四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题[含答案]

四川省2025届新高三秋季入学摸底考试
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．的虚部为（ ）96i
2i i -+A ．B ．C ．D ．7
-6
-7i
-6i
-2．已知等差数列满足，则（
）
{}n a 399,3a a ==12a =A ．B ．1
C ．0
D ．2
-1-
3，则（ ）()ππsin 0
2αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭tan α=
A B C ．
D ．
4．函数的极值点个数为（ ）()240e 10x
x x x f x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，，，A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分X 布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（ ）()295,N σ()95110P X ≤≤=
A ．
B ．
C ．
D ．532
516
1132
316
6．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空U 真子集
且，那么称子集族构成集合
(
)*12,,,N ,
k A A A k ∈ 1
2
k
A A A
U = {}12,,,k A A A
的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（
U k 2
{N |650}I x x x =∈-+<I ）A ．3
B ．4
C ．14
D ．16
7．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到4π,25π35π上底面的距离为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．278274378374
8．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的
O 2
:2(0)C x py p =>F l F 直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则1l C ,M N M C 2l ,x y ,P Q （ ）
PQ ON ⋅=
A ．
B ．
C ．
D ．1212
-
14
14
-
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知函数
，则（ ）()()π3sin ,3cos
232x x f x g x ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x 4π
B ．
与
有相同的最小值
()
f x ()
g x C ．直线为
图象的一条对称轴
πx =()
f x D ．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像
()f x π
3()g x 10．已知函数为的导函数，则（ ）()()31
3f x x x f x =-'，()
f x A ．()00
f '=B ．
在
上单调递增
()
f x ()1,∞+C ．的极小值为()f x 2
3
D ．方程
有3个不等的实根()12f x =
11．已知正方体
的体积为8，线段的中点分别为，动点在
1111ABCD A B C D -1,CC BC ,E F G 下底面内（含边界），动点在直线上，且
，则（ ）
1111D C B A H 1AD 1
GE AA =
A ．三棱锥的体积为定值H DEF -
B ．动点G
C ．不存在点，使得平面G EG ⊥DEF
D ．四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，若，则
.
(7,12),(6,)a b x =-= a b ⊥ x =13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为
.
3,5,7,,9x 14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点O 22
22:1(0,0)
x y C a b a b -=>>12,F F 在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐M 2F 2OF 1MF 2F 1MF C 近线交于点，且，则的离心率为
.
N 1F M MN =
C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．已知中，角所对的边分别为.ABC A B C ，，
a b c ，，2
sin cos sin B A b A =(1)求的值；
A (2)若的面积为，周长为6，求的值.
ABC 3a 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD M N ，，
棱的中点
SB SC ，
(1)证明：平面;
//MN SAD (2)若，求直线与平面所成角的正弦值
SA AD =SD ADNM
17．已知椭圆，点在上.2222:1(0)
x y C a b a b +=>>F (C (1)求的方程；
C (2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，
O A ()
:0l y kx m k =+≠l C FA l ⊥求
的值.
OA
18．已知函数
.
()ln f x x x a
=-+(1)若，求曲线在处的切线方程；0a =y =f (x )x =1(2)若时
，求的取值范围；
x >0()0
f x <a (3)若，证明：当时，.
01a <≤1x ≥()()1e 1
x a f x x x -+≤-+19．已知首项为1的数列
满足.
{}n a 221144n n n n a a a a ++=++(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数
20a >{}()14n
a n ≤≤40a <{}n a 为，求的分布列及数学期望；
X X EX (2)若数列满足：若存在，则存在且
，使得{}n a 5m a ≤-{}(1,2,,12k m m ∈-≥ )*
m ∈N .
4
k m a a -=（i ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；
20a >{}n a {}n a n n S （ii ）在所有满足条件的数列
中，求使得成立的的最小值.
{}n a 20250s a +=s
1．A
【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．
67i --【详解】，则所求虚部为.2
296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i --+=+=--+=--7-故选：A ．2．C
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由
可得：
，
399,3a a ==9339
1936a a d --=
==--所以，1293330a a d =+=-=故选：C 3．D
【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行()ππsin 02αα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=
求解即可.
，()ππsin 0
2αα⎛⎫
-++= ⎪⎝⎭
，
cos 0αα+=
因此可得，
sin tan cos ααα=
=故选：D.4．B
【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.
【详解】当时，
，0x ≥22
()4(2)4f x x x x =-=--此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；
[0,2][2,)+∞当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，
0x <()e 1x
f x =-+()e <0x f x '=-()f x (,0)-∞结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.[0,2]综上，函数
的极值点只有1个.
()
f x
故选：B.5．B
【分析】解法一，求出
，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，
3
(80)16P X <=
求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.
【详解】解法一：依题意，得，
15003
(80)800016P X <=
=
故
；
()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=
-=
解法二：数学成绩在80分至95分的有人，400015002500-=由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故
.
()25005
95110800016P X ≤≤=
=故选：B.6．B
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划I I 分的个数.
【详解】依题意，，{}
{}{}
2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N ∣的2划分为，共3个，
I {}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}的3划分为，共1个，I {}{}{}{
}2,3,4故集合的所有划分的个数为4.I 故选：B.7．C
【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为
，
12,r r 则
，则，22
12π4π,π25πr r ==122,5r r ==设圆台的母线长为，l 则
，解得，
()12π35π
r r l +=5l =
则圆台的高
，
4
h ==
记外接球球心到上底面的距离为，x 则
，解得
.
()2
2
2
2
245
x x +=-+378=
x 故选：C.8．C
【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得
.,P Q PQ ON ⋅ 【详解】依题意，抛物线，即
，则
，设2
:2C x y =2
12y x
=
1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，
22
1212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭直线
，联立得，则.11
:2l y kx =+22,
1,
2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2210x kx --=121x x =-而直线，即
，()
2
1211:2x l y x x x -=-2112x y x x =-令，则，即，令，则，故，
0y =12x x =1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x =21
2x y =-210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，故.211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2
212121244x x x x PQ ON ⋅=--= 故选：C
【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.9．ABD
【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得
与
的最小值；对于C ：代入求
，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根
()
f x ()
g x ()
πf 据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.
【详解】因为
，()()π3sin ,3cos
232x x f x g x ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭对于选项A ：的最小正周期，故A 正确；
()f x 2π4π
1
2T ==对于选项B ：
与
的最小值均为，故B 正确；()
f x ()
g x 3-对于选项C ：因为
，
()5π3
π3sin
362f ==≠±可知直线不为
图象的对称轴，故C 错误；
πx =()
f x 对于选项D ：将的图象向左平移个单位长度后，()f x π
3得到，故D 正确.
()
ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫
+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABD.10．BD
【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.
【详解】因为，所以，，A 说法错误；
()31
3f x x x =-()21f x x '=-()01f '=-令解得或，令
解得，
()0
f x '>1x <-1x >()0
f x '<11x -<<所以
在
单调递增，在单调递减，在单调递增，B 说法正确；
()
f x (),1∞--()1,1-()1,+∞的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值
()
f x 1x =-()21132f -=
>
1x =，C 说法错误；
()2
10
3f =-<因为当时，，当时，
，
x →-∞()0
f x <x →+∞()0
f x >所以方程
有3个不等的实根，分别在，和中，D 说法正确；
()1
2f x =
(),1∞--()1,1-()1,+∞故选：BD 11．ACD
【分析】对于A ，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到
1AD ∥DEF H DEF A
平面的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及的长，DEF 1C G 由此可知点的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设G DEF 点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的G EG EG ⊥DEF DEF EG 方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利G G 用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.G DEF 【详解】对于A ，如图，连接
、，
1BC 1AD
依题意，，而平面平面，故平面，
EF ∥
1BC ∥1AD 1AD ⊄,DEF EF ⊂DEF 1AD ∥DEF 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，
H DEF A DEF 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；H DEF H DEF -A 对于B ，因为正方体的体积为8，故，则，而，
1111ABCD A B C D -12AA =2GE =11EC =
故
1C G ==
故动点的轨迹为以
内的部分，即四分之一圆弧，
G 1C 1111D C B A
故所求轨迹长度为，故B 错误；12π4
⨯=
以
为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标
1C 11111,,C D C B C C ,,x y z 系，
则
，故
，
()()()
2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ()()
2,0,1,0,1,1DE EF =--=
设为平面的法向量，则故n =(x,y,z )DEF 0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩ 0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令，故为平面的一个法向量，2z =()
1,2,2n =--
DEF 设
，故
，
()()
0000,,00,0G x y x y ≥≥()
00,,1EG x y =-
若平面，则，
EG ⊥DEF //n EG 则，解得，但
，001122x y -==--001
,12x y ==22
003x y +≠所以不存在点点，使得平面，故C 正确；
G EG ⊥DEF 对于D ，因为为等腰三角形，故
，DEF 113222DEF
S EF =⋅== 而点到平面的距离，G DEF 0000222233
EG n x y x
y d n ⋅++++=
=
= 令，则
，0x θ=0π,0,2y
θθ⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣
⎦则
，
d
=
=1tan 2ϕ=则四面体体积的最大值为D 正确.DEFG 1332
⨯故选：ACD.12．7
2
【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.
【详解】由可得，解得，
.a b ⊥ 42120a b x ⋅=-= 72x =
故答案为：.
7
213．5.5
【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.
6x =【详解】依题意，，解得，3579
6
5x ++++=6x =将数据从小到大排列可得：，3,5,6,7,9又，则分位数为.
50.42⨯=40%56
5.5
2+=故答案为：.
5.5
14【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代
21F M NF ⊥1F M 1230MF F ∠=
N 入
，即可得出答案.
b
y x
a =
【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，
M 2F M 212,F M NF F M c ⊥=
故
，，
1F M =1230MF F ∠=
设，因为，所以为的中点，
()00,N x y 1F M MN =
M 1NF
，故.
，112NF F M ==0y =0sin30,cos302x c c ==⋅-=
将代入
中，故()
2N c b
y x a =b a =c e a ===
.
15．(1)π
3
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值；A （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值.
a
【详解】（1，
2sin cos sin sin A B A B A =
因为，则sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =tan A =因为
，故
.
()
0,πA ∈π
3A =
（2）由题意.
1sin 2ABC S bc A === 4bc =由余弦定理得
，22222
2cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+-=+-=--解得.
2a =16．(1)证明见解析；
(2).
1
2【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；
//MN BC （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量,,AB AD AS SD 与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.ADNM 【详解】（1）分别为的中点
M N 、,SB SC 为正方形
//MN BC ABCD ∴ 平面平面//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄,SAD AD ⊂SAD
平面.
//MN ∴SAD （2）由题知平面SA ⊥,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，
，则
2SA AD ==设,
()()()()()
0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,,,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=- ()0,2,0AD =
()1,0,1AM = 设平面的一个法向量为ADNM n =(x,y,z )
则,令则,
20
0n AD y n AM x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,x =0,1y z ==-()
1,0,1n ∴=-
设直线与平面所或的角为,
SD ADNM θ
，
1sin cos ,2n SD n SD n SD
θ⋅∴===
=⋅
所以直线与平面所成角的正弦值为.
SD ADNM 1
217．(1)2
21
2x y +=
【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；
,,a b c （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，
Δ0=22
21m k =+FA l ⊥写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.
FA l A 2
||OA 【详解】（1）设，依题意，F (c,0
)222
22131,24c a a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪
⎩
解得22
2,1,
a b ==故的方程为.C 2
21
2x y +=
（2）
如图，依题意，联立消去，可得，
F (1,0)22
,
1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222
214220k x kmx m +++-=依题意，需使
，整理得（*）.
()()
2222Δ16421220
k m k m =-+-=22
21m k =+因为，则直线的斜率为，则其方程为，
FA l ⊥FA 1
k -
()
11y x k =--联立解得即1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩221,1,1km x k
k m y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故
，
(
)
(
)
()(
)(
)
2
222
22222
2
2
2
2
2
2
2
2
11
(1)()1
1
||1111k m km k m k m k m m
OA k k k k ++-++++++=
=
=
=++++将（*）代入得，故
2222
122
2,11m k k k ++==++OA =18．(1)10y +=(2)
()
,1-∞(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；
（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由
()1e ln 10x a x x a ---+-≥a 导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.
x
【详解】（1）当时，，
0a =()ln f x x x
=-则
，所以，
1
()1
f x x '=
-(1)0k f '==又，所以切线方程为.
(1)1f =-10y +=（2）
，
()111x f x x x -=
-='当时，，单调递增；01x <<()0f x '>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x 所以，又，()(1)1f x f a ≤=-+()0f x <所以，即，10a -+<1a <所以的取值范围为.
a (),1∞-（3）由
可得，
()()1e 1
x a f x x x -+≤-+()1e ln 10x a x x a ---+-≥即证当，时，，
01a <≤1x ≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥令，
()()1e ln 1x a g a x x a
-=--+-则
，
()()()()1e 111e 1
x a x a g a x x --=-⋅--=--'由可知，，故在上单调递减，
1x ≥()0g a '<()g a (]0,1
所以，
()()1(1)1e ln x g a g x x
-≥=--令
，则
，
()1
()1e
ln x h x x x
-=--()11111()e 1e e x x x h x x x x x ---=+--
=-'当时，，，所以，
1x ≥1e 1x x -≥1
1x ≤()0h x '≥故在上单调递增，所以，
ℎ(x )[)1,+∞()(1)0h x h ≥=所以，即，
()(1)()0
g a g h x ≥=≥()1e ln 10x a x x a ---+-≥所以
成立.
()()1e 1
x a f x x x -+≤-+【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明
成立，首先关键在于构造视为关于的函数
()1e ln 10x a x x a ---+-≥a ，由此利用导数求出
，其次关键
()()1e ln 1x a g a x x a
-=--+-()()1(1)1e ln x g a g x x
-≥=--
在于构造关于的函数，利用导数求其最小值.
x ()1
()1e
ln x h x x x
-=--19．(1)分布列见解析，1(2)（i ）证明见解析，
（ii ）1520
22n S n n
=-【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用
14n n a a +=+1,n n a a +=-古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件
{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-可推出存在
，使得，矛盾，即可证明；
{}1,2,,1k i ∈- 41k
i a a =+≤-（ii ）由题意可确定必为数列
中的项，构成新数列
1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a ，确定其通项公式及，探求与的关系得解.
{}n b 5072025b =-s a n b 【详解】（1）依题意，，故，
221144n n n n a a a a ++=++22
114444a n n n a a a a ++-+=++即，故，或()()22
1
22n n a a +-=+14n n a a +=+1,n n a a +=-因为，故；
121,0a a =>25a =则
，
:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----故的可能取值为，
X 0,1,2故
，()()()211
22222
222
444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========故的分布列为
X X
012
P
1
62316
故.
121
0121
636EX =⨯+⨯+⨯=（2）（i ）证明：由（1）可知，当时，或；
2n ≥1n n a a -=-124,5n
n a a a -=+=假设此时数列
中存在最小的整数，使得，
{}n a ()3i i ≥1i i a a -=-
则
单调递增，即均为正数，且，所以；
121,,,i a a a - 125i a a -≥=15i i a a -=-≤-则存在
，使得，此时与均为正数矛盾，
{}1,2,,1k i ∈- 41k
i a a =+≤-121,,,i a a a - 所以不存在整数，使得，故.
()
3i i ≥1i i a a -=-14n
n a a -=+所以数列是首项为1､公差为4的等差数列，
{}n a 则
.
()21422
n n n S n n n
-=+
⋅=-（ii ）解：由
，可得，
20250s a +=2025s a =-由题设条件可得必为数列中的项；
1,5,9,,2017,2021,2025------ {}n a 记该数列为，有；
{}n b ()431507n b n n =-+≤≤不妨令，则
或
，
n j
b a =143
j j a a n +=-=-1447
j j a a n +=+=-+均不为141;
n b n +=--此时
或或或，均不为
.
243
j a n +=-+41n +47n -411n -+141s b n +=--上述情况中，当时，
，
1243,41j j a n a n ++=-=+321
41j j n a a n b +++=-=--=结合，则有.
11a =31n n a b -=由
可知，使得成立的的最小值为.
5072025b =-20250s a +=s 350711520⨯-=【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。