第1讲-点的存在性问题中的全等、相似和角度

第一讲 函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度
【1、二次函数与一个角】
在抛物线上找点，满足特殊角。

探索：用角来刻画直线和抛物线的位置关系。

【探索1】如图，在平面直角坐标系XOY 中，点P 为抛物线2
y x =上一动点，是否存在点P ，使POX ∠为45°，若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由。

【探索2】如图，在平面直角坐标系XOY 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为（
1
4
，0），是否存在点P ，使PAX ∠分别为45°或30°？若存在，请求出点P 的坐标； 不存在，说明理由。

【探索3】如图，在平面直角坐标系XOY 中，点P 为抛物线2
y x =上一动点，点A 的坐标为（1，0），若点P 使PAX ∠最小，请求出点P 的坐标。

【探索4】二次函数2
23y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使得∠PAC 为锐角？若存在，请你 求出P
【探索5】二次函数图象经过点A （-3，0），B （-1，8），C （0，6），直线23
y x =
+与 y 轴交于点D ，点P 为二次函数图象上一动点
①若∠PAD ＝45°，求点P 的坐标；
②若∠PAD ＝30°，求点
P 的坐标；
【探索6】如图，在平面直角坐标系XOY 中，点P 为抛物线2
y x 上一动点，点A 的坐 标为（4，2）
①若使∠AOP ＝45°，请求出点P
②若使∠AOP ＝30°，请求出点P
【真题模拟】
【例1】抛物线2
4y ax bx a =+-经过A （1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）知点D （m ，1－m ）在第二象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 的对称点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP ＝45°，求点P 的坐标。

【例2】如图，二次函数过A （0，m ）、B （-3，0）、C （12，0），过A 点作x 轴的平行 线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E 。

（1）求AD 的长；
（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点E 1、E 2都与点A 重合，试求m
的取值范围。

（3）设抛物线的顶点为点Q ，当6090BQC ≤∠≤时，求m 的变化范围。

【2、二次函数与多个角】
在抛物线上找点，满足两角和（差）关系
【探索7】二次函数2
23y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使锐角∠PCO ＞∠ACO ？若存在， 请你求出P
【例3】在平面直角坐标系XOY 中，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B ，C 两点。

（1）求直线BC （2）设抛物线的顶点为D ，（3）连结CD ，求∠OCA
【实战训练】
1、如图，平行四边形ABCD 的顶点()120A -，，()09B ，，2104C ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，
抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 。

（1）求点D 的坐标． （2）关于x 的方程2213
44
ax bx c x ++-
=有且只有一个解，求抛物线的解析式． （3）在（2
2点P 作x
2、抛物线21
()2y ax a m x m =++-与x 轴交于点A （1，0），()20B x ，，交y 轴正半轴于点
C ，且12
ABC
S
=
（1）求抛物线解析式以及B 、C
（2）在抛物线上（在B 点的右侧）求出点P
3、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，且点B 的坐标为()10，，点C 的坐标为()03，． （1）求抛物线及直线AC 的解析式；
（2）E 、F 是线段AC 上的两点，且AEO ABC ∠=∠，过点F 作与y 轴平行的直线交抛物线于点M ，交x 轴于点N 。

当M F D E =时，在x 轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、F 、
M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角QCO ∠与BCO ∠的大小。

（写出此时点Q 的横坐标x 的取值范围）。

4、如图，已知抛物线224323m m x m x m y -+-+-=)()(的顶点A 在双曲线x
y 3=上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 。