高考数学一轮复习讲义2.6讲 对数与对数函数

第6讲对数与对数函数
[最新考纲]
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画
底数为2,10，1
2的对数函数的图象；
3．体会对数函数是一类重要的函数模型；
4．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.
知识梳理
1．对数的概念
如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)
①＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a N
log a b；④＝
n
m log a b；⑤log a b＝
1
log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a M
N＝log a M－log a N；③log a M
n＝n log a M(n∈R)；
④log a n
M＝
1
n log a M.
3．对数函数的图象与性质
a＞10＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
(4)当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0 当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函
数
辨 析 感 悟
1．对数运算的辨析
(1)(2013·浙江卷改编)已知x ，y 为正实数，①2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y ，②2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg
y
，③2lg x ·lg y
＝2lg x ＋2lg y ，④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y ，以上四个式子错误的是①②③.(√)
(2)(2013·中山调研改编)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝2
4.(√)
2．对数函数的理解
(3)(2013·吉林调研改编)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)
(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，
函数图象只在第一、四象限．(√)
(5)(2014·长沙模拟改编)函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝2.(×) (6)log 2x 2＝2log 2x .(×) [感悟·提升]
三个防范 一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；
二是对公式要熟记，防止混用；
三是对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0＜a ＜1和a ＞1分类
讨论，否则易出错.
学生用书
第25页
考点一 对数的运算
例1 (1)(1－log 63)2＋log 62·log 618
log 64
的值是________．
(2)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2
＋log 23)＝( )．
A.124
B.112
C.18
D.38 (1)解析 原式
＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 66
3·log 6(6×3)log 6
4
＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 6
4
＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 6
4
＝2(1－log 63)2log 6
2＝log 66－log 63log 6
2
＝log 62log 6
2＝1.
答案 (1)1 (2)A
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
训练1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. (2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________. 解析 (1)a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝()a m 2·a n ＝22×3＝12. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)12 (2)2
考点二 对数函数的图象及其应用
例2 (2012·新课标全国卷)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，22 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)
审题路线 在同一坐标系下作出两个函数y ＝4x 与y ＝log a x 的图象⇒画函数y ＝log a x 的图象可考虑两种情况：a ＞1和0＜a ＜1⇒观察图象，当a ＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a ＜1的情形⇒观察图象的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2满足条件：log a 12＞2即可．
解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，
函数y ＝4x 的图象
在函数y ＝log a x 图象的下方． 又当x ＝1
2时，＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，2代入函数
y ＝log a x ，
得a ＝22，若函数y ＝4x
的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．
当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，1.
答案 B
规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
训练2 (2014·石家庄二模)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )． A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1
D ．0＜x 1x 2＜1
解析 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．
答案 D
考点三 对数函数的性质及其应用
例3 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2
x ，x ＞0，log 1
2(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，
＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪
(0,1)
解析 (1)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c . (2)由题意可得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
log 2a ＞－log 2a 或⎩⎨⎧
a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.
答案 (1)D (2)C
规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 【训练3】 (1)(2014·郑州模拟)若x ∈(1
e -，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ln x
，c ＝e ln x ，则
a ，
b ，
c 的大小关系为( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
(2)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是
( )．
A ．(1，＋∞)
B ．(0,1) C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，13
解析 (1)依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b ＞c
＞a .
(2)由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，
∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 答案 (1)B (2)D
(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同
底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
学生用书
第26页
教你审题2——巧用对数函数图象解题
[审题] 一审条件❶：转化函数y ＝|log 2x |为y ＝ ⎩⎨⎧
log 2x ，x ＞1，－log 2x ，0＜x ＜1.得到图象，如图． 二审条件❷：见上图．
三审条件❸：转化为a 是A ，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是B ，D 两点横坐标之差的绝对值．A ，B 的横坐标即是方程|log 2x |＝m 的解，C ，D 的横坐标即是方程|log 2x |＝
8
2m ＋1
的解，求出A ，B ，C ，D 点的横坐标． 四审问题❹：把b
a 转化为关于m 的函数，利用导数或不等式求解即可． 解析 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)上，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以
b a ＝|x B －x D ||x C －x A |＝x B －x D
x C －x A .根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝
，
x B ＝2m ，x D ＝，
所以b a ＝
＝ .
只要求出8
2m ＋1＋m 的最小值即可．
法一 构造函数g (m )＝82m ＋1＋m ，则g ′(m )＝－16
(2m ＋1)2＋1＝(2m ＋5)(2m －3)(2m ＋1)2，
由于m ＞0，显然可得g (m )在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m ＝32，故g (m )min
＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝72，即b a 的最小值为＝8 2.
法二
82m ＋1
＋m ＝4m ＋12＋m ＝4m ＋12＋m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当
4
m ＋12
＝m ＋12，即m ＝32时等号成立，故b
a 的最小值为
＝8 2.
[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；
(2)本题是以函数图象为载体，AC 和BD 在x 轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大． 【自主体验】
已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________． 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示： 由图可知，x 2＜x 3＜x 1.
答案 x 2＜x 3＜x 1
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果12
log x ＜12
log y ＜0，那么
( )．
A ．y ＜x ＜1
B ．x ＜y ＜1
C ．1＜x ＜y
D ．1＜y ＜x
解析 ∵12
log x ＜12
log y ＜log 1
21，又y ＝12
log x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x
答案 D
2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1 ＋x )，则f (－2)＝ ( )．
A ．－1
B ．－3
C ．1
D ．3
解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A
3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关 系是
( )．
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．b ＞a ＞c
解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 26
4＝a ，
排除D. 答案 A
4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于 ( )．
A.1
2 B.14 C ．－14
D ．4
解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，
解得a ＝－1
4，此即为实数a 的值．
答案 C
5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是
( )．
A ．(0,1)
B ．(1,3)
C ．(0,1)∪(1,3)
D ．(3，＋∞) 解析 记u ＝(3－a )x －a ，
当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求． 当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数， 而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．
当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题
6．函数y ＝12
log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，＋∞，则a ＝______.
解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a
3， ∴a 3＝2
3，∴a ＝2. 答案 2
7．已知f (x )＝⎩⎨⎧
2a 2，x ＜2，
log a (x 2
－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18
8．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，
则不等式f (x )＜－1的解集是________． 解析 当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，0，0，
－log 2(－x )，x ＜0，
由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜0，
－log 2(－x )＜－1，
解得0＜x ＜1
2或x ＜－2. 答案
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0＜x ＜1
2，或x ＜－2
三、解答题
9．已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；
(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上的值域．
解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，
因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝0，f (2)＝log 415，
因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上的值域为[0，log 415]．
10．已知函数f (x )＝log 12ax －2
x －1(a 为常数)．
(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；
(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．
解 (1)由题意知
ax －2
x －1
>0，当0<a <2时， 解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2
a <x <1. 故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <1，或x >2
a
； 当a <0
时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2a <x <1
. (2)令u ＝
ax －2
x －1，因为f (x )＝12
log u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2
x －1
在(2,4)上单调递增且为正．
故由⎩⎨⎧
a －2<0，
u (2)＝2a －2
2－1≥0，
得1≤a <2.故a ∈[1,2)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交 点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，P 4(2,2)
中，“好点”的个数为 ( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，
则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上， 得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；
P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a
＝14，b ＝1
4；
易得P 4(2,2)也为“好点”． 答案 B
2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋1
5，则f (log 220)＝ ( )．
A ．1 B.45 C ．－1
D ．－45
解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 24
5)＝－(＋1
5)＝－1.
答案 C 二、填空题
3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ， 那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．
解析 由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝x x －1＝
x －1＋1x －1
＝1＋
1
x －1
(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1
＝43.
答案 43 三、解答题
4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x
.
(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－12 014的值；
(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x
＝log 21＝0.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋
2
x ＋1
)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，
∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 2
1－a
1＋a
.
必记内容: 高中数学三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．
一点),(y x P ，记：2
2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x
=αcos 正切：x
y
=αtan 余切：y x =αcot
正割：x
r
=
αsec 余割：y
r =
αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．
线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵
απ
+2
、
απ
-2
、
απ+23、απ-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）
四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=
-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
α
α2tan 1tan 22tan -=。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示。

七、和差化积公式
2
cos
2
sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ …⑴ 2sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- …⑵ 2
cos
2cos
2cos cos βαβ
αβα-+=+ …⑶ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin
22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪
⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫
⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos
22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭⎫
⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
⋅ [])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
⋅ [])cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα-++=
⋅ [])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-
=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b a a +=
ϕ，a
b =
ϕtan 。

十、正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 2222⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=
十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=∆2
1ABC S
B ca A bc
C ab S ABC sin 2
1sin 2
1sin 2
1===∆（两边一夹角）
R
abc
S ABC 4=
∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c
b a S ABC ⋅++=
∆2
（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式（其中2
c
b a p ++=
）
十三诱导公式。