均值预期蛛网模型的稳定性

均值预期蛛网模型的稳定性
发布时间：2021-01-18T06:42:23.640Z 来源：《中国科技人才》2020年第23期作者：刘沫含
[导读] 传统的蛛网模型呈现出单时段振荡现象，有时不能很好地反映现实情况。

英领国际学校辽宁省沈阳市 110021
摘要:传统的蛛网模型呈现出单时段振荡现象，有时不能很好地反映现实情况。

本文提出一种均值预期蛛网模型，并证明了该模型稳定的充分必要条件。

研究表明，该条件不仅要比传统的蛛网模型具有更好地稳定性，而且能较好地描述市场经济中的多时段振荡现象。

关键词：蛛网模型；平衡点；稳定性
1.传统的蛛网模型
蛛网模型是一种描述商品供求波动的动态模型。

通过引入时间因素，对在市场经济中生产周期较长的商品价格与产量的内在规律有一定指导意义。

记第k时段商品的数量为qk，价格为pk，k=1，2，…….同一时段商品的价格pk取决于数量qk，设
pk=D(qk) (1)
它反映消费者对这种商品的需求关系，即需求函数。

商品数量越多，价格越低，故需求函数为减函数。

而下一时段商品的数量qk+1由上一时段价格pk决定，设
qk+1=H(pk)或pk=S(qk+1) (2)
这里S是H的反函数，H或S反映生产者的供应关系，即供应函数。

价格越高，生产者越有积极性提供更多商品，故供应函数为增函数。

姜启源等[2]假设生产者管理水平提高，在决定数量qk+1时不仅仅根据前一时期的价格pk，而是根据前两个时期的价格pk和pk-1，即取二者的平均值(pk+pk-1)/2，即
qk+1=H[(pk+pk-1)/2] (7)
并证明了此时平衡点的稳定性条件为αβ<2，说明这样的管理有利于市场稳定。

范新英等[3]在简单预期、外推性预期、适应性预期和理性预期等4种情形下对传统蛛网模型进行扩展，推导出它们的稳定性条件。

本文在文献[2]基础上对传统的蛛网模型进一步推广，考虑更现实的蛛网模型稳定性条件以及动态分析。

因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格pk+1由第p+1和第p时段的数量qk和qk+1决定，即 pk+1=D[(qk+qk+1)/2] (8)
结合式(7)和(8)，需求函数和供应函数都考虑了均值预期。

那么，在什么条件下，市场具有稳定性？这是本文主要考虑的问题。

3.稳定性条件
对于模型(7)(8)，在P0点附近用直线来近似曲线D和H，可以转化为
pk+1-p0=-α[(qk+1+qk)/2-q0]，α>0 (9)
qk+1-q0=β[(pk+pk-1)/2-p0]，β>0 (10)
可以化简为
4qk+3+αβqk+2+2αβqk+1+αβqk=c (11)
其中c由α，β，q0，p0决定。

这是一个高阶差分方程，其特征方程为
4λ3+αβλ2+2αβλ+αβ=0
不妨设a=αβ/4>0，则上式为
λ3+aλ2+2aλ+a=0 (12)
由多项式根与系数的关系[4]可得：
λ1+λ2+λ3=-a (13)
λ1λ2+λ2λ3+λ1λ3=2a (14)
λ1λ2λ3=-a (15)
定理：均值预期蛛网模型(9)(10)稳定的充分必要条件为
αβ<2
证明：首先由方程(12)变形得
a=-λ3/(1+λ)2
所以该方程没有正的实数根。

第一步：证明必要性。

若模型(9)(10)稳定，那么特征根均在单位圆内，即│λi│<1，i=1，2，3。

若三个根都是实根，则三个根都是负根。

由式(13)(14)(15)得
λ1λ2+λ2λ3+λ1λ3+λ1λ2λ3+λ1+λ2+λ3=0，
即
(1+λ1)(1+λ2)(1+λ3)=1，
而三个根都是负根时不可能满足上式。

所以方程的特征根必须是一个实根和两个复根。

不妨设λ2，3=r±is，则λ1=-a-2r。

又特征根均在单位圆内，即│λi│<1，i=1，2，3，得
│a│=│λ1λ2λ3│<1.
由式(14)可得
λ1(λ2+λ3)+λ2λ3=2a，
所以
a=(s2-3r2)/[2(1+r)].
由于r2+s2<1，可得
a=(s2-3r2)/[2(1+r)]<(1-4r2)/[2(1+r)] (16)
由式(15)可得
(a+2r)(r2+s2)=a
因为a>0，r2+s2>0，所以a+2r>0。

又r2+s2<1，所以a<a+2r。

由此得r>0，结合式(16)得到a<1/2，即αβ<2。

第二步：证充分性。

首先考虑三个根都是负根情形。

当a<1/2，有
2λ3+λ2+2λ+1=(2λ+1)(λ2+1)>0
从而必须0>λ>-1/2.再考虑一个实根两个复根情形。

先证r>0.否则r<=0，由(13)和(15)式得 r2+s2=a/(a+2r) (17)
那么r2+s2?1.另一方面，为使λ1=-a-2r<0，必须r>-1/4.由式(14)得
a=(s2-3r2)/[2(1+r)] (18)
当a<1/2，有
r2+s2<1+r(1+4r)?1
从而与r2+s2?1矛盾.这样r>0.由式(17)知道r2+s2<1。

进一步证r<1/4.由式(18)以及a>0得
r2+s2>4r2，
再结合r2+s2<1知道r<1/4，从而有λ1=-a-2r>-1。

定理得证。

4.数值模拟和结论
我们通过一个数值例子说明本文所研究的模型与传统蛛网模型的区别。

不失一般性，设平衡点为原点P0=(0，0)，否则我们可通过坐标平移到原点。

设α=1.5，β=0.8，初始值q1=0.6，p1=0.8，图4显示传统的蛛网模型(3)(4)是不稳定的，且呈现规则的单时段振荡.本文研究的均值预期蛛网模型(9)(10)需要多一个初始值q2，这里按传统的蛛网模型的结果取为q2=βp1，从图5可知，均值预期蛛网模型是稳定的，而且能描述图3那样不规则的多时段振荡现象.所以，均值预期蛛网模型是传统蛛网模型有价值的扩展，更具现实性和研究意义。

图4传统的蛛网模型不稳定图5均值预期蛛网模型稳定
参考文献
[1]Kaldor N. A classificatory note on the determinateness of equilibrium [J]. Review of Economics Studies，1934, 1(2): 122-136
[2]姜启源，协进行，叶俊，数学模型(第五版)[M]，北京：高等教育出版社，2018.
[3]范新英，张所地，冯江茹，不同预期形式的蛛网模型及其稳定性[J],数学的实践与认识,2013,43(24):123-128.
[4]蓝以中，高等代数简明教程[M]，北京：北京大学出版社，2002.。