专题18勾股定理最短路径问题(专项培优训练)(学生版)

专题18 勾股定理—最短路径问题（专项培优训练）
试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.39
试卷说明：本套试卷结合沪教新版版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）如图，在一个长为20m，宽为16m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C 处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（）
A．24m B．C．D．16m
2．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
3．（2分）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（）dm．
A．15 B．9 C．D．
4．（2分）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（）
A．12cm B．C．D．9cm
5．（2分）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）
A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
6．（2分）如图，有一个圆柱，底面圆的直径，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短路程为（）
A．11cm B．12cm C．9cm D．10cm
7．（2分）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线（图中
虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（）
A．B．C．D．
8．（2分）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）
A．13m B．m C．5m D．12m
9．（2分）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80cm，高AB＝60cm，宽DF ＝40cm．在顶点E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（）cm．
A．B．
C．D．
10．（2分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（2分）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6米，AB＝4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米．
12．（2分）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是cm．
13．（2分）在一个长2.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．
14．（2分）在底面直径为2cm，高为4cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈
数缠绕，则丝带的最短长度为（π取3）
15．（2分）如图，长方体的长为6，宽为5，高为8，棱上一点C到顶点B的距离为2，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从顶点A爬到点C，则爬行的最短路程为．
16．（2分）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．
17．（2分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是cm．
18．（2分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm（假设蜂蜜不会下滑）．
19．（2分）如图，一个无盖的长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点A爬到点B，那么需要爬行的最短路程为cm．
20．（2分）如图，有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A2爬到点C1处，则它爬行的最短路程为cm．
三、解答题：本大题共8小题，共60分．
21．（6分）如图，一只蚂蚁在底面半径为10cm，高为20πcm的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
22．（6分）如图，后面靠墙，底面着地放置一个长、宽、高分别为15，10，20的长方体，已知BC＝5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？（不经过靠墙的面；画出示意图再解答）
23．（8分）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．
（1）你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1的长度l1＝，路线2的长度l2＝；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
24．（8分）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？
25．（8分）
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
26．（8分）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆的直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有
一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）
27．（8分）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图（1）正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
（2）如图（2）长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处；
（3）如图（3）是底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体表面爬到点C处．
28．（8分）请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．
设路线1的长度为l1，则l1＝AB+BC＝2+8＝10；
设路线2的长度为l2，则l2＝＝＝；
∵＝102﹣（4+16π2）＝96﹣16π2＝16（6﹣π2）＜0
∴即l1＜l2
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l1＝．路线2：l2＝．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。