江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(一) 含答案

南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷(01）
高三数学(理）
一.
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足(2)5i z i +=（其中i 是虚数单位,满足2
1i
=-),则复数z 的共
轭复数在复平面中对应的点在第几象限（ ） A 。

第一象限 B 。

第二象限 C 。

第三象限
D.第四象限
2.要得到函数sin 44y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，
只需要将函数sin 4y x =的图象（ ) A 向左平移π16
个单位 B 向右平移π16
个单位 C 向左平移
π4
个单位 D 向右平移π4
个单位
3.设x R ∈ ,则“31x +< "是“2
20x x +-> "的（ )
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ，
设事件A 为“x +y 为偶数”, 事件B 为“x y ≠”，则概率()P B A =( ）
A ．12
B ．14
C ． 13
D ．23
5.
如果双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，
则双曲线的离心率为（ ） A ．
B ．
C ． 2
D ． 3
6. 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2）,则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是（ ）
A ．相交且垂直
B ．相交但不垂直
C ．异面且垂直
D ．异面但不垂直
7.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a
的夹角为钝角，则函数()2016
22++=k k k f 的最小值为（ ）
A. 2013 B 。

2014 C. 2015 D 。

2016
8。

已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ )
A (1)(1)(0)f f f <-<
B (0)(1)(1)f f f <<- C
(1)(0)(1)f f f -<<
D
(1)(0)(1)f f f <<-
9。

执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）
A ．1
B ．43
C ．5
4
D ．2
10。

2
5()x
x y ++的展开式中，42x y 的系数为(
）
A 15
B 25
C 30
D 50
11.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600，C 为该球面上的动点，若三棱锥O —ABC 体积的最大值为183,则球O 的表面积为（ )
A ．36π B.64π C。

144π D.256π
12. 已知函数f （x)=｜log 2x|-m （m 〉0)的零点分别为x 1，x 2（x 1<x 2）,函数
g(x)=|log 2x ｜8(0)21
m m ->+的零点分别为
x 3，x 4（x 3〈x 4)，则
2413
x x x x --的
最小值为（ ) A .4
B .8
C .4
D 。

8
二。

填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。

13.已知函数|
|)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a
的取值范围是 .
14。

已知抛物线Γ:y 2=4x 的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点,Q 是直线PF 与Γ的一个交点．若2PQ QF =,则直线PF 的方程为 ．
15。

已知a ，b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1，3 A+C=2B ，则sinC= 。

16。

设,x y 满足约束条件360
20,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，
若(,0)ax by a b +>的最大值是12，则22a b
的最小值是
三．解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分) 已知θ是锐角,且tan θ=12-，数列1)4
2sin(2tan 21-+
+=+π
θθn n a a ,数列{}n a 的首
项11
=a
，(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n
S
18。

(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2。

(1）证明：AC 1⊥A 1B ；
（2） 设二面角A 1－AB －C 的正切值为错误!。

求直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离。

19.（本小题满分12分）甲乙两支蓝球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入50万元，以后每场比赛门票
收入比上一场增加10万元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为350万元的概率；(Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值()
E X．
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知点(01)
A，，点B
在直线
1:1
l y=-上，点M满足//
MB OA，MA AB MB BA
⋅=⋅,点M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；
(2）设直线
2:
l y kx m
=+与曲线C有唯一公共点P,且与直线1:1
l y=-相交于点Q,试探究，在坐标平面内是否存在点N,使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－kx2(e为自然对数的底数）,x ∈R.
（1）若k＝错误!，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞1；
（2）若f（x)在区间(0，＋∞）上单调递增，试求k的取值范围；（3）求证：错误!错误!错误!…错误!＜e4(n∈N*）．
四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的
题号涂黑．
22。

(本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图,在直角ABC ∆中,AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作
O
,分别交,AC AD 于点,E F ．
（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；
（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．
23.（本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为2
212
3sin ρ
θ
=
+,F 1是圆锥曲线C 的
左焦点．直线l
:1x t
y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数) ．
（Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ)若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点,求|F 1M|+｜F 1N|．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数()||
=，()|4|
f x x
=--+.
g x x m
（1）解关于x的不等式[()]30
+->；
g f x m
（2）若函数()f x的图像恒在函数(2)
g x图像的上方，求实数m的取值范围。

参考答案
1.D
2. B
3. A
4.D 5。

C 6。

C 7.C 8。

C 9.A 10。

C 11。

C 12。

D 13。

]1,(-∞
14.
0y +=或0y -=
15。

1 16.
36
13
17. 【解析】(1）
2
2tan tan 21,1tan θ
θθθ
=
=-为锐角24
πθ⇒= 1)4
2sin(=+∴πθ
1
2-=⇒n n a
()012212122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯
023********(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯
()121+•-=⇒n n n S 错位相减
18. 【解析】(1）因为A 1D ⊥平面ABC ,A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面
AA 1C 1C ⊥平面ABC ，
又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，连接A 1C 。

因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥ A 1B .
（2）方法(1）BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1。

故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1。

作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.
作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F 。

由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．
设AD=x 则A
1,DF x =
,而tan ∠A 1FD ＝错误!＝错误!,
故x=1 所以D 是AC 的中点
31=D A
为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离
方法(2)可以建立空间坐标系来做，略
19. 【解析】（I)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为50，公差为10的等差数列． 设此数列为{}n
a ，则易知150,1040n a
a n ==+，(1090)
350,2
n n n S +∴=
=
解得14n =-（舍去)或5n =，所以此决赛共比赛了5场．
则前4场比赛的比分必为1:3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其
概率为14
4
11()2
4
C =
；
（II ）随机变量X 可取的值为4
5
6
7
,,,S S S S ,即260，350，450,560
又4
1441111(260)2()
,(350)()2824P X P X C ==⋅==== 2536
561515(450)(),(560)()216216
P X C P X C ======
所以，X 的分布列为
所以X 的均值为()E X =435.625万元
20。

【解析】（1)设(,)M x y ,由//MB OA 得(,1)B x -,又(01)A ，,∴(,1)MA x y =--,
(0,1)
MB y =--,
(,2)
AB x =-。

由
MA AB MB BA
⋅=⋅得
()0
MA MB AB +⋅=即
(,2)(,2)0x y x --⋅-=24x y ⇒=，∴曲线C 的方程式为24x y =.
（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知,若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，
则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，又设点20
0(,)4
x P x ,由直线2:l y kx m =+与曲线C 有
唯一公共点P 知，直线2
l 与曲线C 相切，由2
14y x =得1'2
y x =，∴001
'|
2
x x k y x ===
,∴直线2l 的方程为20
00()42
x x y x x -=-
令1y =-得2
022x x x -=，∴Q 点的坐标为00
2(,1)2x x --，
20000
2
(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=---
∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴
2222000
2(1)()(1)20
(*)244
x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=
要使方程(*)对0x 恒成立，必须有210
20
n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，
∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．
21. 【解析】（1）f (x )＝e x －错误!x 2，记h (x ）＝f ′（x )＝e x －x ，则h ′（x ）＝e x －1＞0(x ＞0）．
∴f ′（x )在(0，＋∞）上递增，∴f ′（x ）＞f ′（0）＝1＞0.∴f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，故f (x ）＞f (0)＝1。

（2)（方法1)f ′(x )＝e x －2kx ，下面求使f ′(x )≥0（x ＞0)恒成立的k 的取值范围．
若k ≤0,显然f ′（x )＞0，f (x ）在区间（0，＋∞)上单调递增；记φ（x ）＝e x －2kx ,则φ′（x )＝e x －2k ，
当0＜k＜错误!时，∵e x＞e0＝1,2k＜1，∴φ′(x）＞0，则φ（x）在(0，＋∞)上单调递增，
于是f′(x)＝φ(x）＞φ（0）＝1＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增;当k≥
错误!时，φ（x)在（0，ln 2k)上单调递减，在（ln 2k，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x）≥φ（ln 2k)＝e ln 2k－2k ln 2k,
由e ln 2k－2k ln 2k≥0得2k－2k ln 2k≥0，则错误!≤k≤错误!. 综上,k的取值范围为错误!.
(方法2)f′（x)＝e x－2kx，下面求使f′（x）≥0（x＞0)恒成立的k 的取值范围．即k≤错误!(x＞0）恒成立,记φ(x)＝错误!（x＞0）,则φ′（x)＝错误!·错误!＝错误!·错误!(x＞0）,∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．
φ(x)min＝φ（1)＝错误!，则k≤错误!(x＞0)．∴k的取值范围为错误!.
（3)(方法1）由(1)知，对于x∈（0，＋∞），有e x＞错误!x2＋1，∴e2x ＞2x2＋1.则ln（2x2＋1）＜2x，
从而ln错误!＜错误!(n∈N*），于是ln错误!＋ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝2＋2（1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!）＝4－错误!＜4，故错误!错误!错误!…错误!＜e4(n∈N＊）．
（方法2)由(1）知,对于x∈（0,＋∞），有e x＞错误!x2＋1，∴e2x＞2x2
＋1，则ln(2x 2＋1）＜2x ，
从而有ln 错误!＜错误!（n ∈N ＊)，又错误!＝错误!＜错误!＝错误!＝2错误!， ∴错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1＋2错误!＝1＋2错误!＜错误!， 于是ln 错误!＋ln 错误!＋ln 错误!＋…＋ln 错误!＜2错误!＜错误!＜4, 故错误!错误!错误!…错误!＜e 4。

22。

（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）连结,BF EF
因为AB 为直径，所以90AFB ∠=︒，因为AB BC ⊥，所以∠所以ADB CEF ∠=∠,所以,,,C D E F 四点共圆． （Ⅱ）由已知BD 为O
的切线，所以()2
1134
BD
DF DA =⋅=⨯+=，故2BD =,
所以
AB ==，因为
D
为
BC
中点，所以
4,BC AC ==
因为,,,C D E F 四点共圆,所以AE AC AF AD ⋅=⋅，所以AF AD AE AC ⋅===
23。

【解析】（Ⅰ）圆锥曲线C 的普通方程为22
:1
43
x y C +=，所以直线l 的直
0y -=(Ⅱ)将直线l 的参数方程
11,2x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数），
代入椭圆方程得:
254120
t t --=，所以，t 1+t 2=4/5,t 1。

t 2=-12/5所以,｜
F 1M|+|F 1N|=｜ t 1|+｜t 2|=｜ t 1—t 2｜=16/5．
24．【解析】(1)由[()]30g f x m +->得|||4|3x -<，3||43x ∴-<-< 1||7x ∴<<
B
C
D
故不等式的解集为()()
--（2)∵函数()f x的图象恒在函数()
7,11,7
g x图象的上方
∴()(2)
x x
<-+恒成立∵|24|||2
-+≥，
f x
g x
m x x
>恒成立，即|24|||
∴m的取值范围为2
m<.。