北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式

因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|,
所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,
选修4—5 第1课时 绝对值不等式
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.绝对值不等式的解法
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对
2.与绝对值不等式有关的
值不等式的几何意义证明以下不等式:
参数范围
|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
因为|x-3|+|x+4|≥|x-3-x-4|=7,
所以m<7,则m的取值范围是(-∞,7).
考向3.利用绝对值三角不等式求参数范围
典例突破
例4.(2021全国乙,理23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
a 1 +a 2 +…+a n
均值,即
n
≥

1 2 … ,此式当且仅当 a1=a2=…=an 时取“=”号.
4.柯西不等式
(1)定理1:对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向
量(c,d)共线时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式,设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,等号成立的条
解:(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.
当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,
解得x≤-4;
当-3<x<1时,不等式可化为1-x+x+3≥6,解得x∈∅;
当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,解得x≥2.
综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).
(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.
(3)分析法:证明命题时,从 所要证的结论 入手向已知条件反推直至达到
已知条件为止,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.
(4)反证法:证明命题时先假设要证的命题 不成立
合 已知条件
,以此为出发点,结
,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到
和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾
且当
2
3
5
2
x=2时,|x+1|-|x-2|-x +x=4.
故 m 的取值范围为
5Hale Waihona Puke -∞, 4.3 2
||2
5
4
+ ≤
5
,
4
突破技巧在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离
参数,通过求对应函数最值的方法获得.
对点训练3(2021黑龙江齐齐哈尔一模)已知函数f(x)=|x-3|,g(x)=-|x+4|+m.
①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c
;
②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
(3)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方转化为二次不等式求
解.
(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
4 + 2, > 1,
(2)设 g(x)=f(x)-f(x-1),
-4, < -1,
6 + 2,-1 ≤ < 0,
则 g(x)=|x-1|+3|x+1|-|x-2|-3|x|= 2,0 ≤ < 1,
2,1 ≤ < 2,
4, ≥ 2,
若 f(x)>f(x-1),即 g(x)>0,必有 6x+2>0,解得
(1)已知常数a<2,解关于x的不等式f(x)+a-2>0;
(2)若f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)+a-2>0,可得|x-3|>2-a(a<2),
所以x-3>2-a或x-3<a-2,即x>5-a或x<a+1,
故不等式的解集为(-∞,a+1)∪(5-a,+∞);
(2)f(x)>g(x)恒成立,所以m<|x-3|+|x+4|恒成立.
7.绝对值三角不等式的运 3.数学
量形式:|α·β|≤|α||β|;
用
运算
2
2
2
2
2
(2)(a +b )(c +d )≥(ac+bd) .
8.利用柯西不等式证明不
4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综
等式
合法、分析法、反证法、放缩法、几何法 .
9.利用放缩法证明不等式
强基础 增分策略
1.绝对值三角不等式
件为:向量(a,b)与向量(c,d)共线.
(3)定理 2:设 a1,a2,a3,…,an 与 b1,b2,b3,…,bn 是两组实数,则(12 + 22 +…+2 )
(12 + 22 +…+2 )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量
(b1,b2,…,bn)共线时,等号成立.
故不等式的解集为
1
− 3 , +∞
.
1
x>-3,
考点二
与绝对值不等式有关的参数范围(多考向探究)
考向1.利用函数图像平移法求参数范围
典例突破
例2.(2021全国甲,23)已知函数f(x)=|x-2|,
g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
求商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构.
2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待
证的命题以“至少”“至多”等方式给出或出现否定性命题、唯一性命题,则
考虑用反证法.
3.放缩是一种能力,如何把握放缩的“度”,使得放缩“恰到好处”,这正是放缩
法的精髓和关键所在!
增素能 精准突破
函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图像的对称轴是直线x=2-a.
当
7
2-a≤-2,即
所以 a∈
a≥
11
,
+
2
11
时,f(x+a)≥g(x)成立.
2
∞ .
突破技巧求与绝对值不等式有关的参数范围,可以通过构造函数或者利用
已有的函数,画出函数的图像,通过观察图像的位置关系找出使不等式恒成
立的范围.
对点训练2(2021河南焦作三模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-5|-7.
-2, ≥ 2,
解:(1)f(x)=
g(x)=
2-, < 2;
3
-4, ≤ - 2 ,
3
4 + 2,- <
2
1
4, ≥ .
2
<
1
,
2
(2)取临界状态,设 Q(x,0),P
1
,4
2
0-4
,令
1
2
=1,解得
7
x=-2,
即过点P,Q的直线斜率是1.
由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,
此时a=2,
故a的取值范围是(0,2].
考向2.利用分离参数法求参数范围
典例突破
例3.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
-3, < -1,
解:(1)f(x)= 2-1,-1 ≤ ≤ 2,
的
结论,以说明假设不正确,从而得出原命题成立,我们把这种证明方法称为
反证法.
(5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大
或
缩小 ,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
(6)几何法:通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法.
微点拨1.求差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式,
②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
2
≥ (此式当且仅当 a=b 时取“=”号).
定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c时取
“=”号).
定理 4:对任意三个正数
++
a,b,c,有 3
≥
3
(此式当且仅当 a=b=c 时取
“=”号).
推广:对 n 个正数 a1,a2,…,an(n≥2),它们的算术平均值不小于它们的几何平
考点一
绝对值不等式的解法
典例突破
例1.(2020全国Ⅰ,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
--3, ≤
1
-3,
解:(1)由题设知 f(x)= 5-1,- 1 < ≤ 1,
3
+ 3, > 1.
-3-3, < -1,
综上 f(x)= --1,-1 ≤ ≤
3-11, >
5
,
2
5
,
2 则对应的图像如图所示,
(2)当a<0时,y=f(x)的图像向右平移-a个单位长度得到y=f(x+a)的图像,
此时对任意x<1,y=f(x+a)总在y=f(x)的上方,不满足条件.
当a>0时,y=f(x+a)的图像最多平移到与y=f(x)的图像交于点(1,-2)的位置,
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b| ;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|等号成立.
微点拨由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|,
②利用“分段讨论法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思
想.
微点拨1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几
何意义解决问题,能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,
要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.
2.绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是一个
(1)在如图所示的网格中画出函数y=f(x)的图像;
(2)若当x<1时,f(x)>f(x+a)恒成立,求a的取值范围.
解:(1)当x<-1时,f(x)=-x-1-2x+5-7=-3x-3,
当-1≤x≤
5
时,f(x)=x+1-2x+5-7=-x-1,当
2
5
x>2时,f(x)=x+1+2x-5-7=3x-11,
缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最值.绝对值不
等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有时还需要通过适当的
变形使其符合绝对值不等式的条件.
3.平均值不等式
定理1:对任意实数a,b,有a2+b2≥ 2ab (此式当且仅当a=b时取“=”号).
定理 2:对任意两个正数
+
a,b,有
3, > 2.
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,
解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x +x≤|x|+1+|x|-2-x +|x|=2
5.不等式证明的方法
(1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,可分为求差比较法和求商
比较法两种.
证明步骤:作差(或作商)→变形→判断符号(或判断与0或1的大小关系)→下
结论.
(2)综合法:从
已知条件
出发,利用 不等式的性质 (或已知证明过的
不等式),推出了所要证明的结论,即“由因导果”的方法.
3.求函数或代数式的最值 1.直观
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的
4.比较法证明不等式
想象
不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c.
5.综合法证明不等式
2.逻辑
3.了解下列柯西不等式的两种形式,理解它
6.分析法证明不等式
推理
们的几何意义,并会证明:(1)柯西不等式的向
突破技巧形如|x-a|+|x-b|≥c或≤c(c>0)的不等式的解法
对点训练1(2021内蒙古包头一模)已知函数f(x)=|x-1|+3|x+1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式f(x)>f(x-1)的解集.
-4-2, < -1,
解:(1)根据题意,f(x)=|x-1|+3|x+1|= 2 + 4,-1 ≤ ≤ 1,则对应图像如下图.
y=f(x)的图像如图所示.
(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.
y=f(x)的图像与 y=f(x+1)的图像的交点坐标为
由图像可知当且仅当
7
x<-6时,y=f(x)的图像在
故不等式 f(x)>f(x+1)的解集为
7
-∞,- 6
.
7
11
−6,− 6
.
y=f(x+1)的图像上方.