人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案

人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案
一元二次方程的求根公式
一元二次方程当时.
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时原方程有两个不等的实数根；
②当时原方程有两个相等的实数根；
③当时原方程没有实数根.
题型1：利用△判断根的情况
1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=1 b=-4 c=5
∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
【解析】【解答】解：原方程中a=−3b=−4c=1
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−3)×1=28
故答案为：28．
【分析】利用根的判别式求解即可。

【变式1-2】下列方程没有实数根的是（）
A．x2﹣1＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣4x＋4＝0D．x2﹣x＋2＝0
【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0 ∴方程有两个不相等实数根故本选项不符合题意；
B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项不符合题意；
C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项符合题意；
D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0 ∴方程没有实数根故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。

【变式1-3】判断关于x的方程(x−3)(x−2)=p2根的情况并说明理由.
【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：
方程整理为一般式得x2−5x+6−p2=0
∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2)=25−24+4p2=4p2+1
而4p2≥0
∴1+4p2＞0 即Δ＞0
∴方程有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】先将方程化为一般形式再求出判别式△的值根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0）”中△＞0时方程有两个不相等的实数根△=0时方程有两个相等的实数根△＜0时方程没有实数根据此判断即可.
题型2：利用根的情况确定字母取值范围
2.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根则k的取值范围是
（）
A．k≤1B．k<1C．k≥−1D．k>−1
【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根所以△=b-4ac>0 把a、b、c代入求出k的值。

【变式2-2】已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根且m为正整数求m的值.
【答案】解：∵一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根
Δ=32−4m>0
∴m<9 4
∵为正整数
∴m=1或m=2.
【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根知△＞0 据此列出关于m的不等式求出m的范围,再根据m为正整数得出m的值即可.
题型3：利用公式法解一元二次方程
3.解方程：x2+3x−2=0.
【答案】解：△=32−4×1×(−2)=17，
x=−3±√17 2×1
所以x1=−3+√17
2，x2=−3−√17
2
【解析】【分析】直接根据求根公式法解一元二次方程即可.
题型4：数形结合与待定字母的值
4.若等腰三角形的一边长是2 另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根则m的值为.
【答案】9
【解析】【解答】解：当底边长为2时则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0 解得m＝9；
当腰长为2 则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根
∴4﹣12+m＝0 解得m＝8
方程化为x2﹣6x+8＝0 解得x1＝2 x2＝4
∵2+2＝4
∴2、2、4不符合三角形三边的关系舍去
综上所述m的值为9.
故答案为：9.
【分析】当底边长为2时根据△＝0求出m的值；当腰长为2时将x=2代入方程中求出m的值然后求出方程的根得到三角形的三边长然后根据三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.
【答案】解：①若a=6是三角形的腰则b与c中至少有一边长为6
代入方程得：62−(3m+1)×6+2m2+2m=0
解得m=3或m=5
∴当m=3时
方程可化为x2−10x+24=0
解得x1=4x2=6
∴三角形三边长分别为4、6、6
周长为：4+6+6=16；
当m=5时
方程可化为x2−16x+60=0
解得x1=6x2=10；
三角形三边长分别为6、6、10
周长为：10+6+6=22；
∴三角形的周长为16或22；
②若a=6是三角形的底边则b、c为腰即b=c则方程有两个相等的实数根
∴[−(3m+1)]2−4(2m2+2m)=0
解得m=1
∴原方程可化为x2−4x+4=0
解得x1=x2=2
此时a=6b=c=2不能构成三角形舍去；
综上所述三角形的周长为16或22．
【解析】【分析】分类讨论利用等腰三角形的性质列方程求解即可。

【变式4-2】若等腰三角形的一边长为6 另两边长分别是关于x的方程x2﹣（m＋2）x＋2m＋4＝0的两个根.
（1）求出m的值.
（2）求出三角形另外两边长度.
【答案】（1）解：①当6为底时两腰为方程两根且相等.
则Δ＝[﹣（m+2）] 2﹣4（2m+4）＝0
即：即m2﹣4m﹣12＝0
解得：m1＝﹣2 m2＝6；
当m＝﹣2时原方程为：x2＝0；解得：x1＝x2＝0（不合题意舍去）
∴m=6，
②当6为腰时则方程的一个解为6.代入原方程中可得：36﹣6（m+2）+2m+4＝0
解得：m＝7；
m的值为6或7；
（2）解：①当m＝﹣2时原方程为：x2＝0；解得：x1＝x2＝0（不合题意舍去）
②当m＝6时原方程为：x2﹣8x+16＝0；解得：x1＝x2＝4（三角形两腰为4）；
③当m＝7时原方程为：x2﹣9x+18＝0；解得：x1＝3 x2＝6（三角形另一腰为6 底为3）；
综上：三角形另外两边长度为4和4或3和6.
【解析】【分析】（1）①当6为底时两腰为方程两根故该方程有两个相等的实数根由Δ＝0可得m的值然后求出方程的两根进行检验即可；②当6为腰时则方程的一个解为6 代入原方程中可得关于m的一元一次方程求解可得m的值；
（2）当m＝6时原方程为：x2﹣8x+16＝0 求解可得另外两边长度；当m＝7时原方程为：x2﹣9x+18＝0 同理求解即可.
因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0 得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法：
提取公因式法公式法（平方差公式、完全平方公式）十字相乘法等.
题型5：利用因式分解法解一元二次方程
5.（1）x2=5x
（1）解：x2=5x
x2−5x=0
题型6：适当的方法解一元二次方程
6.用适当的方法解下列方程：
（1）(x−3)2−4=0；
（2）x2−4x−8=0．
【答案】（1）解：∵（x-3）2-4=0
∴（x-3-2）（x-3+2）=0
∴x-3-2=0 x-3+2=0
∴x1=5，x2=1；
（2）解：∵x2−4x−8=0
∴a=1 b=-4 c=-8
∴Δ= b2−4ac= (−4)2−4×(−8)=48
∴x=−b±√b2−4ac
2a=4±√48
2=2±√3
∴x1=2+√3，x2=2−√3；
【解析】【分析】(1) 利用因式分解法解方程即可得出结果；
(2) 利用求根公式法解方程即可得到答案。

（2）移项后提取公因式x-3 再进一步求解可得；
题型7：换元法求代数式的值
7.若(a2+b2)2−3(a2+b2)−4=0则代数式a2+b2的值为.
【答案】4
【解析】【解答】解：方程变形得: (a2+b2−4)(a2+b2+1)=0
可得a2+b2−4=0或a2+b2+1=0
解得：a2+b2=4或a2+b2=−1(舍去)
则a2+b2的值是4.
故答案为: 4
【分析】将方程左边进行因式分解可得(a2+b2−4)(a2+b2+1)=0可得a2+b2−4=0或a2+ b2+1=0据此求出结论.
后将其代入所求的代数式进行求值．
题型8：新定义问题
8.对于任意实数a b 定义一种运算：a b=a2+b2-ab 若x (x-1)=3 则x的值为【答案】-1或2
【分析】根据定义的新运算可得x2-6(x-2)=4 然后整理成一般形式观察方程的左边易于利用十字相乘法分解因式因此利用因式分解法求解即可.
一、单选题
1．一元二次方程x2−4x+4=0的根的情况是()
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
2．下列方程中有实数根的是（）
A．x2+1＝0B．4x2﹣4x﹣1＝0
C．3x2+4x+4＝0D．4x2﹣5x+2＝0
3．若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根则k的取值可能是() A．-2B．0C．12D．1
4．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是()
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有实数根D．没有实数根
5．已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ 14＝0有两个实数根则实数k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0
7．下列方程中没有实数根的是（）
A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x+5=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0
二、填空题
8．一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式的值是。

9．方程x2−2x−8=0有个实数根.
10．已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根则m的取值范围是．11．关于x的一元二次方程ax2+bx+ 14=0有两个相等的实数根写出一组满足条件的实数a b的值：
a=b=.
12．已知关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根若k为非负整数则k等于．三、计算题
13．解下列方程：
（1）x2+2x-19=0；
（2）(x+1)(2x-3)=2．
14．解方程：y(y−7)+2y−14=0.
四、解答题
15．求证：无论k取何值关于x的方程x2+kx+k−1=0都有两个实数根．
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×” 并写出你的解答过程．17．以下是小滨在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程.
解：原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)
解得原方程的解是x=−3.
小滨的解答是否有错误？如果有错误请写出正确的解答过程.
练习与提升参考答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在方程x 2-4x+4=0中
△=（-4）2-4×1×4=0
∴该方程有两个相等的实数根．
故答案为：B
【分析】算出方程根的判别式的值 根据判别式的值等于0 得出结论：该方程有两个相等的实数根．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A.此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0 此方程没有实数根；
B.此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0 此方程有两个不相等的实数根；
C.此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0 此方程没有实数根；
D.此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0 此方程没有实数根；
故答案为：B.
【分析】先计算各选项的b 2-4ac 的值 再根据一元二次方程的根的判别式"①当b 2-4ac ＞0时 方程有两个不相等的实数根；②当b 2-4ac=0时 方程有两个相等的实数根；③当b 2-4ac ＜0时 方程没有实数根"可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+2x -2=0有实数根
∴{△=22−4(k −1)×(−2)≥0k −1≠0
解得k ≥12
且k≠1 故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组{△=22−4(k −1)×(−2)≥0k −1≠0
求出k 的取值范围即可得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△＝a 2﹣4×1×(a ﹣1)＝a 2﹣4a+4＝(a ﹣2)2≥0
∴一元二次方程x 2+ax+a ﹣1＝0有实数根
故答案为：C.
【分析】先求出其判别式 然后根据判别式的正负情况即可作出判断.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根∴△≥0 即22-4×3×a≥0
解得a≤ 1 3．
故答案为：A．
【分析】根据根的判别式可解出a的取值范围。

6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+ 1
4＝
0有两个实数根
∴△＝（﹣2）2﹣4k• 1
4≥0 k≠0
解得：k≤4且k≠0
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当
b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根"和一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于k的不等式解不等式组即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】A、x2﹣4x+4=0 △=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0 △=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0 △=4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3=0 △=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．
8．【答案】5
【解析】【解答】解：a=1 b=-3 c=1
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5.
【分析】先确定出二次函数中各项的系数然后将它们代入公式△=b2-4ac计算即可。

9．【答案】2
【解析】【解答】解：∵a=1b=−2，c=−8
∴△＝b2-4ac＝(−2)2−4×(−8)=36>0
∴方程有2个实数根.
故答案为：2.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）”中当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根当b2-4ac＜0时方程没有实数根. 10．【答案】m≤3且m≠2
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根
∴m-2≠0且△≥0 即22-4×（m-2）×1≥0 解得m≤3
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
【分析】因为关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根所以由一元二次方程的根的判别式可得b2−4acb2−4ac≥0 且a≠0 即22-4×（m-2）×1≥0 解得m≤3 且m≠2 则m的取值范围是m≤3且m≠2．
11．【答案】4；2
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ 1
4=0有两个相等的实数根
∴Δ=0
∴b2-a=0
∴a=b2
当b=2时a=4 故b=2 a=4时满足条件.
故答案为：4 2（答案不唯一）
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+ 14=0有两个相等的实数根可得判别式△=0 从而可得a=b2根据题意求出a、b的值即可.
12．【答案】1
【解析】【解答】由题意可知
{Δ=4−4k≥0
k≠0
k≥0
∴0<k≤1由于k是整数
∴k=1
故答案为1
【分析】根据一元二次方程的定义知二次项的系数不能为0 又此方程有实数根故其根的判别式应该不为负数题中又告知k为非负整数从而列出不等式组求解即可。

13．【答案】（1）解：x2+2x-19=0；
∵a=1，b=2，c=−19，Δ=b2−4ac=22−4×1×(−19)=4+76=80
∴x=−b±√b2−4ac
2a=
−2±4√5
2
∴x1=−1+2√5，x2=−1−2√5
（2）解：(x+1)(2x-3)=2
2x2−3x+2x−3=2
2x2−x−5=0
∵a=2，b=−1，c=−5，Δ=b2−4ac=(−1)2−4×2×(−5)=1+40=41
∴x=−b±√b2−4ac
2a=
1±√41
4
∴x1=
1+√41
4，x2=
1−√41
4
【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可.
14．【答案】解：∵y(y−7)+2y−14=0
∴y(y−7)+2(y−7)=0
∴(y+2) (y−7)=0
∴y+2=0或y−7=0
解得y1=-2 y2=7.
【解析】【分析】对原方程进行分解可得(y+2) (y−7)=0 可将二次方程化为一次方程据此求解. 15．【答案】证明：（1）∵a=1,b=k,c=k−1
∴Δ=b2−4ac=k2−4×1×(k−1)=k2−4k+4=(k−2)2≥0
∴无论k取何值关于x的方程x2+kx+k−1=0都有两个实数根．
【解析】【分析】计算Δ的值大于等于0 即可证明.
16．【答案】解：小敏：× 小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0
提取公因式得(x-3)[3-(x-3)]=0
法括号得(x-3)(3-x+3)=0
则x-3=0或6-x=0
解得x1=3 x2=6.
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变
号；先移项再提取公因式利用因式法解二元一次方程即可.
17．【答案】解：有错；
正确解答过程如下：
原方程化为(x+2)(x−3)=−(x−3)
移项得(x+2)(x−3)+(x−3)=0
提公因式得(x+3)(x−3)=0
∴x+3=0或x−3=0
∴解得原方程的解是x=3或x=−3；
【解析】【分析】观察分析小滨的解题过程可知错误在于方程两边同时除以（x-3）而当x-3=0时就违背了等式的性质原方程的解就减少了正确的解法是：移项提公因式（x-3）可将原方程化为两个一元一次方程求解.。