陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理 北师大版

高三数学理科试题
一、 选择题（每小题5分，共60分）
1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )
A. R<Q<P
B. P<R<Q
C. Q<R<P
D. R<P<Q
3、参数方程为1()2
x t t t y ⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）
． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线
4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直
线x ＝π
2
对称．则下列判断正确的是 ( )
A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．p 且q 为假
D ．p 或q 为真
5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2
1sin cos 24
αα+=，则tan α的值等于( )
A.
2
2
B.
3
3
C. 2
D. 3
6、在下列区间中，函数f (x )＝e x
＋4x －3的零点所在的区间为( )
A ．(－1
4
，0)
B ．(0，14)
C ．(14，1
2
)
D ．(12，3
4
)
7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2
＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为
增函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A ．a ≤2
B ．5≤a ≤7
C ．4≤a ≤6
D ．a ≤5或a ≥7
8、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )
A. [
B.(-
C.[-
D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x y
a b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12
10、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，2
sin sin cos a A B b A +=
，
则b a
等于( ) A ．2 3
B ．2 2 C. 3 D. 2
11、设函数f (x )＝2x
1＋2x －1
2
，
[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0,1}
B ．{0，－1}
C ．{－1,1}
D ．{1,1}
12、函数y ＝1
1－x
的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于
( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题（每小题4分，共20分）：
13、命题”“存在
01,:2
>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________
14、
3
23
(9)x dx --⎰
＝________.
15、若曲线4
y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3
cm ．
17、 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：
①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是单调递增；
③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分） 18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6
f x A x A π
ωω=-+>>的最大值为3，其图
像相邻两条对称轴之间的距离为π2
.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222
f π
α
α∈=，求α的值．
19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2
＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2， 求a 的值．
20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数； (2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．
21、（本小题满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=
，()x cos 2,1=，
x f ⋅=)(．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为
，求a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；
(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37
x
＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数
根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．
23、（本小题满分14分）设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 西安市第一中学
2013-2014学年度第一学期期中考试
高三数学理科参考答案
二、填空题（共4小题，满分20分）：
13.
”“任意01,2
≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝0
16.144 17. ①③
三、解答题（共6小题，满分70分）
18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π
2
.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝2，求α的值．
解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，
∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，
∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π
3
，
∴α－π6＝π6，∴α＝π
3. ……………………10分
19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2
＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．
解 f (x )＝－(x －a )2
＋a 2
－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2
－a ＋1； ……………………5分 当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分 根据已知条件：⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≥1，a ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，
a 2
－a ＋1＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤0
1－a ＝2，
解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分
20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；
(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．
解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有
f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分
又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．
故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分
(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.
x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .
故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分
x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.
从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分 21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=
，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为
，求a 的值．
解析：（Ⅰ）2
()222cos 2cos 232sin(2)36
f x x x x x x π
=++=++=+
+．
…………………4分
所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26
k x k Z ππ
=
+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1
sin(2)62
A π+=,由于0A π<<,所以
52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)
又∵1sin 22bc A =且b=1，∴
,42
c =得c=2，在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)
22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；
(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37
x
＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数
根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．
∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，
∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2
－10x (x ∈R )． …………………5分
(2)方程f (x )＋37x
＝0等价于方程2x 3－10x 2
＋37＝0
设h (x )＝2x 3－10x 2
＋37，
则h ′(x )＝6x 2
－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭
⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，
＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37
x
＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不
等的实数根． ……………………12分 23、（本小题满分14分）设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.
……………………6分 (Ⅱ)()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,
令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}
3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分 令()()3
11k
h k k e k =--+,则()()
3k h k k e k '=-,
令()3k
k e k ϕ=-,则()330k
k e e ϕ'=-<-<
所以()k ϕ在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭
所以存在01,12x ⎛⎤∈
⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增,在()0,1x 上单调递减.
因为17028h ⎛⎫=>
⎪⎝⎭
,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k
M k e k =--. ………………14分。