广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高三上学期10月月
考数学试卷
一、单选题
1．已知集合{}A x
x a =<∣，{21}B x x =-<<∣，且R R A B ⋃=ð，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,∞+ C ．[]2,1- D ．()2,-+∞
2．如图，O A B '''V 是水平放置的OAB △用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x '轴和y '轴平行），26O B O D '=''='，8O C ''=，则OAB △的面积为（ ）
A
．B
．C ．24 D ．48
3．设满足一元线性回归模型的两个变量的n 对样本数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，下列统计量中不能．．刻画数据与直线y bx a =+的“整体接近程度”的是（ ） A ．()1n
i i i y bx a =-+∑
B
．1
n
i =C ．()()
2
1
n
i i i y bx a =-+∑
D ．
1
n
i y bx a =-+4．已知a ､b 为异面直线，则下列命题正确的是（ ）
A ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一条与a ､b 都平行的直线
B ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一个与a ､b 都平行的平面
C ．过直线a 一定可以作一个与直线b 平行的平面
D ．过直线a 一定可以作一个与直线b 垂直的平面 5．已知π33π5πsin ,4544x x ⎛
⎫+=-<< ⎪⎝
⎭，则
sin 1tan x x =-（ ） A ．21100 B ．21100-
C
D ．6．已知椭圆C 的方程为()222210+=>>x y a b a b ，焦距为
2c ，直线y
=与椭圆交于A ，B
两点，2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．34
B
C
D
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则
2
1
a a 的取值范围是（ ） A ．67,78⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．613,715⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．67,,78⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
D ．613,,715⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
8．我国古代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致.先“立天元一为……”，相当于“设x 为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过合并同类项得到方程 10110n n n n a x a x a x a --++++=L .设1011()n n n n f x a x a x a x a --=++++L
若1(2)5238n f n +=⋅--，则(1)f =（ ） A ．2342
n n
+
B ．231142n n ++
C ．23542n n ++
D ．23742
n n ++
二、多选题
9．设A ，B 为一个随机试验中的两个事件，且1()3
P B =，5(|)6P B A =，1
(|)2P B A =，则（ ）
A ．()34
P A B +=
B ．()13P A =
C ．3(|)4
P A B =
D ．()1
6
P AB =
10．已知等比数列 a n 的公比为q ，前n 项和为n S ，若11S =-且N n +∀∈，2n n a a +>，则（ ）
A ．20a >
B ．01q <<
C ．1n n a a +>
D ．1
1
n S q <
- 11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB 、11AC 分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．存在点F ，使得1A F AE ⊥
B ．线段1
C G 长度的取值范围是 0,1
C ．当点F 与点B 重合时，四棱锥C AFEG -的体积为2
D ．设截面FEGA 、AEG △、AEF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则2
123
S S S
的最小值为
三、填空题
12．二项式5
23x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为．
13．设直线l 与球O 有且只有一个公共点，从直线l 出发的两个半平面α，β截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l αβ--的平面角为
3
π
，则球O 的半径为. 14．已知函数()sin 1f x x x =-+，若关于x 的不等式()()e e 22x x
f ax f a x +--+>的解集中
有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为.
四、解答题
15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()1tan 1tan 2A B --=，3b =
，
a (1)求C 的值；
(2)延长AB 到D 点，使得CDB ACB ∠=∠，求BD 的长度 16．已知函数()()2
f x x x c =-，R x ∈，c 是常数
.
(1)若()f x 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围.
(2)若函数()y f x =在2x =处有极大值，求c 的值.
17．如图，三棱台1111,,ABC A B C AB BC AC BB -⊥⊥，平面11ABB A ⊥平面,6ABC AB =，114,2,BC BB AC ==与1AC 相交于点,2D AE EB =u u u r u u u r
，且//DE 平面11BCC B ．
(1)求三棱锥111C A B C -的体积；
(2)平面11A B C 与平面ABC 所成角为1,CC α与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值． 18．已知抛物线2:4,,,W x y A B C =是W 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,A B C '''，则称三角形A B C '''为抛物线的外切三角形．
(1)当点C 的坐标为()2,1,B 为坐标原点，且BA BC =时，求点B '的坐标；
(2)设外切三角形A B C '''的垂心为H ，试判断H 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形ABC 与外切三角形A B C '''的面积之比为定值．
19．给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()()()
1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且()1
,2,i i x y i m ≠=⋅⋅⋅；②()11,2,,1i i x y i m +==⋅⋅⋅-；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.
(1)当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；
(2)当6N =时，证明：13m ≤；
(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .。