2022-2023学年山东省济南市南部山区八年级(下)期中数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年山东省济南市南部山区八年级（下）期中数
学试卷
1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. B.
C.
D.
2. 下列各式是最简分式的是( )
A. B.
C. D.
3. 化简的结果是( )
A.
B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到的点的坐标是( )
A.
B.
C. D.
5. 若代数式有意义，则实数x 的取值范围是( )
A.
B. C. D.
且
6. 如果把分式中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 不变
B. 缩小3倍
C. 扩大6倍
D. 扩大3倍
7.
如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 的中点，对角线AC 与BD 相交于点O ，且
的周长为16，连接OE ，则
的周长为( )
A. 5
B.
C. 6
D. 8
8. 四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列
条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D.
，
9. 小李和小王两位同学想从篮球、足球、游泳三项体育项目中任选一项进行体育锻炼，则小李和小王两位同学选择同一种体育项目的概率为( )
A. B. C. D.
10. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平
分交BC于点E，且，，连
接下列结论：①；②；
③；④，其中成立的个数
为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11. 因式分解：______.
12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_________.
13. 关于x的分式方程有增根，则m的值为______ .
14. 已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正______边
形．
15. 如图，在中，，，
，将沿CB方向向右平移得到，若四
边形ABED的面积为20，则平移距离为______ .
16. 如图，在中，，，AD平分交BC于点D，P
为直线AB上一动点.以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若则CQ
的最小值为______ .
17. 因式分解：
；
18. 先化简，再求值：，其中
19. 解方程：
20. 小明从商店里购买3张正面分别印有2022年北京冬奥会吉祥物卡片卡片的形状、大小、质地都相同，其中印有“冰墩墩”图片的卡片2张、印有“雪容融”图片的卡片1张，将这三张正面卡片背面朝上、洗匀．
若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是______；
若先从中任意抽取1张，记录后放回、洗匀，再从中任意抽取1张，请用树状图或列表的方法求两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的概率．
21. 在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
作关于点C成中心对称的
将向右平移4个单位，作出平移后的
在x轴上求作一点P，使的值最小，并写出点P的坐标不写解答过程，直接写出结果
22. 我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式
，
即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单.如：；
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
；
23. 如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且
求证：≌；
四边形AECF是平行四边形．
24. 小刚家到学校的距离是1800米.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的倍.
求小刚跑步的平均速度；
如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由.
25. 如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线AG
以的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为当t何值时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
26. 已知中，，，另有一块等腰直角三角板的直角
顶点放在C处，，将三角板CPQ绕点C旋转保持点P在内部，连接AP、BP、
如图1，求证：；
如图2，当时，求AP的长；
如图3，设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系，并简述理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.是因式分解，故本选项符合题意；
C.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：
2.【答案】C
【解析】解：，此选项不符合题意；
B.，此选项不符合题意；
C.是最简分式，符合题意；
D.，此选项不符合题意；
故选：
根据最简分式的概念逐一判断即可．
本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】
解：原式
4.【答案】D
【解析】解：将点向右平移3个单位长度后得到的点的坐标为，即
，
故选：
根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
此题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得：，
解得：且
故选：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6.【答案】D
【解析】解：把分式中的x和y都扩大3倍，
即，
故分式的值扩大3倍．
故选
把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的3倍，就是用3x，3y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系．
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
7.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
点E为边BC的中点，
，OE是的中位线，
，
的周长，
故选：
利用平行四边形的性质得，再利用三角形中位线定理可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、，，
四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、，，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
C、，，
四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、，，
四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
故选：
分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：把篮球、足球、游泳三项体育项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小李和小王两位同学选择同一种体育项目的结果有3种，
小李和小王两位同学选择同一种体育项目的概率为，
故选：
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小李和小王两位同学选择同一种体育项目的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，，
，，，，
，，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，
，
又，
，，
，，
，
，故①错误；
，，
，
，故③错误；
，故②正确；
，，
是BC的中点，
：：4，
：：4，
：：8，
：：4，
，故④正确．
故选：
结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定③，证明，可判定①；由平行四边形的面积公式可判定②；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了运用公式分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】
解：
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是
故答案为
本题考查几何概率．
13.【答案】
【解析】解：方程两边乘得：，
，
方程有增根，
，
，
，
故答案为：
方程两边乘，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为
，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．
14.【答案】十
【解析】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：，
，
解得：，
即这个多边形是：
故答案为：十．
一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的4倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
15.【答案】4
【解析】解：在中，，
，
沿CB向右平移得到，
，，
四边形ABED为平行四边形，
四边形ABED的面积等于20，
，即，
，
即平移距离等于
故答案为：
先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出，即得平移距离．
本题考查了含角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，
会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
16.【答案】
【解析】解：如图1，过C作于O，过D作于H，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在中，，
可设，
，
，
，
，
，
，
如图2，过Q作于G，连接DQ交AB于M，
四边形DPQB为平行四边形，
，
在与中，
，
≌，
，
故Q到直线AB的距离始终为2，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，最小值为：，
故答案为
首先在中，由于，，
，所以可以解，即可以过C作
于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，
在中，过D作于H，可以求出DH的长
度，连接DQ交PB于M，过Q作于G，可以证明≌，所以
，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
本题考查了平行四边形的性质，以及三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点Q 的运动轨迹，是解决本题的关键．
17.【答案】解：
；
【解析】原式提公因式后，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．18.【答案】解：
，
将代入，
原式
【解析】本题利用分式的计算法则来化简分式，化简后代值求出结果．
本题考查同学们对分式的运算法则，分式化简的应用．
19.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20.【答案】
【解析】解：从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是；
故答案为：；
把“冰墩墩”“雪容融”图案的卡片分别记为A、B表示，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的有4种，
则两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的概率是
直接由概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解；如图所示：
如图所示：
如图所示：作出关于x轴的对称点，
连接，交x轴于点P，
可得P点坐标为：
【解析】延长AC到，使得
，延长BC到，使得
，即可得出图象；
根据将各顶点向右平移4个单位，得出；
作出关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P 点坐标即可．
此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．
22.【答案】解：
；
【解析】根据题中阅读材料中的方法分解即可．
此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
23.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
由可知，≌，
，，
，
，
，，
四边形AECF是平行四边形．
【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到
，利用SAS证明≌；
根据全等三角形的性质得到，，推出，根据平
行线的判定定理证明，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
24.【答案】解：设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为米/分，根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
由得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为分，
骑自行车所用时间为分，
在家取作业本和取自行车共用了3分，
小刚从开始跑步回家到赶回学校需要分
又，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
【解析】根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与20分钟作比较即可．
本题考查分式方程的应用，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．
25.【答案】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：
，，
，
，
当是，四边形AECF是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：
，，
，
，
当是，四边形AECF是平行四边形，
即，
解得：；
综上所述：当或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案
此题考查了平行四边形的判定，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
26.【答案】证明：，，，
，
≌，
解：如图2中，过点C作于
，
，
，
，
≌，
，
，
、P、Q共线，
，
，
在中，，
解：Ⅰ、点E在线段BQ上，结论：
理由：如图3中，作于M，于N，设BC交AE于
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
；
Ⅱ、当点E在线段BQ的延长线上，结论：，
同Ⅰ的方法可得，
【解析】欲证明，只要证明≌即可；
如图2中，作于首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出AH，PH即可解决问题；
、当点E在线段BQ上时，作于M，于N，设BC交AE于O，由题意
可证≌，可得，，即可证，
Ⅱ、当点E在线段BQ的延长线时，同Ⅰ的方法．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰
当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。