四川省宜宾市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题

四川省宜宾市2019届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A=}72|{},63|{<<=<<-x x B x x ，则)(B C A R = A. （2，6） B. （2，7） C.（-3，2] D.（-3，2）
2.若复数i m m m z )1()1(++-=是纯虚数，其中m 是实数，则z
1= A. i B. i - C. i 2 D. i 2-
3.“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m ∥平面α”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.设a ，b 是互相垂直的单位向量，且（λa ＋b ）⊥（a ＋2b ），则实数λ的值是 A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－1
5. 执行如图的程序框图，其中输入的7sin 6a π=，7cos 6
b π
=，则 输出a 的值为
A.－1
B.1 D.
6.抛物线2y =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若｜PF ｜
＝PQF 的面积为
A.3
B. D.7．在等差数列{}n a 中，0 (*)n a n ≠∈N ，角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点213(,)a a a +，则sin 2cos sin cos αααα+=
-
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．b 是区间[-上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率是
A ．
13
B ．
34
C ．
1
2
D ．
14
9.已知函数x x x f cos 23)(+=,若)3(2f a =,)2(f b =,)7(log 2f c =,则c b a ,,的大小关系是
A.a ＜b ＜c
B.c ＜a ＜b
C.b ＜a ＜c
D.b ＜c ＜a
10．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为
A ．π4
B ．π36
C ． π48
D ．π24
11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
22()4(0)x m y m -+=>
截得的线段长为m 的值为
A ．3
B ．1 C
．2
12．函数14)2ln()(--+++-=a a x e e x x x f ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使
3)(0=x f 成立，则实数a 的值为
A ．12ln --
B ．2ln
C ．12ln -
D ． 2ln - 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为______． 14．在等比数列{}n a 中，232a a +=，5616a a +=，数列{}n a 的公比为 ． 15.已知3tan =α，则cos 2α= ．
16.已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中
2
2π
>
A ，若1||22=C
B ，则||3||222222
C A B A +的最大值为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.(本小题满分12分) 设数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，已知3Sn=4n a －4，*n N ∈． （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式
（Ⅱ）令221
1
log log n n n b a a +=
，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.
18.(本小题满分12分) 进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部
门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采 集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：
（Ⅰ）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程。

（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
注：回归方程y bx a =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为
19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点.
（Ⅰ）证明：AB PC ⊥；
（Ⅱ）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求 点D 到平面MNC 的距离.
20.(本小题满分12分) 椭圆)0(1C 22
22>>=+b a b
y a x ：的左、右焦点分别为21F F 、，离心率
为
2
3
，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点()()000,0P x y y ≠为椭圆C 上一动点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点)0,(m M ，求实数m 的取值范围.
21．(本小题满分12分)
已知函数x mx x f ln )(=.
（1）当0>m 时，求函数1)()(+-=x x f x F 的单调区间； （2）若对任意的1)(),,0(-≥+∞∈x x f x 恒成立，求m 的值.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：
1cos sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数，[)0,απ∈），曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=. 1y=tsina
（Ⅰ）写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若PQ =l 的斜率， 23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|1||12|)(-+-=x a x x f
（Ⅰ）当1=a 时，解关于x 的不等式4)(≥x f ；
（Ⅱ）若|2|)(-≥x x f 的解集包含]2,2
1[，求实数a 的取值范围.
数学（文）试题答案
一．选择题
1. C
2.A
3.C
4.B
5.B
6.D
7.B
8.C
9.D 10.B 11.D 12.A 二．填空题
13. 20 14.2 15．54
-
16.
三．解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵ 3S n =4a n -4， ①
∴ 当n ≥2时，11344n n S a --=-．② ………………………………………2分 由①-②得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=(n ≥2)． ………………………3分 当n =1时，得11344a a =-，即14a =．
∴ 数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列．……………………………5分 ∴ 数列{a n }的通项公式为4n n a =． …………………………………………6分 （2）∵ 2211log log n n n b a a +=
⋅=1
221
log 4log 4n
n +⋅ =
1111
()2(22)41
n n n n =-⋅++． …………………………………8分
∴ 数列{b n }的前n 项和123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+
11111111[(1)()()()]4223341
n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+ 11(1)414(1)
n
n n =
-=++． ………………………12分
18．解：（1）1099.510.511
105
x ++++=
=，
7876777980
785
y ++++=
=． ………………………………2分
∴ 5
1
()()(1010)(7878)(910)(7678)(9.510)(7778)i i i x x y y =--=--+--+--∑
(10.510)(7978)(1110)(8078)+--+--
=5， ………………………………………………………4分
5
2
222221
()
(1010)(910)(9.510)(10.510)(1110) 2.5i
i x x =-=-+-+-+-+-=∑，
∴ 5
1
5
2
1
()()
5
ˆ22.5
()
i
i
i i
i x x y
y b
x x ==--==
=-∑∑．……………………………………………7分 ∴ ˆˆ7821058a
y bx =-=-⨯=． ……………………………………………8分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ258y
x =+． ………………………………9分 （2）当x =8时，ˆ285874y
=⨯+=． 满足|74-73|=1<2，……………………………………………………………10分
当x =8.5时，ˆ28.55875y
=⨯+=． 满足|75-75|=0<2，……………………………………………………………11分 ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12分 19（1）连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形， 又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥.…………………2分 又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥. 又NC
PN N =，所以AB ⊥平面PNC ，…………………4分
又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.…………………6分 （2）由（1）知PN AB ⊥.
又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，…………………8分 所以PN ⊥平面ABCD ，由M NCD D MCN V V --=.…………………9分
11
32
M NCD V -==，13D MCN MNC V S h -∆=⋅，…………………10分
MNC S ∆=
，由等体积法知得h =.…………………12分 20. 解析：（1）将x c =代入22221x y a b +=中，由222
a c
b -=可得422b y a =，
所以弦长为2
2b a
， …………………2分
故有2
22221b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
，解得21a b =⎧⎨=⎩，
所以椭圆C 的方程为：2
214x y +=．
…………………4分
（2）法一：设点()00,y x P ()00≠y ，又()(
)
0,3,0,321F F -，则直线21,PF PF 的方程分别
为
()
033:0001=++-y y x x y l ；
()
033:0002=---y y x x y l ．
由题意可知
()
()
2
02
00
02
0200
03
33
3-+-=
+++x y y my x y y my ．
…………………6分
由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以14
2
02
0=+y x ，
所以
2
02
02-233-2233⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x m x m ， …………………8分
因为33-<
<m ，220<<-x ，
=
，即043x m = …………………10分 因此，23
23<<-
m ．
…………………12分
法二：设t PF =1，
在M PF 1∆中，由正弦定理得
1
1sin 3
sin MPF m PMF t ∠+=
∠ 在M PF 2∆中，由正弦定理得
22sin 3sin 4MPF m
PMF t ∠-=
∠-
…………………6分 因为12PMF PMF π∠+∠=，12MPF MPF ∠=∠，
所以
m
m
t t -+=
-334，解得()
343241-=t m ， …………………8分
因为()c a c a t +-∈,，即()
32,32+-∈t ， …………………10分 所以2323<<-m ．
…………………12分 21．(本小题满分12分)
解：（1）因为),0(,1ln 1)()(+∞∈+-=+-=x x x mx x x f x F ，
所以1ln )(-+='m x m x F ，
由0)(>'x F 解得m m e
x ->1；0)(<'x F 解得m m e x -<<10. 所以)(x F 在),0(1m m
e -上单调递减，在),(1+∞-m m e 上单调递增 ………4分
（2）若122ln 2)2(,0-<=<m f m ，与已知矛盾，
设1ln 1)()(+-=+-=x x mx x x f x h ，
若0=m ，则1)(+-=x x h ，显然不满足在),0(+∞上0)(≥x h 恒成立， ………6分 当0>m 时，由（1）知要满足在),0(+∞上0)(≥x h 恒成立， 只需01)()(11min ≥-==--m m m m
me
e h x h . 要使上式成立只需m e
m m 11≤-成立，两边取自然对数得m m m 1ln 1≤-， 整理得011ln ≤-+m
m （*），即此式成立. ………8分 令11ln )(-+=m m m g ，则2
1)(m m m g -='. 显然当10<<m 时，0)(<'m g ，当0>m 时，0)(>'m g .
于是函数)(m g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，
所以0)1()(=≥g m g ，当且仅当1=m 时取等号. ………10分 要使011ln )(≤-+=m m m g （*）成立，必须011ln )(=-+=m
m m g ， 所以1=m .综上所述：1=m ………12分
22.解：（I ）∵2cos ρθ=，22cos ρρθ=，
由222,cos x y x ρρθ=+=，得222x y x +=
所以曲线C 在直角坐标系下的标准方程为()2
211x y -+=.………………………………… 4分
（Ⅱ）把1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩代入222x y x +=，整理得24cos 30t t α-+= 216cos 120α∆=-> ∴23cos 4α>
………………………………… 6分 设其两根分别为12,t t ，则12124cos ,3t t t t α+==，………………………………… 7分
∴12PQ t t =-=
==…………………………………
8分
得cos α= 9分
所以直线l 的斜率为………………………………… 10分 23.（Ⅰ）2(,][2,)3
-∞-+∞∪ ……………………………………………………………… 5分 （Ⅱ）x x a 331-≥-∴对]2,21
[∈x 恒成立 12
1<≤x 时，x x a 33)1(-≥-3≥∴a 21≤≤x 时，x x a 33)1(-≥-3-≥∴a
综上：3≥a ………………………………………………………………………… 10分。