2020届二轮(理科数学) 平面向量解三角形复数 专题卷(全国通用)

单元质检六
平面向量、解三角形、复数
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 1.设复数i -2
1+i =a+b i(a ,b ∈R ),则a+b=( ) A.1
B.2
C.-1
D.-2
2.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则有( ) A.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D.2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3.若非零向量a ,b 满足a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3
,则|O |
|O |=( )
A.1
2
B.1
4
C.√3
2
D.2
4.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )
A.-3
2a 2
B.-3
4
a 2
C.3
4
a 2
D.3
2
a 2
5.一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到达B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 ( )
A.15√2 km
B.30√2 km
C.45√2 km
D.60√2 km
6.已知向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cos α,√2sin α),则向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是( ) A.[0,π
4]
B.[π4
,
5π12
] C.[
5π12
,π
2
]
D.[π12
,
5π12
]
7.已知|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,则|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R )的最小值为( ) A.√2 B.√3
C.2
D.√5
8.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,且a ·b =1.若e 为平面单位向量,则(a+b )·e 的最大值为( ) A.√6
B.6
C.√7
D.7
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.设i为虚数单位,复数z=1-i
的虚部是.
3-i
10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(t a+b),则实数t的值为.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值,则点P的坐标
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OO
11.已知向量OO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),在x轴上存在一点P使OO
是.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则OO
最大值为.
13.若向量a,b满足a=(-√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|= .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO 14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=√1-O2上一个动点,则OO
值范围是.
三、解答题(本大题共2小题,共22分)
15.(11分)在△ABC中,A=30°,BC=2√5,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.
(1)求cos ∠BCD的值;
(2)求边AC的长.
16.(11分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足c cos B+(2a+b)cos C=0.
(1)求角C;
(2)若c=√3,求△ABC面积的最大值.
单元质检六 平面向量、解三角形、复数
1.A 解析∵i -2
1+i =-1
2+3
2i =a+b i,
∴a=-12,b=3
2. ∴a+b=1,故选A .
2.B 解析由2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选B .
3.B 解析∵a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为
2π3
,
∴a ·(2a+b )=2a 2+a ·b =2|a |2-1
2|a ||b |=0.
又|a |≠0,|b |≠0,∴2|a |=1
2|b |,
∴|O ||O |=1
4,故选B .
4.D 解析如图,设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,
则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2
+a ·b =a 2
+a ·a ·cos60°=a 2
+1
2
a 2
=3
2
a 2
.
5.B 解析如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠DAC=60°,∠CBM=15°,
∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.
在△AMB 中,由正弦定理,
得60sin45°=OO
sin30°,解得BM=30√2(km),故选B .
6.D 解析由题意,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α,2+√2sin α), 所以点A 的轨迹是圆(x-2)2
+(y-2)2
=2.
如图,当A 为直线OA 与圆的切点时,向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角分别达到最大值和最小值,故选D .
7.B 解析依题意,可将点A ,B 置于圆x 2
+y 2
=4上;由点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,得原
点O 到线段AB 的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4+4t 2
-2t ×22
cos120°=4t 2
+4t+4=4(O +12)2
+3的最小值为3,因此|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3. 8.C 解析(a+b )·e=a ·e+b ·e ≤|a ·e|+|b ·e|=|
O ·O |O ||+|O ·O
|O |
|,其几何意义为a 在e 方向上的投
影的绝对值与b 在e 方向上的投影的绝对值的和, 当e 与a+b 共线时,取得最大值,
(|a ·e|+|b ·e|)max =|a+b |=√|O |2
+|O |2
+2O ·O =√7,则(a+b )·e 的最大值为√7,故选C . 9.-1
5
解析∵z=
1-i 3-i
=
(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=
4-2i 10
=25
−1
5
i,
∴复数z=1-i
3-i 的虚部是-1
5.
10.-5 解析由a ⊥(t a +b )可得a ·(t a +b )=0, 所以t a 2
+a ·b =0,
而a 2
=12
+(-1)2
=2,a ·b =1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t ×2+10=0,解得t=-5. 11.(3,0) 解析设点P 坐标为(x ,0),则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1),
OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2
+1.
当x=3时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).
12.9
2 解析以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,
则E (2,1
2
).
设F (x ,y ),则0≤x ≤2,0≤y ≤1, 则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+1
2y ,
令z=2x+1
2y ,当z=2x+1
2y 过点(2,1)时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值9
2.
13.√2 解析∵a =(-√3,1),∴|a |=2.
∵(a +2b )⊥a ,(a +b )⊥b , ∴(a +2b )·a =0,(a +b )·b =0,
即|a |2
+2a ·b =0,
① |b |2+a ·b =0.
②
由①-②×2,得|a |2
=2|b |2
, 则|b |=√2.
14.[0,√2+1] 解析如图,画出函数y=√1-O 2的图象.
这是以O (0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.
设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则θ∈[0°,90°]. 当θ∈[0°,45°]时,cos(45°-θ)=
|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
,
当θ∈[45°,90°]时,cos(θ-45°)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
.
由于y=cos x ,x ∈R 是偶函数,
所以|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2cos(θ-45°),θ∈[0°,90°].
OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ =2√2cos(θ-45°)cos θ =2cos 2θ+2sin θcos θ =sin2θ+cos2θ+1 =√2sin(2θ+45°)+1.
因为θ∈[0°,90°], 所以2θ+45°∈[45°,225°].
当2θ+45°=90°,即θ=22.5°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值√2+1,
当2θ+45°=225°,即θ=90°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值0, 所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,√2+1].
15.解(1)∵BC=2√5,CD=2,S △BCD =1
2BC ·CD ·sin ∠BCD=4,
∴sin ∠BCD=
2√55
.∴cos ∠BCD=√5
5.
(2)在△BCD 中,CD=2,BC=2√5,cos ∠BCD=√5
5,
由余弦定理得,DB 2
=CD 2
+BC 2
-2CD ·BC ·cos ∠BCD=16,即DB=4.
∵DB 2+CD 2=BC 2,∴∠BCD=90°,即△ACD 为直角三角形. ∵A=30°,∴AC=2CD=4.
16.解(1)由已知得,sin C cos B+(2sin A+sin B )cos C=0,则sin C cos B+sin B cos C+2sin A cos C=0,
∴sin(B+C )+2sin A cos C=0,
则sin A+2sin A cos C=0.
∵sin A>0,∴cos C=-1
2. ∵C ∈(0,π),∴C=
2π3
.
(2)由余弦定理,c 2
=a 2
+b 2
-2ab cos C , 得3=a 2
+b 2
+ab ≥2ab+ab=3ab ,
∴ab ≤1,当且仅当a=b=1时取等号. ∴S △ABC =1
2ab sin C ≤1
2×1×√3
2=√3
4
. ∴△ABC 面积的最大值为√3
4.。