中考复习全等变换

中考复习——全等变换
为了在20XX 年交上一份满意的答卷，我们备课组对20XX 年各地中考题作了分析，结合本校实际制定了中考复习计划。

我们在分析中发现几何题在整套中考题中所占的比率有所提高，以20XX 年山东省各市地中考题为例，省中考题中几何部分占了近65分，在各地市中考题中几何题都在55分左右，在中考中要想拿高分，必须重视几何复习，在扎扎实实复习基础知识的基础上，适当综合、拔高，培养学生解决几何问题的能力。

我们将在章节复习之后紧跟上复习最近几年中考的热点——全等变换。

现就这部分的复习方向向老师们做一下介绍，请批评指正。

数学因运动不再枯燥乏味，数学因运动而充满活力。

新课程改革更是推动运动类题目的发展，中考数学卷中运动类题目的形式精彩纷呈，亮点闪烁，而全等变换恰恰是运动类中最精彩的部分，现从20XX 年各地中考题中选取与此有关的题目加以浅析，希望对我们的中考复习有所帮助。

只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换，它包括平移、翻转、旋转等三种全等变换方法。

现分别举例说明：
一、平移变换
1、（2008山东青岛）如图，把图①中的△ABC 经过一定的变换得到图②中的A B C '''△，如
果图①中△
P '的坐标为
（ ）
A ．(23)a
b --， B ．(32)a b --， C ．(32)a b ++， D ．(23)a b ++， 此题是三角形在平面直角坐标系里的平移问题，要求平移后P 点的坐标就需要观察出这个三角形是如何平移的，而三角形的平移就是对应点的平移，可以观察三角形的某个顶点，如A 点，它是由（—3，—2）平移至（0，0），是向上平移两个单位，再向右平移三个单位，所以P 点也经过同样的平移，答案是C 。

解决这类问题需要我们找好对应，知道实际移动的是点。

2、（2008山东泰安）15、在如图所示的单位正方形网格中，将ABC △向右平
移3个单位后得到A B C '''△（其中A B C ，，的对应点分别为
A B C '''，，）
，则BA A '∠的度数是 ． 此题作为填空题的第三个属于中档题，解决此题首先要能画出平移后的图形，然后再根据网格中线段的长度求角度，体现了数形结合思想，考查了学生的动手画图能力和观察能力。

二、翻折变换（包括轴对称图形的考查） 应该说翻折类题目已经跟随我们很久了，在新课程改革之前，它
就已经进入我们的中考题了，而它长盛不衰的原因就是此类题突出了“观察、操作、试验、探究”方面的考查，体现了动态题中“变”中求“不变”的辩证思想。

做此类题是学生能力的比拼。

其中考查轴对称图形概念的题目是比较简单的题。

1、（2008广东）下列图形中是轴对称图形的是 （ ）
图① 图② （第15题） Ａ
Ｂ
Ｃ
此题放在中考题的前面会让学生感到很愉悦，会轻轻松松的解决，会让学生更有信心的答题。

2、(2008台湾)如图，❒ABC 的内部有一点P ，且D 、E 、F 是P 分
别以AB 、BC 、AC 为对称轴的对称点。

若❒ABC 的内角∠A=70︒，
∠B=60︒，∠C=50︒，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA=？( )
(A) 180︒ (B) 270︒ (C) 360︒ (D) 480︒ 此题看上去图形比较复杂，但实际上只要知道轴对称的性质，就会把三个角转化为以P 点为顶点的三个角，这样这个题目就很轻
松的解决了。

此题体现了数学中的转化思想。

通过此题提醒我们要培养学生的剖图能力，不要对图形相对复杂的题目产生畏惧心理。

3、（2008泰州市）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的 中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
此题是一道需要实际操作的题目，学生可以亲自动手做，但是在考场上限制
学生，那就要求我们平时要给学生多一点的动手机会，同时还要注意多观察，学会找准突破口，此题的突破就是60度的角。

在20XX 年中考题中类似于此题折叠后再裁剪的题目还有很多，已经成为考试的热点。

如：（2008山东滨州）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.
将纸片展开，得到的图形是（ ）
A B C D
4、（2008湘潭市）如图方格纸中每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，
在建立平面直角坐标系后，∆ABC 的顶点在格点上，点B 的坐标为（5，－4），
请你作出A B C '''∆，使A B C '''∆与∆ABC 关于y 轴对称，并写出B '的坐标.
此题是作为低档题出现，学生解决此题不困难，但要注意图形的规范和答题的完整。

如要用铅笔画图，不要忘记结论以及不要漏掉求B ′点的坐标。

这就要求我们在平时的教学中
注意规范，不能对较简单的问题一带而过，要重视。

5、(2008 湖北天门)如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A
的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正
方形，折叠后，点B 落在平面内点B ’处，则B ’点的坐标为（ ）．
A 、(2，32)
B 、(23，32-)
C 、(2，324-)
D 、(23，324-)
此题是在平面直角坐标系内翻折，既考查了正方形的性质和翻折的性质又
考查了解直角三角形，是一个比较综合的题目，解决这样的题目关键要找好翻折前后相等的量，学会在图上标图。

此题体现了数学中的数形结合思想。

在中考题中属于中档题，是大部分同学誓在必得的分数。

6、(20XX 年安徽省) 如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始依次关于点A 、B 、
C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于C 的对称点处，…．如此下去。

（1）在图中画出点M 、N ，并写出点M 、N 的坐标：_____________
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P 的距离。

此题是对称与找规律题目的综合考查，要求学生从实践中找出规律得到答案，此题也会让学生充满兴趣。

三、旋转变换
旋转变换比另外两种变换考查方式灵活，题型更丰富。

C ' A '
1、（2008江苏盐城）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180后得到图2，则旋
转的牌是（）
现实中蕴含着大量的数学信息，图形作为最直观、最形象的数学语言，渗透到了我们生活中的每个角落。

扑克牌就是同学们非常熟悉的东西，通过此题让学生知道原来扑克牌中还蕴藏着很多数学知识，我们在教学时就应该注意可以把我们生活中的东西带入课堂，既能让学生学以致用，又激发了学生的学习数学的兴趣。

2、（2008湖北咸宁）如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上
两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转
90︒后，得到△AFB ，连接 EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；
②△ABE ∽△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确
【 】
A ．②④；
B ．①④；
C ．②③；
D ．①③． 这是一个典型的三角形旋转的题目，要想解决此题，首先要弄清楚旋转角，弄清旋转前后相等的量，然后一个一个的证明或验证，此题已经是一个较为复杂的题目了。

3、（2008四川达州市）．如图所示，边长为2的等边
三角形木块，沿水平线l 滚动，则A 点从开始至结束所
走过的路线长为（ ）
解决此题首先要能画出它所走过的路线，
注意的是路线是弧，而不是直线，实际上只要利用好作图工具——圆规，这个路线就会比较轻松的画出来。

然后在计算时要注意角度要准确。

类似于此题的题目还很多，都是先找好路线，然后求长度，是旋转和弧长或面积的综合考查，如：（2008 四川 内江）如图，Rt A BC ''△
是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，
若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '为 ． 4、(20XX 年宁波市)如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 图1
图2 A ． B ． C ． D ． (?8??)A B C D E F l （3题图） ' '
（第18题）
绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．
此题是四边形的旋转问题与扇形面积的综合考查，是比较新颖的一道题目，既考查了旋转角度问题又考查了扇形面积求法，应该属于中高档题目，要求学生要认真审图、仔细计算。

四、三种变换的综合考查
其实无论是哪种变换，实质就是点的变换，关键是搞清楚变换前后相等的量，在中考题中既可以作为选择、填空出现，又可以作为作图题或解答题。

三种变换放到一块考查时，通常是解答题形式：
1、（2008浙江台州）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行
的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．
．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动．．对称变换．．．．
过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ） A ．对应点连线与对称轴垂直
B ．对应点连线被对称轴平分
C ．对应点连线被对称轴垂直平分
D ．对应点连线互相平行
此题是平移和翻折的综合考查，虽然文字很多，但题目不难，只要认真读题，读懂题，这个题对大多数同学是没有问题的。

这也是阅读理解题，考查学生的阅读能力和综合应用能力。

2、（2008佳木斯市）（本小题满分6分） 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1． （1） 平移已知直角三角形，使直角顶点与点O 重
合，画出平移后的三角形．
（2）将平移后的三角形绕点O 逆时针旋转90，
画出旋转后的图形． （3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1得到一个美丽的图案．
此题既有平移又有旋转，还要求做轴对称，按要求做题，这6分是很轻松，中学生的自我发展意识。

3、.(2008 江苏 常州)已知:如图,在8×12的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD 的顶点都在格点上.
(1) 在所给网格中按下列要求画图:
① 在网格中建立平面直角坐标系(坐标原点为O),使四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为
A(-5,0)、B(-4,0)、C(-1,3),D(-5,1);
A C
B A ' '
C '
② 将四边形ABCD 沿坐标横轴翻折180°,得到四边形A ’B ’C ’D ’,再将四边形
A ’
B ’
C ’
D ’绕原点O 旋转180°,得到四边形A ”B ”C ”D ”;
(2)写出C ”、D ”的坐标;
(3)请判断四边形A ”B ”C ”D ”与四
边形ABCD 成何种对称?若成中心对称,请
写出对称中心;若成轴对称,请写出对称轴.
此题又是一个较为综合的题目，也是一道阅读题，考查了学生的阅读能力和数学意识，同时考查了学生的画图能力，一定要仔细、认真、规范。

五、全等变换与其他知识综合作为高档题
1、（2008恩施自治州）如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG
摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证B D 2＋CE 2=DE 2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系B D 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
C D
B
A
总之，三种全等变换在中考题中已经占有一席之地，已经成为各省市中考中的必考内容，它们的魅力来源于“动”字，这就要求我们在平时教学中也要动起来，要动手画图、要动眼观察、要动脑思考。

此部分的内容自己画图的机会多，动手操作的机会多，所以我们要把时间留给学生，同时要注意基础知识和基本技能的训练，培养学生观察、分析、判断能力和探究创新能力，培养学生严谨的思维习惯和缜密的学习态度。

以上是我对中考中全等变换题目的认识，有不足之处请各位老师批评指正。