湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

湖北省五市州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试
题
一、单选题 1．已知3i z =+，则1i
z
=+（ ） A ．42i -
B ．42i +
C ．2i -
D ．2i +
2．当()0,2πx ∈时，曲线2cos y x =+与直线1
3
y x =的交点个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知()2,0a =r ，()1,1b =r ，则a r 在b r
上的投影向量为（ ）
A ．
)
B ．()1,1
C ．()2,1
D ．()2,2
4．已知1z ，2z ∈C ，则下列说法正确的是（ ） A ．若3z ∈C ，1323z z z z =，则12z z = B ．若12z z =，则12=z z C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=
D ．1212z z z z +=-
5．如图所示，角x （π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
）的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边
与单位圆的交点为P ，分别过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线交角x 的终边于T ，
S ，根据三角函数的定义，tan x AT =．现在定义余切函数cot y x =，满足1
cot tan x x
=，则下列表示正确的是（ ）
A ．cot x OT =
B ．cot x PS =
C ．cot x OS =
D ．cot x BS =
6．已知单位向量a r ，b r
互相垂直，若存在实数t ，使得
()1a t b +-r r 与()1t a b -+r r 的夹角为60o ，则t =（ ）
A B ．1-C D ．1-7．1
cos 20cos 40cos 202
︒-︒︒=（ ）
A ．14-
B ．14
C ．12
-
D ．12
8．已知函数()sin sin 2f x x x =+，下面关于函数()f x 的图象与性质描述正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π
C ．方程()0f x =在[]π,π-上有5个不同的实根
D ．()f x ≤
二、多选题
9．某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：cm ），并整理得到下表
根据表中数据，下列说法正确的是（ ） A ．该校高一年级男生身高的中位数小于170cm B ．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同 C ．该校高一年级男生身高的极差介于15cm 至25cm 之间 D ．该校高一年级男生身高的平均数介于170cm 到175cm 之间
10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移y （单位：m ）和时间x （单位：s ）满足函数关系：()sin y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π
2
ϕ<
），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a ，b ，c ，d 为未知数），则下列有关函数()y f x =的描述正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于点16,03⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．函数()f x 的图象可由函数sin y A x
ω=的图象向右平移1
3
个单位得到
C ．函数()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4
D ．函数()f x 的图象与函数π
π2
3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合
11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是1CC 的中点，下列说法正确的是（ ）
A ．若P 是线段1AC 上的动点，则三棱锥P BQD -的体积为定值
B ．三棱锥1A BQD -
C ．若AQ 与平面AC ，平面1A
D ，平面1AB 所成的角分别为i θ（1,2,3i =），则32
1
cos 2i i θ==∑
D ．若平面ABQ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为()1,,6i i θ=L ，则
6
1
2
sin 4i
i θ
==∑
三、填空题
12．已知()tan 1αβ+=，()tan 2αβ-=，则tan2α=． 13．在ABC V 中，π2
A =
，3BC BA CA CB ⋅=⋅u u u
r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 中最小角的余弦值为． 14．设x ∈R ，m ∈Z ，若11
22
x m -<-≤，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =，
如{}2.42-=-．另外，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.63-=-．令()f x x x
=⎡⎤-⎣⎦，
(){}g x x x =-，当[]2024,2024x ∈-时，如果存在i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）满足()()i i f x g x =，那
么1
12025n
i i x ==∑．
四、解答题
15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 最大，
πsin cos 2cos sin 3A C B C ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭．
(1)求B ；
(2)若AC 边上的高为4，求ABC V 面积的最小值．
16．已知函数()22
4sin cos sin 3cos 1f x x x x x =-+-．
(1)求函数()f x 的最值与单调递增区间；
(2)若方程()()()2
220f x a f x a -++=在[]0,π上恰有4个不同的实数根，求a 的值．
17．在三棱锥-P ABC 中，AC CB ⊥，AB BP ⊥，CB CP CA ==，1
2
BP AP =.点C 在平面PAB 上的射影D 恰好在PA 上.
(1)若E 为线段BP 的中点，求证：BP ⊥平面CDE ； (2)求二面角C AB P --的余弦值.
18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：
kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.
(1)求m 的值；
(2)若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？
(3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样
本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）
19．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB =，1BC AA ==M 是平面ABC 上的动点．
(1)若点M 在线段BC 上（不包括端点），设α为异面直线AC 与1B M 所成角，求cos α的取值范围；
(2)若点M 在线段AC 上，求11
2
A M MC +的最小值；
(3)若点M 在线段BA 上，作MN 平行AC 交BC 于点N ，Q 是1BB 上一点，满足
2MB BQ +=．设MB x =，记三棱锥Q MBN -的体积为()V x ．我们知道，函数()y f x =的
图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数
()y f x a b =+-为奇函数．据此，判断函数()y V x =在定义域内是否存在0x ，使得函数()y V x =在()00,x 上的图象是中心对称图形，若存在，求0x 及对称中心；若不存在，说明理
由．。