§5.2 平面向量的数量积及其应用 高考数学(理科,课标三)复习专题课件

6.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
.
答案 -2 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.
评析 本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.
考点二 数量积及其应用
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )
4
<α2<
2
,
则x+y=
10 (cos θ+sin θ)=2
5
sin
θ

4

,
α1+ ≤θ+ ≤α2+ ,而 <α1+ < <α2+ < 3 ,
4
4
44
42
44
故当θ+ = ,即θ= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,
42
4
所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
2
4.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- 5 b,则cos<a,c>=
.
答案 2
3
解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. ∵|a|=|b|=1,a·b=0, ∴a·c=a·(2a- 5 b)=2a2- 5 a·b=2, |c|=|2a- 5 b|= (2a 5b)2 = 4a2 5b2 4 5a b =3. ∴cos<a,c>= a c = 2 .
程的思想方法.考查的核心素养为数学运算.
∵

BC
=

AC
-

AB
=(1,t-3),

∴| BC |= 12 (t 3)2 =1,∴t=3,

∴ AB ·BC =(2,3)·(1,0)=2.
思路分析
先利用|

BC
|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.
2.(2019课标全国Ⅰ,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ( )
1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|. 当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出 a⊥b.故选D.
的值是
.
答案 3
3
解析 本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式. 由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 3 e1-e2=( 3 ,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos 60°=
( 3, 1) (1, λ) = 3 λ = 1 ,所以 3 -λ= 1 λ2 ,解得λ= 3 .

B

3 2
,
3 2

,C(0,
3 ),令E(0,t),t∈[0,
3
],∴

AE

·BE

=(-1,t)·

3 2
,t

3
2

=t2- 3
2
t+3
2
,∵t∈[0,
3
],∴当t
3
=- 2 =
21
3
时,

AE

·BE
取得最小值,(

AE

·BE
4
)min=136
-
3 2
×
3 4
3.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量

BA
=

1 2
,
3
2
, BC =


3 2
,
1 2
,则∠ABC=

(
)
A.30° B.45° C.60° D.120°

答案
A
cos∠ABC=
BA BC


=
| BA | | BC |
3 ,所以∠ABC=30°,故选A.
高考理数 (课标Ⅲ专用) §5.2 平面向量的数量积及其应用
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 数量积的定义及向量夹角、模长问题
1.(2019课标全国Ⅱ,3,5分)已知

AB
=(2,3),

AC
=(3,t),|

BC
|=1,则

AB
·BC
=
(
)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方
+3
2
=21 .故选A.
16
解法二:令

DE
=λ

DC
(0≤λ≤1),由已知可得DC=
3,
∵

AE
=

AD
+λ

DC
,∴

BE
=

BA
+

AE
=

BA
+

AD
+λ

DC
,
∴

AE

·BE

=(AD

+λ DC

)·(BA

+AD

+λDC
)




= AD ·BA +|AD |2+λ DC ·BA +λ2|DC |2
又sin
α1

4

=sin

α2

4

=
2 2

1 10
3 10

=
2,
5
故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.
解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.则|a+b|+|a-b|= (x 2)2 y2 + (x 2)2 y2
考点二 数量积及其应用
1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若

点E为边CD上的动点,则 AE ·BE 的最小值为 ( )
A. 21 B. 3 C. 25 D.3
16
2
16
答案 A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),
A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B 本题考查平面向量的运算.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.
解题关键 掌握向量的运算是解题关键.
2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
解析 本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不 等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.

BD
·CD
=
(
)
A.- 3 a2
2
B.- 3 a2
4
C. 3 a2
4
D. 3 a2
2
答案
D




BD ·CD =(BC +CD )·CD

=BC

·CD
2
+CD
=1
a2+a2=3
a2.
2
2
3.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 3 e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ
5.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
.
答案 2 3
解析 由题意知ab=|a|·|b|cos 60°=2×1×1 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
2
所以|a+2b|=2 3 .
思路分析 先注意研究向量的模,考虑模的定义以及特殊的模,一般情况可以用平行四边形法 则或三角形法则作图,用有向线段的长度来表示向量的模. 解后反思 由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b 时,|a+b|=|a-b|.
2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则
= x2 4x 4 1 x2 + x2 4x 4 1 x2 = 5 4x + 5 4x = ( 5 4x 5 4x)2 = 10 2 25 16x2 , ∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5,当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.
得1≤x≤3.设y=|a-b|,同理,1≤y≤3.而x2+y2=2a2+2b2=10,
故可设x= 10 cos θ, 1 ≤cos θ≤ 3 ,
10
10
y= 10 sin θ, 1 ≤sin θ≤ 3 .
10
10
设α1,α2为锐角,且sin α1= 1 ,sin α2= 3 ,
10
10
则有α1≤θ≤α2,又0<α1<
而 AE =

3 2 3
2

=4,
当P与E重合时,

PE
2
有最小值0,故此时

PA

·(PB
+

PC
)取最小值,最小值为-2
2
EA
=-2×
3 4
=-
3 2
.

方法总结
在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用
PA·PD
=

PE
2
-
2
EA
可快
速求出最值.
一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
∵ | a b | | a b | ≤ | a b |2 | a b |2 = a2 b2 = 5 ,∴|a+b|+|a-b|≤2 .
2
2
当且仅当|a+b|=|a-5b|时取等号,此时a·b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
33
=3λ2- 2 λ+ 2.当λ=-
3
2=
1时,

AE·BE取得最小值
21.故选A.
23 4
16
方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.
A.
B.
C. 2
D. 5
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
3
6
答案 B 本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思
想;考查的核心素养是数学建模和数学运算.
解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos<a,b>-|b|2=0,即cos<a,b>

=2
x

1 4
2



y

3 4
2

3 4

.
因此,当x=- 1 ,y=
4
3 4
时,

PA

·(PB

+PC
)取得最小值,为2×

3 4

=-
3 2
,故选B.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 数量积的定义及向量夹角、模长问题
| a || c | 3
小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)- 5 (0,1)=(2,- 5 ),∴cos<a,c>= 2 = 2 .
13 3
方法总结 利用数量积求解向量模的处理方法: ①a2=a·a=|a|2或|a|= a a ; ②|a±b|= (a b)2 .
2 1 λ2
2 1 λ2 2
3
疑难突破 根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题
的突破口.
易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.
4.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 .
,最大值是
答案 4;2 5
= 1 ,又知<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= ,故选B.
2
3
解法二:如图,令

OA
=a,

OB
=b,则

BA
=

OA
-

OB
=a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以
∠AOB= ,即<a,b>= .故选B.
3
3
思路分析 本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角.

PA·
(

PB
+

PC
)的最小值是
(
)
A.-2 B.- 3 C.- 4 D.-1
2
3
答案 B 设BC的中点为D,AD的中点为E,
则有

PB
+

PC

=2 PD


,则 PA ·(PB

+PC

)=2PA

·PD



2 2
=2( PE + EA)·(PE -EA )=2(PE -EA ).