《高等代数》多项式试题库

�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
���
1 n!
xn
��
;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
二 证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
4. � . i�1
� a0 �2.�i���iii��v� �
二 判断题
1�(F)� 2. (F).; 3.(F).
三 解答题
1�解 因为
f ( x) � a( x � 2)2 � b( x � 1) � c( x2 � x � 2) � (a � c) x2 � (2a � b � c) x
� (4a � b � 2c) .利用多项式相等的定义的:
是
.
二 判断题
1. 0 是零次多项式. 2. 若 f (x)g (x) � f (x)h(x) ,则 g (x) � h(x) . 3. 若 f (x), g (x), h(x) 都是数域 P 上的多项式, 则 �( f (x) � g (x)) � �( f (x)) 或者 �( f ( x) � g ( x)) � �(g ( x)) .
求 a, b .
2. 如果 g (x) ( f1 ( x) � f 2 ( x)), g ( x) ( f1 (x) � f 2 (x)) , 则
g (x) f1 (x), g (x) f 2 (x) .
2� 如果 x 不整除 f ( x) 与 g ( x) �则 x 不整除 f ( x) 与 g ( x) 的乘积.
2. 若 在 P[ x] 中 , g ( x) 整 除 f ( x) � 为 强 调 数 域 � 我 们 记 g (x) P f (x) . 设
4
f (x), g (x) � Q[x] �下列结论 正确的有
.
(A)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(B) 若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) ;
f (x) � g(x) � 0 .
B组
1. 设 f ( x), g (x), h(x) 是 实 数 域 上 的 多 项 式 , 证 明 : 若 f 2 (x) � xg 2 (x) � xh 2 (x), 则
2
f (x) � g(x) � h(x) � 0 . 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一 填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
三 解答题
1. 设 f (x) � a(x � 2) 2 � b(x � 1) � c(x 2 � x � 2) , 试确定 a, b, c , 使 f ( x) (i)零次多项式; (ii) 零多项式; (iii)一次多项式 x � 5 . 2. 若 f (x), g (x) 是实数域上的多项式, 证明:若 f 2 (x) � g 2 (x) � 0, 则
所以 f (x) � g ( x) � h(x) � 0
2�解 取 f ( x) � 2ix , g ( x) � i( x � 1), h( x) � x � 1 �则 f 2 ( x) � xg 2 ( x) � xh 2 ( x) . 3�解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数
B组
一 多项选择题
1. f (x) 是 任 意 多 项 式 , c 是 非 零 常 数 , 则 下 列 结 论B) f ( x) 0 ;(C) 0 0 ; (D) 0 c ;(E) c 0 ;(F) f (x)c ;(G) c f ( x) ;(H)
cf ( x) f ( x) .
5. 对照多项式的整除性理论�讨论整数的整除性理论.
§3 整除的概念[达标训练题解答]
5.若 f (x) (g (x) � h(x)) ,则 f (x) g (x)或f (x) h(x) .
三 解答题
1�
设 f (x) � x 3 � 2 x 2 � ax � b �g ( x) � x 2 � x � 2 �g ( x) 除 f ( x) 的余式 r ( x) � 2 x � 1�
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1�加法、 减法、 乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.
二 判断题 1. ( T)� 2. ( F) 三、解答题
1 � 证 明 显 然 0, 1� Q n . 对 任 意 的 a1 � b1 n , a 2 � b2 n � Q( n ) ,
(a1 � b1 n ) � (a 2 � b2 n ) = (a1 � a2 ) + (b1 � b2 ) n � Q ( n ) ; (a1 � b1 n ) � (a2 � b2 n )
除 的商式是
,余式是
,这里 f (x), g (x), r(x) � P[x] .
二 判断题
1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若 f ( x) g ( x), g ( x) f ( x) , 则 �( f (x)) � �(g (x)) . 4. 若 f (x) � g (x)q(x) � r(x), g (x) � 0 ,则满足该式的多项式 q(x), r(x) 有且只有一对.
式;(iii) a � 6, b � �17, c � �6 时 f ( x) 是一次多项式 x � 5 .
2�证明 设 f ( x) � a n x n � � � a1 x � a 0 � g ( x) � a m x m � � � b1 x � b0 �则 f 2 ( x) � g 2 ( x)
n ) � {a � b
n a, b � Q} 对加法减法乘法除法
封闭.即 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域.
2�证明 因为 3 2 � {a � b3 2 a, b � Q} ,
3 2 � 3 2 � 3 4 � {a � b3 2 a, b � Q} .
即 {a � b3 2 a, b � Q} 对乘法不封闭.所以{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3�证明 由于任意数域都包含有理数, 故 P1 , P2 也包含有理数域, 从而 P1 � P2
�( f ( x) � g (x)) � max{ �( f (x)), �( g (x))}
何时等号成立?何时小于号成立?
§2 一元多项式[达标训练题解答]
A组
一 填空题
1� an x n � an�1x n�1 � � a1x � a0 � ai x i � ai
k �1
3. 0�非零常数 �
a bi k � i
P2
.
即
P1 � P2 是数域. 例如:
取 P1 = Q( 2 ) � {a � b 2 a, b � Q} , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} , 容易验证 P1 � P2 不
一定是数域; 取 P1 = Q , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} ,显然 P1 � P2 = {a � b 3 a, b � Q} 是 数域.
三 证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是 数 域 , 证 明 P1 � P2 也 是 数 域 , 而 P1 � P2 不 一 定 是 数
域.
时,等号成立; 其余情形小于号成立.
3
§3 整除的概念[达标训练题]
A组
一 填空题
1. f (x), g (x), h(x) 都是 P[ x] 中的多项式,若 f (x) � g (x)h(x) ,则称
整
除
�称
为
的因式�
为
的倍式�记为 .
2. 若 f (x) � g (x)q(x) � r(x), g (x) � 0, r(x) � 0 或 �(r(x)) � �(g (x)) , 那 么
k
� 的第 k
次项系数为
i�0
(ai ak�i
� bi bk �i ) =0,当 k
�
0 得 a0
�
b0
�
0 ,当 k
�
1
时得
a
2 1
� b12
�
0
,进
而 a1 � b1 � 0 ,同样地,得到 a 2 � b2 � 0 …….因此 f (x) � g (x) � 0
B组
1�证明 若 g ( x) � 0 (或 h( x) � 0 )显然得 f 2 (x) � xg 2 (x) � xh 2 (x) 是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若 f (x) � 0 ,则 g (x), h(x) 不全为零,因此也得 f 2 (x) � xg 2 (x) � xh 2 (x) 是一个奇次多项式, 这也是不可能的.
� a�c�0
� �
2a
�
b
�
c
�
0
(i) ��4a � b � 2c � 0 (ii)
� a�c�0
� �
2a
�
b
�
c
�
0
��4a � b � 2c � 0 (iii)
� a�c�0
� �
2a � b � c � 1
��4a � b � 2c � �5
即(i)当 a � �c, b � 3c, c � 0 时, f ( x) 为零次多项式; (ii)当 a � b � c � 0 时 f ( x) 为零多项
三解答题依照两个多项式的最大公因式式理论讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论定义存在性求法互素
§1 数域[达标训练题]
一 填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二 判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
包 含 有 理 数 域 . 令 a , b � P1 � P2 , 则 a , b � P1 , a , b � P2 . 由 于 P1 , P2 是 数 域 , 故
1
a � b,
ab�P1
, a � b,
ab�P2
;当
b
�
0
时,
a b
� P1 ,
a b
�
P2
,
所以
a
� b,
ab ,
a b
�
P1
�
3. 证明 是非负整数. x 2 � x � 1 x 3m � x 3n�1 � x , 3 p�2 m, n, p
4. 证 明 ① 如 果 h(x) f (x) , h( x) | g ( x) , 则 h( x) | ( f ( x) � g ( x)) ; ② 如 果 h( x) | f ( x ) ,h (x ) | g (x,则) h(x) | f (x) � g (x) 不一定成立.