人教课标版高中数学必修一《对数与对数运算(第3课时)》教案-新版

2.2.1对数与对数运算（第3课时）
一、教学目标 （一）核心素养
通过这节课学习，培养学生根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性和初步的推理能力．培养学生的分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识． （二）学习目标
1．了解对数的换底公式及其推导；
2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题． （三）学习重点
用对数的运算性质进行化简、求值和证明． （四）学习难点 1．会用log log n
m a a m
b b n =
，a
N N a log 1log =等变形公式进行化简． 2．对数换底公式的应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）换底公式 一般地，log a b =
log log c c b
a
，其中0,1,0,0,1a a b c c >≠>>≠，这个公式称为对数的换底公式． （2）对数的换底公式的应用
log log a b b a ⋅= 1 ．
log log m n N a a n
N m
=
． 2．预习自测
（1）计算100lg 20log 25+= ． 【答案】2．
（2）计算=4
log 16
log 327 ．
【答案】
23
． （3）83log 9log 2⋅的值为（ ） A ．
32 B ．1 C ．
2
3 D ．2 【答案】A ．
（4）计算27
2log 9+= ．
【答案】8
3
．
(二)课堂设计 1．知识回顾
（1）指数和对数的互化
b a N =⇔ l o g a b N = （其中0a >，且1a ≠，0N >）． （2）默写对数的运算法则
① N M MN a a a log log log += ； ② N M N
M
a a a
l o g l o g l o g -= ； ③ M n M a n
a l o g l o g = ．
（3）计算:522log 253log 64-= ； ()22log log 16= ． 【答案】14-，2． 2．问题探究 探究一
●活动① （大胆猜想，大胆操作，探究新知识） 计算下列各组中两个式子的值．
()55log 1001lg100,
log 10； ()232log 272log 27,log 3；(
)373log 3log log 7
．
【答案】（1）因为22
555555log 100log 102log 10
lg100lg102,2log 10log 10log 10=====，
所以55log 100
lg100log 10=
；
（2）232log 27
log 27log 3
=
； （3
）373log log log 7
=
． 【设计意图】通过对具体数据的观察，加深对换底公式的直观认识． ●活动② （集思广益，证明新知识） 证明对数换底公式： log log log c a c b
b a
=
，其中（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）． 证明：令log a b N =，则N a b =，
又令log c b A =,则A c b =，令log c a B =，则B c a =， 所以，()N
N B BN a c c ==，
所以，BN A c c =，所以BN A =，即A N B
=
， 故 log log log c a c b
b a
=
． 【设计意图】由特殊到一般，由旧识到新知． ●活动③ （反思过程，发散思维） 利用对数的换底公式化简下列各式： （1）a c log c log a ⋅；
（2）23453452log log log log ⋅⋅⋅． 【答案】（1）1；（2）1．
【设计意图】熟悉公式基本结构，得出换底公式的常见变形结构：a
c c a log 1
log =． 探究二
●活动① （基础性例题） 例1 求值： （1）2
35111
log log log 2589
⨯⨯； （2）（3log 3log 84+）（2l
o g 2l o g 9
3
+）
； （3）0.21log 3
5
-．
【知识点】换底公式． 【数学思想】转化思想．
【解题过程】（1）235111
lg
lg lg
111
2589
log log log 2589lg 2lg 3lg 5⨯⨯=⨯⨯
()()()2lg53lg 22lg312lg 2
lg3
lg5
---=⨯⨯=-；
（2）()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++9lg 2lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg 2log 2log 3log 3log 9384
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 45
3lg 22lg 32lg 63lg 5=⨯=； （3）0.25lg3
lg3lg15111log 3
log 15lg0.2
lg5
lg5
55
5
5
515-
+
-=====．
【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底． 【答案】（1）12-；（2）54
；（3）15． 同类训练
求值：（1）427125log 9log 25log 16⋅⋅； （2）9log 4log 25log 532⋅⋅． 【知识点】换底公式的基本应用．
【数学思想】转化思想．
【解题过程】（1）427125lg9lg 25lg168
log 9log 25log 16lg 4lg 27lg1259
⋅⋅=
⋅⋅=； （2）85
lg 9
lg 3lg 4lg 2lg 25lg 9log 4log 25log 532=⋅⋅=
⋅⋅． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．
【答案】（1）8
9
；（2）8．
例2 若()324941
log 7log 9log log 02
a a ⋅⋅=>，则a =_______. 【知识点】换底公式的含参应用． 【数学思想】转化思想．
【解题过程】由已知可得：
()1
lg
lg 7lg 9lg 20lg 3lg 2lg 49lg 4a
a ⋅⋅=>，
即
()lg 72lg3lg lg 20lg3lg 22lg 72lg 2a a -⋅⋅=>， 得()1lg lg 202
a a =->，
故1
2
22
a -==
． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．
【答案】2
．
同类型训练
若2log 31x =，则3x
的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．6
D ．
2
1 【知识点】换底公式的变形应用和指数相结合． 【数学思想】方程思想．
【解题过程】因2log 31x =，则23log 321
log 233=2.log 3x x ==∴=
【思路点拨】解方程． 【答案】B.
【设计意图】知识点的交叉，以及对数利用换底公式化简． ●活动2 （提升型例题）
例3 设lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示12log 6和5log 12． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】b
a b
a ++=
++==
23lg 2lg 3lg 2lg 26lg 12lg 12log 6， b a a
+-=+-==213l g 2l g 22l g 112lg 5lg 5log 12．
【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底． 【答案】
b a b a ++2，b
a a
+-21． 同类训练
设a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示21log 14和56log 21． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】ab ab
a b a
b ++=
++=++==
1117log 2log 7log 3log 14log 21log 21log 33333314；
ab a ab b a b ++=++
=++==313
7log 3log 8log 7log 21log 56log 56log 33333321．
【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底．
【答案】
ab ab a ++1； ab
a a
b ++3
． ●活动3 （探究型例题）
例4 若1052==b a ，求b
a 1
1+的值．
【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．
【解题过程】因为1052==b a ，所以2lg 110log 2==a ，5lg 110log 5=
=b 15lg 2lg 1
1=+=+b
a ． 【思路点拨】用解方程的思想将a 、
b 分解出来. 【答案】1.
同类训练 设3643==y x ，求y
x 1
2+的值．
【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．
【解题过程】因为3643==y x ，所以3log 136log 363=
=x ，4
log 1
36log 364==y ， 则136log 4log 3log 21
2363636==+=+y
x ．
【思路点拨】用解方程的思想将x 、y 分解出来. 【答案】1.
【设计意图】结合前一节知识，强化指对关系以及在对数运算中同底意识． 3．课堂总结 知识梳理
（1）了解对数的换底公式及其推导；
（2）能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； （3）运用对数的知识解决实际问题． 重难点归纳
（1）用对数的运算性质进行化简、求值和证明； （2）利用对数的换底公式进行化简、求值．
（三）课后作业 基础型 自主突破 1．已知32log 3=a ，31
log 3
1=b ，则=ab （ ） A ．3 B ．33
C ．3
1
D ．
3
3
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．
【解题过程】由题31log 3-=b ，所以3
1
log log log 333==+ab b a ，故33=ab ．
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】B ． 2．
+
31
log 12
1
31
log 15
1
的值属于区间（ ）
A ．()1,2--
B ．()1,0
C ．()2,1
D ．()3,2
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】
()1
1133
33
1
1
2
5
11111log log log log 102,3112510log log 3
3
+
=+==∈． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】D ．
3．若a =2log 3，则=3log 12（ ）
A ．
11+a B ．1
+a a
C ．1+a
D ．
a
a 1
+ 【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．
【解题过程】由题a =2log 3，则2log 23lg 2
12
lg 3lg 2lg 3===
a ， 故a
+=
+==
11
2log 23log 112log 3log 3log 333312． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】A ．
4．设a =2lg ，b =3lg ，则12log 5等于（ ）
A ．
a b
a ++12 B ．a
b a ++12
C ．a b a -+12
D ．a
b a -+12
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】a
b
a -+=-+==
122lg 13lg 4lg 5lg 12lg 12log 5． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ．
5．已知3632==n m ，则=+n
m 1
1（ ） A ．2
B ．1
C ．
21 D ．3
1
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】由题知2log 1
2log 136log 36362=⇒=
=m m ， 3l o g 1
3l o g 136log 36363=⇒==n
n ， 所以
2
16log 6log 3log 2log 1126363636===+=+n m ． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ． 6．计算：=+3
log 3log 422__________.
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】
3332
2
2
22
33l o g 2
3
3
l o g 2
1
3l o g 3
l o g 3l o g 3l o g 3l o g 22222
242=====+++
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】33． 能力型 师生共研 7．
375754
log 3
1
log 9
log 2log ⋅⋅ =_________.
【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．
【解题过程】()232lg 3
23lg 7lg 5lg 7lg 5lg 3lg 22lg 217
lg 4lg 5lg 31lg 7lg 9lg 5lg 2lg 4log 31log 9log 2log 337575-=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】2
3-． 8．若1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则=x ．
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想，方程思想．
【解题过程】因为1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则1log 3log 122525=-x x
， 令x t 25log =，即1312=-t t ，则1312=-t t
，即()()0123=+-t t ， 所以32=t 或1t =-，即34
5=x 或125x =． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用解方程． 【答案】34
5或125
． 探究型 多维突破
9．已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，则=ab ________．
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，
则5log log 3122=+b a ，7log log 3
122=+a b ， 所以 ()1275log log 3
422=+=+b a ， 即9log 2=ab ，则51229==ab ．
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】512．
10．若()b ab ab a log 4log =，则=b
a ______． 【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】若()b ab ab a log 4log =，则ab b a ab lg lg 4lg lg =，
()b a b a b a b
a b
a lg lg 4lg lg lg lg lg 4lg lg lg 2⋅=+⇒+=+，
所以()0lg lg 2=-b a ，即b a lg lg =， 所以1=b a
．
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】1．
自助餐
1．若a =2lg ，b =3lg ，则3log 2等于（ ）
A ．a b
B ．b a
C ．b a
D ．a b
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想． 【解题过程】a b
==2lg 3
lg 3log 2．
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】A ．
2．()()=⋅4log 9log 32（ ）
A ．1
4 B ． 1
2 C ．2 D ．4
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】()()43
lg 2lg 22lg 3lg 23lg 4lg 2lg 9lg 4log 9log 32=⋅=⋅=⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】D ．
3． 设m b a ==52，且211=+b
a ，则=m （ ） A ．10 B ．10 C ．20 D ．100
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】因为m b a ==52，所以2log 1log 2m m a =
=，5log 1log 5m m b ==， 则
210log 5log 2log 11==+=+m m m b a ，所以10=m ．
【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】 A ．
4．若*,1,1N n b a ∈>>，则下列各式：①a b log 1:；②a b lg lg ；③n a b n log ；④b a ab ab log 1log -1-中，与b a log 相等的是 (把符合的序号都填上)．
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】④ b a
b b ab a ab
b a a ab ab ab ab
ab ab log log log log log log 1log 1===--． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．
【答案】① ② ③ ④．
5．已知3log 2a =，35b =，用a 、b 表示30log 2．
【知识点】换底公式的应用．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】已知35b =，则3log 5b =，
所以a
b a a 2125log 3log 2log 2log 30log 2130log 2130log 3333322++=++=⋅==． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】a
b a 21++． 6．解不等式：012792493log log >--x x ．
【知识点】换底公式的变形应用，解不等式．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】01273012792
2732493log log 2log log >--⇒>--x x x x
012012732log 2
log 73>--⇒>--⇒x x x x ()()034>+-⇒x x 又0>x ，故4>x ．
【思路点拨】利用换底公式的变形将不等式化简后再求解． 【答案】{}4>x x ．。