广州市届普通高中毕业班综合测试(一)

广州市届普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
参考公式：如果事件，相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.
线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式x b y a
x x
y y x x
b n
i i
n
i i i
-=---=∑∑==ˆ,)()
)((ˆ1
2
1
， 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题：本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 .B A U ⋃= .B A C U U ⋃=)( .)(B C A U U ⋃= .)()(B C A C U U U ⋃=
.已知
bi i
a
+=-11，其中是实数，是虚数单位，则
.已知变量满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为
.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是
.
6π .3π .2
π
.
32π
.某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是
.1 C.
32 .3
1
.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是
.奇函数且在]2
,0[π上单调递增
.奇函数且在],2
[
ππ
上单调递增
.偶函数且在]2
,0[π上单调递增
.偶函数且在],2
[
ππ
上单调递增
.已知是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x
的零点为，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为，
则下列不等式中成立的是
.)()1()(b f f a f << .)1()()(f b f a f << .)()()1(b f a f f << .)()1()(a f f b f <<
.如图，一条河的两岸平行，河的宽度600m ，一艘客船从码头出发匀速驶往 河对岸的码头.已知
km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时
间为分钟，则客船在静水中的速度大小为
.8km/h .h km /26 .h km /342 .10km/h
二、填空题：本大题共小题，考生作答小题，每小题分，满分分. （一）必做题（题） .不等式
x x ≤-1的解集是.
.
⎰=1
._______cos xdx
.
根据上表可得回归方程a x y
ˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为年维修费用约万元（结果保留两位小数）.
.已知1,0≠>a a ，函数⎩
⎨⎧>+-≤=1,1
,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[]上的最大值比
最小值大
2
5
，则的值为. .已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这个平面将
空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（题，考生只能从中选做一题） .（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点)2
3
,
2(πA ，点在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段最短时，点的极坐标为.
.（几何证明选讲选做题）
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与⊙
交于点，若，5
16
=AD ，则的长为.
三、解答题：本大题共小题，满分分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. .（本小题满分分） 已知函
)4
sin()(π
ω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为，最小正周期为．
()求函数)(x f 的解读式；
()若函数)(x f 图象上的两点，的横坐标依次为，，坐标原点，求POQ ∆的 面积.
.（本小题满分分）
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
,2
1
乙，丙做对的概率分别为(>)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
()求至少有一位学生做对该题的概率； ()求的值； ()求ξ的数学期望. .（本小题满分分）
如图，在三棱柱1C 中，ABC ∆是边长为的等边三角形，
⊥1AA 平面，，分别是，的中点.
()求证：平面；
()若为上的动点，当为平面所成最大角的正切值为
2
15
时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
.（本小题满分分）
已知数列}{n a 的前项和为，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.
()求数列}{n a 的通项公式；
()若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a
是否成等比数列？并说明理由.
.（本小题满分分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点（，）在椭圆上，过点的直线与抛物线y x C 4:2
2=交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点.
()求椭圆的方程； ()是否存在满足
||2121AF AF PF PF +=+的点？若存在，指出这样的点有几个（不必求
出点的坐标）；若不存在，说明理由.
.（本小题满分分）
已知二次函数1)(2
+++=m ax x x f ，关于的不等式2
1)12()(m x m x f -+-<的解集为
)1,(+m m ，其中为非零常数.设1
)
()(-=
x x f x g . ()求的值；
())(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点； ()若，且>，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g n
n
n
∈-≥+-+
参考答案
说明：．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共小题，每小题分，满分分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共小题，每小题分，满分分．其
中题是选做题，考生只能选做一题．
．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．1sin ．12.38 ．
12或2
7 ．，22n n -+ ．1116,
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
．4 说明：① 第题第一个空填对给分，第二个空填对给分． ② 第题的正确答案可以是：11126k k ,
(ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
). 三、解答题：本大题共小题，满分分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ．（本小题满分分）
（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（）解：∵()f x 的最大值为，且0A >， ∴2A =. ……………分
∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T π
ω
==，得4
π
ω=
. ……………分
∴()2sin(
)44
f x x π
π
=+. ……………分
（）解法：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
……………分
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭， …………分
∴(4,P Q .
∴
OP PQ OQ ===……………分
∴
2
2
2
2
2
2
cos 23
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠=
=
=
.…分 ∴POQ sin ∠=
=
……………分 ∴△POQ
的面积为1122
S OP OQ POQ
sin =
∠=⨯⨯⨯
=………分
解法：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
……………分
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪
⎝
⎭，
……………分
∴(4,P Q .
∴(2,2),(4,OP OQ ==
. ……………分 ∴cos cos ,6OP OQ
POQ OP OQ OP OQ
⋅∠=<>=
=
=
……………分 ∴POQ sin ∠=
=
……………分 ∴△POQ
的面积为1122
S OP OQ POQ sin
=
∠=⨯⨯⨯
=………分
解法：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
………分
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
……………分
∴
(4,P Q .
∴直线OP 的方程为2
y x =
，即0x -=. ……………分
∴点Q 到直线OP 的距离为d =
=. ……………分
∵
OP = ……………分
∴△POQ 的面积为1122
S OP d =
⋅=⨯⨯=……………分
．（本小题满分分）
（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，
“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()1
2
P
A P
B m P
C n ,,=
==. ……………分 （）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是()13
1
0144
P ξ-==-
=.…………分 （）由题意知
()()
()()11
01124
P P ABC m n ξ===
--=， ……………分 ()()113224
P P ABC mn ξ===
=， ……………分 整理得 1
12mn =
，712
m n +=. 由m n >，解得13m
=
，1
4
n =. ……………分 （）由题意知()()()()
1a
P P ABC P ABC P ABC ξ===++
()()()()11111
111122224
m n m n m n =
--+-+-=， …分 (2)1(0)(1)(3)
b P P P P ξξξξ===-=-=-=1
4
， ……………分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)
E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+=1312
. …………分
H F
A
B
C
A 1
C 1
B 1
D
E
．（本小题满分分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：
（）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .
∵CD ∥1AA ，且CD 1
2
=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………分 ∵E 为
AB 的中点，
∴CE ∥BF . ……………分
∵BF
⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，
∴CE ∥平面1A BD . ……………分
（）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，
∴1AA ⊥
CE . ……………分
∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥
，2
CE AB =
=
∵AB
⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB
AA A =，
∴CE
⊥平面1A AB . ……………分
∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………分
∵CE =
，
在△CEH 中，
tan CE EHC EH EH
∠=
=， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………分
∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，
tan
CE EHC EH EH
∠=
=
=2
.
∴5
EH =
. ……………分 ∵CE ∥BF ，CE
⊥平面1A AB ，
z y
x
H A
B
C
A 1
C 1
B 1
D
E F
∴BF ⊥平面1A AB . ……………分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，
∴BF
⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………分
∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………分
在△EHB
中，BH =
=
cos 1ABA
∠BH EB ==…分 ∴平面1A BD 与平面ABC
所成二面角（锐角）的余弦值为5
. ……………分 解法二：
（）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .
∵E 为
AB 的中点，
∴EF ∥1AA ，且11
2
EF
AA =
. ……………分 ∵CD ∥1AA ，且CD 1
2
=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =
CD . ……………分
∴四边形EFDC 是平行四边形.
∴CE ∥DF . ……………分 ∵DF
⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，
∴CE ∥平面1A BD . ……………分
（）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，
∴1AA ⊥
CE . ……………分
∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥
，2
CE AB =
=
∵AB
⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB
AA A =，
∴CE
⊥平面1A AB . ……………分
∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………分
∵CE =，
在△CEH 中，
tan CE EHC EH EH
∠=
=， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………分
∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，
tan
CE EHC EH EH
∠=
=
=2
.
∴5
EH =
. ……………分 在△EHB
中，5
BH
=
=
. ∵△EHB ～△1A AB ，
∴1EH BH
AA AB =
，即1
552
AA =. ∴14AA =. ……………分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A
,,，1A ()004,,，
B )
10,，D ()02,,2.
∴1
AA =()004,,，1A B
=
)
14,-，1A D =()02,,-2.
设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，
由n
B A 1⋅，n 01=⋅D A ，
得40
220y z y z .
ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =
，则1z
x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n
=)
11,. ……………分
∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1
AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.
∴cos
111
,⋅=
=
n AA n AA n AA ……………分 ∴平面1
A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为5
. ……………分 ．（本小题满分分）
（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） () 解：
12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，
∴ 当1n
=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………分
由12323(1)2n n a a a na n S n +++
+=-+, ①
得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n +++++
+++=++, ② ……………分
② ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………分 以下提供两种方法：
法：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，
即122n n S S +=+; ……………分
∴122(2)n n S S ++=+， ……………分
∵112240S a +=+=≠，
∴数列{2}n S +是以为首项为公比的等比数列. ∴1
242n n S -+=⨯,即1
142
222n n n S -+=⨯-=-. ……………分
当2n
≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………分
又12a =也满足上式,
∴2n
n a =. ……………分 法：由③式得：()1
11(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，
得12n n a S +=+. ④ ……………分
当2n
≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………分
⑤④得：12n n a a +=. ……………分 由12224a a S +=+，得24a =，
∴212a a =. ……………分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，为公比的等比数列. ∴2n
n a =. …………分 （）解：∵
p q r ,,成等差数列，
∴2p r q +=. …………分
假设111p
q r a a a ,,---成等比数列，
则()
()()
2
111p r q a a a --=-， …………分
即(
)()(
)
2
2
12121p
r
q
--=-，
化简得：2222p
r q +=⨯. （*） ……………分
∵
p r ≠，
∴2222p
r q +>=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…分
∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………分
．（本小题满分分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
(1) 解法：设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>,
依题意: 22
2222231,
4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得:
22
16,
12.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………分 ∴ 椭圆1C 的方程为
22
11612x y +=. ……………分 解法：设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，
根据椭圆的定义得1228a AF AF =
+=，即4a =， ……………分
∵2c =， ∴2
2
2
12b a c =-=. ……………分
∴ 椭圆1C 的方程为
22
11612
x y +=. ……………分 ()解法：设点)41,
(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )4
1
3,2(211x x --=，
∵C B A ,,三点共线,
∴BC BA //. ……………分
∴
()()()22
2
2
11211
113244x
x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝
⎭,
化简得：12122
12x x x x ()+-=. ① ……………分 由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ……………分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为
)(2411121x x x x y -=-
，即2114
1
2x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2
224
12x x x y -=
. ③ ………分 设点),(y x P ，由②③得：
=-211412x x x 2
224
12x x x -， 而21x x ≠，则 )(2
1
21x x x +=
. ……………分 代入②得 214
1
x x y =， ……………分 则212x x x
+=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .
……………分
若
1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，
……………分
∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),
∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………分 ∴满足条件
1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………分
解法：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，
由2
4x y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ……………分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为
)(2
11
1x x x y y -=
-， 即21112
1
2x y x x y -+=
. ……………分 ∵2
114
1x y =
， ∴112y x x y -= .
∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
2
y x x y -=
. ① ……………分 同理，
202
02
y x x y -=
. ② ……………分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x
y -=002
. ………分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x
y -=
002
， ……………分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………分 若
1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…分
∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),
∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………分 ∴满足条件
1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………分
解法：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()
23y k x =-+，
由()2234y k x x y ,,
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………分
设()()
1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………分
由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ……………分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=
-，即21112
1
2x y x x y -+=.…分 ∵2
114
1x y =
， ∴211124x y x x =-.
同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2
22124
x y x x =
-. ……………分 由2
1
1222124124
x y x x x y x x ,,
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
∴()
223P k k ,-. ……………分 ∵
1212PF PF AF AF +=+,
∴点P 在椭圆22
111612
x y C :
+=上. ……………分 ∴
()()2
2
223116
12
k k -+
=.
化简得2
71230k k --=.(*) ……………分
由()
2
124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………分 ．（本小题满分分）
（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （）解：∵关于x 的不等式()()2
211f
x m x m
<-+-的解集为()
1m m ,+，
即不等式(
)
2
2
120x a m x m m ++-++<的解集为()
1m m ,+， ∴()2
2
12x a m x m m ++-++=()()1x m
x m ---.
∴(
)
2212x a m x m m ++-++=(
)
(
)
2
211x m x m m -+++. ∴()
1221a m m +-=-+.
∴2a =-. ……………分
()解法:由()得()()
1f x g x x =-()221111
x x m m x x x -++==-+--.
∴
()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11
m
x x =-+
-()1k x ln --的定义域为
()1,+∞.
∴()1x ϕ'=-
()
2
11m
k
x x ---()()
22
211x k x k m x -++-+=-. ……………分 方程()
2
210x k x k m -++-+=（*）的判别式
()()2
22414Δk k m k m =+--+=+. ……………分
①当0m
>时，0Δ>，方程（*
）的两个实根为1212
k x ,+-
=<
2212k x ,++
=
> ……………分
则()
21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()
2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()
2x ,+∞上单调递增.
∴函数()
x ϕ有极小值点2x . ……………分 ②当0m
<时，由0Δ>,
得k <-
k >
若k <-
1
1x ,=
<21x ,=
<
故x ∈()
1,+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()
1,+∞上单调递增.
∴函数()
x ϕ没有极值点. ……………分
若k >
1
212
k x ,+-
=
>2212
k x ,++
=
>
则()
11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()
2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.
∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()
2x ,+∞上单调递增. ∴函数()
x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；
当0m
<
时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…分 (
其中1
22
k x +-
=
,
222
k x ++
=
)
解法:由()得()()
1f x g x x =-()221111
x x m m x x x -++==-+--.
∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11
m
x x =-+
-()1k x ln --的定义域为()
1,+∞. ∴()1x ϕ'=-
()
2
11m
k
x x ---()()
22
211x k x k m x -++-+=-. ……………分 若函数()
()x
g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且
至少有一个零点在()
1,+∞上. ……………分 令()
x ϕ'()()22
21
1x k x k m x -++-+=
-0=,
得(
)
2
21x k x k m -++-+0=, (*)
则()()2
224140Δk k m k m =
+--+=+>,(**) ……………分
方程（*
）的两个实根为1x =
2x =
.
设()
h x
=()221x k x k m -++-+,
①若1211x x ,<>,则()
10h m =-<,得0m
>,此时,k 取任意实数, (**)成立.
则()
21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()
2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()
2x ,+∞上单调递增.
∴函数()
x ϕ有极小值点2x . ……………分
②若1211x x ,>>,则()10212
h m k ,
.⎧=->⎪
⎨+>⎪
⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩
又由(**)
解得k >
k <-
故k > ……………分 则()
11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()
2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()
2x ,+∞上单调递增. ∴函数()
x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；
当0m
<
时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…分
(
其中122k x +-
=
,
222
k x ++
=
)
()证法：∵1m
=， ∴()g x =()1
11
x x -+
-. ∴()()
1111n
n
n
n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝
⎭
1122
1
21
11111n n n n n
n n n n n
n n n x C x C x C x C x x x
x x x ----⎛⎫
=+⋅
+⋅++⋅
+-+ ⎪⎝
⎭ 1224
12n n n n
n n n C x C x C x ----=
+++. ……………分 令T 1224
12n n n n n n n C x C x C x ----=+++，
则T
122412
n n n n n n n n C x C x C x -----=+++
122412
n n
n n n n n C x C x C x ----=++
+.
∵x
0>，
∴2T
()()
()
1222
441
22n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++
++…分
≥12
1n n n n C C C -⋅+⋅+
+⋅ …分
(
)
12
1
2n n n n C C C -=++
+
()
012
102n n n
n n n n n n n C C C C C C C -=+++
++--
()
222n =
-. ……………分
∴22n
T ≥-，即()
()
1122n
n n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦
. ……………分
证法：下面用数学归纳法证明不等式11n
n n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭22n
≥-.
① 当1n
=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫
=+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成
立；……………分
② 假设当n k =k (∈*)时，不等式成立，即11k
k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭22k
≥-，
则 1
1111k k k x x x x +++⎛⎫
⎛⎫
+-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
11111111k
k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111k k x x --⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ ……………分
(
)
22k ≥⋅-+……………分 122k +=-. ……………分
也就是说，当1n
k =+时，不等式也成立.
由①②可得，对∀n ∈*
，()()
1122n
n n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦
都成立. ………分。