2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期7月期末考
试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∃x∈(0,+∞)，ln x=x−1”的否定是( )
A. ∃x∈(0,+∞)，ln x≠x−1
B. ∃x∉(0,+∞)，ln x=x−1
C. ∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1
D. ∀x∉(0,+∞)，ln x=x−1
2.已知x∈R，则“x2−3x+2≤0”是“2x−3
x−1
≤1”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=(m2−2m−2)⋅x m2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. 3
B. −1
C. 1或−3
D. −1或3
4.已知实数a>b>1，c∈R，下列关系正确的是( )
A. ac2>bc2
B. b
a >2b
a+b
C. a
b <2a
a+b
D. a+1−a<b−b−1
5.函数f(x)={−x2−2ax+1,x<1
e x+ln x,x≥1在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. [−1,+∞)
B. (−∞,−1]
C. [−e2,−1]
D. (−e2,−1)
6.函数f(x)=a ln x−1
x
+2x有2个极值点，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−22)∪(22,+∞)
B. (−∞,−22)
C. (22,+∞)
D. (−22,22)
7.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球.记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P(A)=( )
A. 7
12B. 29
45
C. 21
50
D. 29
50
8.已知函数f(x)=e x−1−e1−x+sin(x−1)+1，则不等式f(x)+f(1−2x)>2的解集为( )
A. (−∞,1)
B. (−∞,−1)
C. (1,+∞)
D. (−1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下结论正确的是( )
A. 函数f(x)=sin x +4
sin x 最小值为4B. 函数y =x−2
2x +1(x ≥1)值域为[−13,1
2)
C. 函数y =2x +
1−x 值域为(−∞,178]
D. 函数f(x)=1
2x +1值域为(0,1)
10.(x 2−2
x )n 的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的( )A. 展开式的所有项系数和为1 B. 展开式中含1
x 3项的系数为128C. 第5项和第6项的二项式系数相等
D. 展开式中常数项是第6项
11.已知函数f (x )满足对任意x ∈[0,1]，有f (x )+f (1−x )=2，且f (x )=2f (x
6
)，且当0≤x 1≤x 2≤1时，有
f (x 1)≤f (x 2)，则下列说法中正确的是( )A. f
(17
)
=23
B.
n
i =1
f((16)i )=2−(12
)
n
C. f
(1
20)=2f (1200)
D. 1
16≤f
(1
2024)≤112
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数f (x )=3x
3−x +ln(x−2)的定义域是 ．
13.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数6=22+12+12+02.设38=a 2+b 2+c 2+d 2，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(a,b,c,d )的个数为 .(用数字作答)
14.甲、乙二人进行羽毛球比赛，共比赛5局，采用5局3胜制.已知每局比赛中甲获胜的概率为a ，乙获胜的概率为b (a +b =1)，且每局比赛结果相互独立，记X 为比赛结束时的局数，则X 的期望E (X )的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用于冬装衣服.现在有A 材料、B 材料可供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，完成如下2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关：
A 材料
B 材料合计
试验成功(单位：次)试验失败(单位：次)
合计
(2)定义分类变量X ，Y 如下：X ={0,试验成功1,试验失败,Y ={
0,A 材料
1,B 材料，以频率估计概率，求条件概率P (X =1|Y =0)和P (Y =0|X =0)的值．
附：χ2=n (ad−bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d ．
α0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10 828
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax 2−ax−x +1，(1)解关于x 的不等式f(x)>0；
(2)当a =1时，若对于∀x ∈[−1,1]不等式f(x)>−3+mx 恒成立，求实数m 的取值范围．17.(本小题15分)
近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019−2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下：
年份20192020202120222023充电桩数量x/万台13579新能源汽车年销量y/万辆2537485872
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数r加以说明y与x线性相关性的强弱(结果精确到0.001；已知0.75<|r|<1，则认为线性相关性很强；0.3<|r|≤0.75，则认为线性相关性一般；|r|≤0.3，则认为线性相关性较弱)
(2)求y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
(3)截止2023年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A类60%、B类40%，现从该地区所有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取10个，再从抽取的10个充电桩中不放回地随机抽取2个，若X表示抽到的A类充电桩的数量，求X的分布列和数学期望．
参考公式：相关系数r=
∑n i=1(x i−x)(y i−y)
∑n i=1(x i−x)2∑n i=1(y i−y)2
，回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)
∑n i=1(x i−x)2
，a=y−bx．
参考数据：∑5
i=1
(x i−x)2=40，∑5i=1(y i−y)2=1326，∑5i=1x i y i=1430，53040≈230.3041．
18.(本小题17分)
根据中华人民共和国国家标准(GB 2890−2009)，P1级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97,8.1×10−5)．
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”．
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记X为这1000件产品中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大(即概率最大)？
参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xe x−ae3x+2e x，x∈R．
(1)若a=0，求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；
(3)若f(x)有两个零点x1,x2，且e x2−x1>2，求证：x1+x2>3
2
ln2−4．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.B
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.(2,3)
13.48
14.33
8
15.解：(1)由堆积等高条形图得2×2列联表：
A材料B材料合计试验成功(单位：次)8060140试验失败(单位：次)204060合计100100200零假设H0：试验结果与材料无关，
根据列联表中数据，得χ2=200(80×40−20×60)2
140×60×100×100=200
21
≈9.524>7.879=x0.005，
依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断假设不成立，即试验结果与材料有关，此推断犯错误的概率不超过0.005．(2)依题意，n(Y=0)=100,n(X=1,Y=0)=20，
所以P(X=1|Y=0)=n(X=1,Y=0)
n(Y=0)
=20
100
=1
5
；
n(X=0)=140,n(Y=0,X=0)=80，
所以P(Y=0|X=0)=n(Y=0,X=0)
n(X=0)
=80
140
=4
7
．
16.解：(1)函数f(x)=ax 2−ax−x +1，不等式f(x)>0⇔(ax−1)(x−1)>0，
当a =0时，解得x <1；
当a <0时，不等式化为(x−1
a )(x−1)<0，解得1
a <x <1；当a >0时，不等式化为(x−1a )(x−1)>0，若a =1，则x ≠1；若0<a <1，则x <1或x >1
a ；若a >1，则x <1
a 或x >1，
所以当a <0时，原不等式的解集为(1
a ,1)；当a =0时，原不等式的解集为(−∞,1)；
当0<a ≤1时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(1
a ,+∞)；当a >1时，原不等式的解集为(−∞,1
a )∪(1,+∞)．
(2)当a =1时，函数f(x)=x 2−2x +1，不等式f(x)>−3+mx⇔(m +2)x <x 2+4，依题意，∀x ∈[−1,1]，不等式(m +2)x <x 2+4，当x =0时，0<4成立，m ∈R ，当0<x ≤1时，m <x +4
x −2恒成立，而函数y =x +4
x −2在(0,1]上单调递减，因此y min =1+4
1−2=3，则m <3；
当−1≤x <0时，m >x +4
x −2恒成立，而函数y =x +4
x −2在[−1,0)上单调递减，因此y max =−1+4
−1−2=−7，则m >−7，所以实数m 的取值范围是−7<m <3．
17.解：(1)依题意，x =
1+3+5+7+95=5,y =25+37+48+58+72
5
=48，
而∑5i =1(x i −x )2=40，∑5i =1(y i −y )2=1326，∑5i =1x i y i =1430，
因此r =
∑5
i =1x i y i −5xy
∑5
i =1(x i −x )2∑5i =1(y i
−y )2
=1430−5×5×48
40×1326=230 53040≈230
230.3041
≈0.999，由y 与x 有相关系数近似为0.999>0.75，得y 与x 的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．
(2)由(1)知，b =
∑5
i =1x i y i −5xy
∑5
i =1(x i −x )
2=
1430−5×5×48
40
=5.75，
a =y−bx 48−5.75×5=19.25，y 关于x 的线性回归方程为y =5.75x +19.25，当x =24时，y =5.75×24+19.25=157.25，
所以当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量约为157.25万辆．
(3)依题意，抽取的10个充电桩中，A 类充电桩有6个，B 类充电桩有4个，X 的可能值为0,1,2，P(X =0)=
C 24
C 210
=215，P(X =1)=
C 14C 1
6
C 210
=815，P(X =3)=
C 26
C 210
=13，所以X 的分布列为：
X 0
1
2
P
2
15
815
13
数学期望E(X)=0×2
15+1×8
15+2×1
3=6
5．
18.解：(1)由已知过滤件的 滤烟效率服从正态分布N (0.97,8.1×10−5)，σ2=8.1×10−5=(9×10−3)2
⇒σ=9×10−3=0.009，则0.93<0.97−0.009×3=0.943，
由3σ原则可知，生产的产品中滤烟效率在3σ以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产．(2)①令Y 为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为
P(Y >0.952)=P(Y >0.97−2×0.009)=1−(12
−P(0.97−2σ<Y <0.97+2σ)2
)
=0.97725；
②依题意得X ∼B (1000,0.97725)，记n =1000,P =0.97725，
P (X =k )=C k n P k (1−P )n−k (k =0,1,2,⋯,103)要使可能性最大，则需{
C k n P k (1−P )n−k ≥C k−1n P k−1(1−P )n−k +1C k n
P k (1−P )n−k ≥C k +1n P k +1
(1−P )n−k−1,即
{
P
k ≥1−P 1001−k
1−P
1000−k ≥P
k +1
，所以1001P−1≤k ≤1001P ，即977.23≤k ≤978.23，
所以k =978，
所以当X 为978件时可能性最大．
19.解：(1)当a =0时，函数f(x)=xe x +2e x ，求导得f′(x)=(x +3)e x ，
当x <−3时，f′(x)<0，当x >−3时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,−3)上递减，在(−3,+∞)上递增，所以函数f(x)的递减区间是(−∞,−3)，递增区间是(−3,+∞)．
(2)不等式f(x)≤0⇔xe x −ae 3x +2e x ≤0⇔a ≥(x +2)e −2x ，令g(x)=(x +2)e −2x ，求导得g′(x)=−(2x +3)e −2x ，当x <−3
2时，g′(x)>0，当x >−3
2时，g′(x)<0，即函数g(x)在(−∞,−3
2)上递增，在(−3
2,+∞)上递减，因此g(x )max =g(−3
2)=e 3
2，则a ≥e 3
2，
所以a 的取值范围是a ≥e 3
2．
(3)由f(x)=0，得a =(x +2)e −2x ，由(2)知，x 1,x 2是直线y =a 与函数y =g(x)图象的两个交点的横坐标，
而g(−2)=0，当x >−2时，g(x)>0恒成立，因此f(x)有两个零点x 1,x 2时，0<a <e 3
2，由x +2=ae 2x 两边取对数得ln (x +2)=ln a +2x ，于是{
ln(x 1+2)=ln a +2x
1ln(x 2+2)=ln a +2x 2,
则ln(x 2+2)−ln(x 1+2)=2(x 2−x 1)，整理得(x 2+2)−(x 1+2)=12ln x 2+2
x 1+2，令x 2+2
x 1+2=t ，由e x 2−x 1>
2，得x 2−x 1>12ln2，即有(x 2+2)−(x 1+2)>12
ln2，
则12ln t >12ln2，解得t >2，由{
x 2+2=t(x 1+2)(x 2+2)−(x 1+2)=12
ln t ，得{
x 1+2=ln t 2(t−1)
x 2+2=t ln t 2(t−1)
,因此x 1+2+x 2+2=(t +1)ln t
2(t−1)，令ℎ(t)
=(t +1)ln t 2(t−1),t
>2，求导得ℎ′(t)=
t−1t −2ln t 2(t−1)2
，
令φ(t)=t−1
t −2ln t,t >1，求导得φ′(t)=1+1
t 2−2
t =(1−1
t )2>0，即φ(t)在(1,+∞)上单调递增，当t >2时，φ(t)>φ(2)>φ(1)=0，即ℎ′(t)>0，函数ℎ(t)在(2,+∞)上单调递增，ℎ(t)>ℎ(2)=3
2ln2，于是x 1+2+x 2+2>3
2ln2，所以x 1+x 2>3
2ln 2−4．。