人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练试卷
一、选择题
1．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AP ⊥EF 分别交BD 、EF 于O 、P 两点，M 、N 分别为BO 、DO 的中点，连接MP 、NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB ＝1，则四边形BMPE 的面积是（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．110
3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S
S .=⑤其
中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )
A ．A
B B ．CE
C ．AC
D ．AF 5．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,
E
F 分别在边,CD DA 上 （CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,
,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：
①OCE ODF ∆∆≌；
②OG OH =； ③210GH =．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 6．如图，在平行四边形ABCD 中，
E 、
F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说
法中正确的是（ ） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．
A ．①⑥
B ．①②④⑥
C ．①②③④
D ．①②④⑤⑥
7．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+2；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（ ）
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③ 8．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，C
E AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，
F 、
G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点
H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正
确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25
AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
△和等12．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD
边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．
13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．
15．如图，在矩形ABCD中，AD2，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；
②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．
16．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.
17．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
19．如图,在平面直角坐标系中,直线112
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．
（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；
（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；
（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．
22．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．
24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
25．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标
原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：
①M 点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．
27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
28．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE ，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．
29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，
①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当
A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．
②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF=1
2
BD，推出点P在AC上，得到PE=
1
2
EF，
得到四边形BMPE平行四边形，过M作MF⊥BC于F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF=1
2 BD，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=BC=1，∴2，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO=OD，
∴点P在AC上，
∴PE=1
2 EF，
∴PE=BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO=1
2 BD，
∵M为BO的中点，
∴BM=1
4
BD=
2
4
，
∵E 为BC 的中点，
∴BE=12BC=12
， 过M 作MF ⊥BC 于F ，
∴MF=22
BM=14， ∴四边形BMPE 的面积=BE•MF=
18， 故选B ．
【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S
S <．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，
BAE BAF 90∠∠∴+=，
BAE DAF ∠∠∴=，
BE DP ⊥，
ABE BPE 90∠∠∴+=，
又
ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，
ABE ADF ∠∠∴=，
在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB AD
ABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；
AE AF ∴=，BE DF =，
AEF ∴是等腰直角三角形，
过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，
点P 是AB 的中点，
AP BP ∴=，
在APM 和BPE 中，
90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
APM ∴≌()BPE AAS ，
BE AM ∴=，EP MP =，
PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；
BE DF =，FM AM BE ==，
AM DF ∴=，
又
ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，
DAM CDF ∠∠∴=，
在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADM ∴≌()DCF SAS ，
CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确；
在Rt CDF 中，CD CF >，
BC CD =，
CF BC ∴≠，
BCF ∴不是等边三角形，故③错误；
CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，
又AM DF =，
APF CDF S S ∴<，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接DP ，当点D ，P ，E 在同一直线上时，由△PCF ≌△PCB 可得DP=BP ,BP EP + 的最小值为DE 长，依据△ADF ≌△DCE ，AF=DE,即可得到BP EP +最小值等于线段AF 的长.
【详解】
解：如图，连接DP ，
∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°
∴△PCF ≌△PCB
∴BP=DP
∴BP+PE =DP+PE
∴当点D ，P ，E 在同一直线上时，BP EP +的最小值为DE 长，
又∵AB=CD ，∠ADF=∠ECD ，DF=EC ，
∴△ADF ≌△DCE
∴AF=DE ，
∴BP EP +最小值等于线段AF 的长，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A 关于BD 的对称点C 是解答此题的
关键．
5．C
解析：C
【分析】
①直接利用角边角判定定理判断即可；
②证明ODH OCG ∆≅∆即可；
③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，
∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，
∵90EOF ∠=︒，
∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，
在ODF ∆和OCE ∆中，
∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODF OCE ∆≅∆，
故①正确；
②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，
∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，
在ODH ∆和OCG ∆中，
∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODH OCG ∆≅∆，
∴OH OG =，
故②正确；
③过点O 作OM CD ⊥于点M ，
∵OM CD ⊥，
∴在等腰Rt OCD ∆中，118422
OM CD =
=⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴4CG OM ==，
由②中知：ODH OCG ∆≅∆，
∴DH CG =，
∴=4DH CG =，
∴8412CH CD DH =+=+=，
∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得： 222
2412410GH CG CH =+=+=，
故③错误；
综上所述：只有两个正确，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．
6．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE 和△DFC 中
BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩
∴△ABE≌△DFC（SAS ）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.
④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF 是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO 和△DMO 中
∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩
△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）
∴BN=DM
11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯
∴△ADE △ABE S =S ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
7．D
解析：D
【分析】
先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，
EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF
，得出AF＝AE+EF＝
1
，由勾股定理得出AB
S
正方形ABCD
＝AB2＝
5+
，③正确；EP
AE
，由勾股定理得出BP
，④错
误；即可得出结论．
【详解】
解：∵∠EAB+∠BAP＝90︒，∠PAD+∠BAP＝90︒，∴∠EAB＝∠PAD，
在△APD和△AEB中，
AP AE
PAD EAB AD AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，
∵AE＝AP，∠EAP＝90︒，
∴∠APE＝∠AEP＝45︒，
∴∠APD＝135︒，
∴∠AEB＝135︒，②正确；
∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB⊥ED，①正确；
作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：
∵∠AEB＝135︒，
∴∠EFB＝45︒，
∴EF＝BF，
∵BE＝PD＝2，
∴EF＝BF
，
∴AF＝AE+EF＝1
，
AB
∴S正方形ABCD＝AB2
2＝5+
，③正确；
EP
AE
，
BP
，④错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证
∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，
由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．
【详解】
∵点F 是AD 的中点，
∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，
∴FD=AB=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠BCF ，
∴∠DCF=∠BCF ，即：12
DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；
∵AB ∥CD ，
∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，
又∵AF=DF ，
∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），
∴EF=HF ，
∵CE AB ⊥，
∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，
∴EF CF ==
12EH ， ∴②正确；
∵EF=HF ，
∴2HEC CEF S S =
∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，
∴BE CH <,
∴BEC HCE S
S <, ∴2BEC CEF
S S <， ∴③错误；
设∠AEF=x ，则∠H=x ，
∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，
∴∠FCH=∠H=x ，
∵FD=CD ，
∴∠DFC=∠FCH=x ，
∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，
∴FG ∥CD ∥AB ，
∴∠AEF=∠EFG=x ，
∵EF=CF ，
∴∠EFG=∠CFG=x ，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，
∴3DFE AEF ∠=∠．
∴④正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
22
+=5
42
MF ME
+22
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
10．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC．
②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；
④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；
⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；
⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．
①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP=PC，
∴AP=EF，
故④正确；
⑤由EF=PC=AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=1
2
BD=
1
2
22时，EF的最小值等于2，故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP=90°，
∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF=90°，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
=-=-=,
BE AB AE543
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
-=-,
BE AB AE543
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．21 【分析】 如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，
112,122
AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==，
60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
2212,232
EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =
+=+=，
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
13．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．
【详解】
解：连接AP ，
∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122
BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
14．33或
572
【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点， 132AE AB ∴==， =AE A
F ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，
1322AH AE ∴==，3332
EH AH ==， 233EF EH ∴==，
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122
DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==，
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+
=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF
的长为3
． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得
AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴
AE =
． ∵
AD =，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，2222
68
AB BC
+=+，∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
17．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=1
2EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=1
2
EM=EF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1
2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
18．72；
【分析】
连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO=CO，∠BOC=90°，
∵FO⊥AO，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF ，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，
∴∠AOC=∠FBO ，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO ，
在△AOC 和△FOB 中，
AOC FOB AO FO
ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），
∴AO=FO ，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°
=
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
19．(3,2)-
【分析】
如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【详解】
如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112
y x =+ 当0y =时，
1102
x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B
2,1,OA OB AB ∴====。