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
11
log )(-+=x x x f a
，（1-<x 或1>x ）
a x x f ln )1(2
)(2/--=
…………5分
当10<<a 时，0)(/>x f ，即)(x f 的增区间为)1,(--∞，),1(+∞ 当1>a 时，0)(/<x f ，即)(x f 的减区间为)1,(--∞，),1(+∞
…………9分
（Ⅲ）由12>-a 得3>a …………11分 所以)(x f 在)2,1(-a 上单调递减
从而1)2(=-a f ，即
131
log =--a a a
，
又3>a ，得32+=a …………13分 18． 解：（Ⅰ）
…………2分
…………6分
（Ⅱ）
…………13分
19． （Ⅰ）x ∀∈R ，
()e e ()x x
f x f x --=+=， ∴
()
f x 是R 上的偶函数 …………3分
（Ⅱ）由题意，(e e )e 1x x x
m m --++-≤，即
(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)
x ∈+∞，，∴e e 10x x
-+->，即
e 1
e e 1x x x m ---+-≤
对(0)x ∈+∞，恒成立
令e (1)x
t t =>，则2
1t m -≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立
2
)(;)(),2()()2,0(2
,0)(0
e 0,kx 0k )0())(2()1
2(2)('x 3
2
42'=+∞∈∈==>-∴≤≤>--=+---⋅=x x f x f x x f x x x f kx x x
kx e x x x
k x xe x e x f x x
x 的极小值点为从而单调递增时，当单调递减；时，当则令时，当()
()
()
）的取值范围为（综上则令2,:1ln 0ln ln 2022,0)2(01)0(,01)0(ln ,)(2ln 22
2''
'e e k e k k k k e k g e k k e g k e g g k g k x k e k e x g kx e x g k x x x >∴>∴<-=<∴>-=>-=>=<-===∴-=-=
∵2
211111(1)(1)11311
1t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，
当且仅当2t =时等号成立 ∴
1
3m -≤ …………9分 （Ⅲ）'()e e x x
f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，
上单调增 令
3
()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，
，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，
，使得3000()(3)f x a x x <-+， ∴1(1)e 2e f a
=+<，即
()
11e 2e a >+ …………11分 ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1a a a a a a ---=-=--+
设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则
()
e 1e 111
'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+， 当()
11e e 1
a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==
当e a >时，()0m a <，e 1
1
e a a --<；当()
11e e
2e a +<<时，0)(>a m ，e 11
e a a -->；
当e a =时，()0m a =，e 11
e a a --=． …………14分
20．由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =…………2分 若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，
则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间
因为2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x
g x f x e ax b '==-- …………4分 又
()2x
g x e a '=- 因为[0,1]x ∈，1x
e e ≤≤ 所以：
①若
1
2a ≤
，则21a ≤，()20x
g x e a '=-≥，
所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，
②若
2e
a ≥
，则2a e ≥，()20x
g x e a '=-≤
所以函数()g x 在区间[0,1]上单减， …………6分
于是，当
12a ≤
或2e
a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()
f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

…………8分
③若12
2e a <<
，则12a e <<， 于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时
()20x
g x e a '=->，。