三相电路瞬时无功功率理论

三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。

赤木最初提出的理论亦称pq 理论，是以瞬时实功率p 和瞬时虚功率q 的定义为基础，其主要的一点不足是未对有关的电流量进行定义。

下面将要介绍的是以瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 为基础的理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。

设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。

为分析问题方便，把它们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。

由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e 32βα （6-1）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i 32βα （6-2） 式中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=23230212113232C 。

图6-1 βα-坐标系中的电压、电流矢量
在图6-1所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 分别可以合成（旋转）电压矢量e 和电流矢量i
e e e e e ϕβα∠=+= （6-3）
i i i i i ϕβα∠=+= （6-4）
式中，e 、i 为矢量、的模；e ϕ、i ϕ分别为矢量e 、i 的幅角。

【定义6-1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量在矢量及其法线上的投影。

即
ϕcos i i p = （6-5）
ϕsin i i q = （6-6）
式中，i e ϕϕϕ-=。

βα-平面中的p i 、q i 如图6-1所示。

【定义6-2】三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率
p ）为电压矢量e 的模和三相电路瞬时无
功电流q i （三相电路瞬时有功电流p i ）的乘积。

即 p ei p = （6-7）
q ei q = （6-8）
把式（6-5）、式（6-6）及i e ϕϕϕ-=代入式（6-7）、式（6-8）中，并写成矩阵形式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβααβ
βαi i C i i e e e e q p pq （6-9） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ββ
βαe e e e C pq 。

把式（6-1）、式（6-2）代入上式，可得出p 、q 对于三相电压、电流的表达式
c c b b a a i e i e i e p ++= （6-10）
()()()[]c b a b a c a c b i e e i e e i e e q -+-+-=3
1 （6-11） 从式（6-10）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。

【定义6-3】α、β相的瞬时无功电流aq i 、q i β（瞬时有功电流ap i 、p i β）分别为三相电路瞬时无功电流q i （瞬时有功电流p i ）在α、β轴上的投影，即
p e e e i e e i i p e p p 22cos β
ααααϕ+=== （6-12a ） p e e e i e
e i i p e p p 22sin βαββ
βϕ+=== （6-12b ） q e e e i e e i i q e q q 22sin βαβ
β
αϕ+=== （6-12c ）
q e e e i e e i i q e q q 22cos β
αααβϕ+-=-=-= （6-12d ） 图6-1中给出了aq i 、q i β、ap i 、p i β。

从定义3很容易得到以后性质：
（1）
222p p p i i i =+βα （6-13a ） 222q q q i i i =+βα （6-13b ）
αααi i i q p =+ （6-14a ）
βββi i i q p =+ （6-14b ）
上述性质（1）是由α轴和β轴正交而产生的。

某一相的瞬时有功电流和瞬时无功电流也可分别称为该相瞬时电流的有功分量和无功分量。

【定义6-4】α、β相的瞬时无功功率αq 、βq （瞬时有功功率αp 、βp ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即
p e e e i e p p 222β
ααααα+== （6-15a ） p e e e i e p p 222βαβ
βββ+== （6-15b ）
q e e e e i e q q 22β
αβ
αααα+== （6-15c ） q e e e e i e q q 22βαβ
αβββ+-== （6-15d ）
从定义6-4可得到如下性质：
（1） p p p =+βα （6-16）
（2） 0=+βαq q （6-17）
【定义6-5】三相电路各相的瞬时无功电流aq i 、bq i 、cq i （瞬时有功电流ap i 、bp i 、cp i ）是α、β两相瞬时无功电流q i α、q i β（瞬时有功电流p i α、p i β）通过两相到三相变换所得到的结果。

即
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡p p cp bp ap i i C i i i βα23 （6-18）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡q q cq bq aq i i C i i i βα23 （6-19）
式中T
C C 3223=。

把式（6-12）代入式（6-18）、式（6-19）中得 A
p e i a
ap 3= （6-20a ） A
p e i b bp 3= （6-20b ） A
p e i c cp 3= （6-20c ） ()A
q e e i c b aq -= （6-21a ） ()A
q e e i a c bq -= （6-21b ） ()A q e e i b a cq -= （6-21c ） 式中()()()()a c c b b a c b a a c c b b a e e e e e e e e e e e e e e e A ---++=-+-+-=2222222
从以上各式可得到如下性质：
（1）0=++cp bp ap i i i （6-22a ）
0=++cq bq aq i i i （6-22b ）
（2）a aq ap i i i =+ （6-23a ）
b bq bp i i i =+ （6-23b ）
c cq cp i i i =+ （6-23c ）
上述两个性质分别和定义6-3的性质（1）、（2）相对应。

定义6-3的性质（1）反映了α相和β相的正交性，而这里的性质（1）则反映了a 、b 、c 三相的对称性。

【定义6-6】各相的瞬时无功功率a q 、b q 、c q （瞬时有功功率a p 、b p 、c p ）分别为该相瞬时电压和瞬时无功电流（瞬时有功电流）的乘积，即
A
p e i e p a
ap a a 23== （6-24a ） A
p e i e p b bp b b 23== （6-24b ） A
p e i e p c cp c c 23== （6-24c ） ()A
q e e e i e q c b a aq a a -== （6-25a ） ()A q e e e i e q a c b bq b b -== （6-25b ）
()A
q e e e i e q b a c cq c c -== （6-25c ） 定义6-6也有和定义6-4类似的性质：
（1） p p p p c b a =++ （6-26）
（2） 0=++c b a q q q （6-27）
传统理论中的有功功率、无功功率都是在平均值基础或相量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。

而瞬时无功功率理论中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。

从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。

下面分析三相电压和电流均为正弦波时的情况。

设三相电压、电流分别为
t E e m a ωsin = （6-28a ）
()32sin πω-=t E e m b （6-28b ）
()32sin πω+=t E e m c （6-28c ）
()ϕω-=t I i m a sin （6-29a ）
()2sin πϕω--=t I i m a （6-29b ）
()32sin πϕω+-=t I i m a （6-29c ）
利用（6-1）、式（6-2）对以上两式进行变换，可得
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡t t E e e m ωωβαcos sin 2 （6-30） ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ϕωϕωβαt t I i i m cos sin 2 （6-31） 式中m m E E 232=、m m I I 232=。

把式（6-30）和式（6-31）代入（6-9）中可得
ϕcos 2
3m m I E p =
（6-32a ） ϕsin 23m m I E q = （6-32b ） 令2m E E =、2m I I =分别为相电压和相电流的有效值，得
ϕcos 3EI p = （6-33a ）
ϕsin 3EI q = （6-33b ）
从上面的式子中可以看出，三相电压和电流均为正弦波时，
p 、q 均为常数，且其值和按传统理论算出的有功功率p 和无功功率q 完全相同。

把式（6-30）、式（6-31）代入式（6-12）中可得α相瞬时有功电流和瞬时无功电流 t I i m p ωϕαsin cos 2= （6-24a ）
()2sin sin 2πωϕα-=t I i m q （6-24b ）
比较上式和式（6-31）可以看出，α相的瞬时有功电流和瞬时无功电流的表达式与传统功率理论中a 相电流的有功分量和无功分量的瞬时值表达式完全相同。

对于β相及三相中的a 、b 、c 各相也能得出同样的结论。

由上面的分析不难看出，瞬时无功功率理论包容了传统的无功功率理论，比传统理论有更大的适用范围。