均值各态历经定理

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随机过程积分

实际应用中，随机过程的数字特征需通过进行大量重复试验， 获得足够多的样本曲线之后获得：

实际应用的困难：大量重复试验的工作很难实现。 是否可以由一次试验获得随机过程的数字特征？ 考察在一次试验中，随机过程在时间维度上相关数字特征与随 机过程的关系。
1 mX » å N 1 RX (t2 - t1 ) ? å N
则称 Y 为 X (t ) 在区间 [a, b] 上的均方积分，仍记为
max D ti ? 0
lim E{[Y -
å
2 X ( t ) D t ] i i }= 0 i= 1
n
Y=
ò
b
a
X (t )dt
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随机过程的积分

定理：二阶矩过程 X (t ) 在 [a, b] 上均方积分存在的充要条件 是自相关函数的二重积分

则
ì 1/ T ï ï f (q) = í ï ï î 0
T
0< q< T others
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1 1 T E[ X (t )] = E[s(t + Q)] = ò s (t + q) d q = ò s (j )d j 0 T T 0 RX (t, t + t ) = E(s(t + Q)s(t + t + Q)) T 1 1 T = ò s (t + q) s (t + t + q) dq = ò s (j ) s (t + j )dj 0 T T 0
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平稳过程的例

例：设 {X k , k = 1, 2,...} 是互不相关的随机序列，且满足：
E( X k ) = 0, E( X k2 ) = s 2

证明该随机序列是宽平稳随机序列。 证明：由题
2 ì ï s RX (k , l ) = E( X k El ) = ï í ï ï î 0
X X 1 2


性质4：平稳过程 X (t ) 的协方差函数 CX (t1 , t2 ) 只与t = t2 - t1 有关。 记 CX (t ) = CX (t1, t2 ) ，则有
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2 CX (t ) = E[( X (t1 ) - mX )( X (t2 ) - mX )] = RX (t ) - mX
B(t 1 ) = E[ X (t ) X (t + t ) X (t + t 1 ) X (t + t 1 + t )]
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遍历性

若随机过程 { X (t ), t Î T } ，参数集 T = [0, ? ) ，则时间平均可 定义为： 1 T
X (t ) = lim
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遍历性

T 1 定理： lim X (t ) X (t + t )dt = E[ X (t ) X (t + t )] = RX (t ) ò T T 0
以概率1成立的充要条件是
t 1 ÷轾 1 T骣 2 ç lim ò ç1- ÷ B ( t ) R dt 1 = 0 1 X (t ) ? 犏 麟 ç T T 0 桫 T
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平稳随机过程的概念

平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。 一般的，若随机过程的前后环境和主要条件都不随时间的推移 而变化，则可认为该过程为平稳过程。 恒温条件下的热噪声电压过程； 随机相位正弦波；
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t1 ,..., tn ? T , t1
时， n 维随机变量
h,..., tn + h ? T
( X (t1 ),..., X (tn ))
和
( X (t1 + h),..., X (tn + h))

具有相同的分布函数，则称随机过程 { X (t ), t Î T }具有平稳性 ，称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。 若平稳过程的参数集是离散的，则称过程为平稳随机序列或平 稳时间序列。
X



性质2：平稳过程 X (t ) 的均方值函数和方差函数为常数。 2 2 记 Y2 = E [ X ( t )] s X X = Var[ X (t )] 平稳过程的所有样本曲线在水平直线 x(t ) = mX 上下波动，平 均偏离度为 s X 。
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平稳随机过程的性质


性质1：若平稳过程 X (t )的均值函数 E[ X (t )] 存在，则均值 函数为常数。 证明：由平稳过程的定义，取 n = 1, t1 = 0, h = t ， 则有 X (0) 和 X (t ) 同分布， E[ X (t )] = E[ X (0)] 即得 记 m = E[ X (t )]
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宽平稳过程


定义：若两个平稳过程 X (t ) 和Y (t ) ，其互相关函数 RXY (t1 , t2 ) 只与时间差 t = t2 - t1 有关，则称 X (t ) 和Y (t ) 是平稳相关的， 或称两个过程是联合（宽）平稳的。 注：泊松过程和维纳过程都是非平稳过程，但增量具有平稳性 。
k= l k¹ l
即
RX (k , l ) = s 2δ(k - l )
所以随机序列为宽平稳的。
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平稳过程的例


例：（随机相位周期过程）设 s (t ) 是周期为 T 的函数，Q 是 在 (0, T ) 上服从均匀分布的随机变量，则称 X (t ) = s(t + Q) 为随机相位周期过程。证明该过程是平稳过程。 证明：由题可知 Q 的概率密度为
蝌
a
b
b a
RX (s, t )dsdt
存在。且可得 X (t ) 均方积分的均值等于过程的均值函数的积 b 分，即有
E(Y ) =
ò
a
E[ X (t )]dt
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14Байду номын сангаас
随机过程的时间平均

定义：设随机过程 { X (t ), t Î T }，记
1 X (t ) = lim T 2T

遍历性定义表明若过程具有遍历性，可用一次试验样本曲线的 时间平均计算随机过程的均值和相关性函数。
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遍历性


设一次随机试验记录了 [0, T ] 上的试验结果 x(t ) ，假设平稳过 程满足遍历性条件，试估算平稳过程的均值函数和自相关函数 。 解：由遍历性的定义，可知随机过程的均值函数与自相关函数 的无偏估计为： 1 T )

ò
T
- T
X (t ) dt
为随机过程的时间均值。 记
1 X (t ) X (t + t ) = lim T 2T
ò
T
- T
X (t ) X (t + t )dt
为随机过程的时间相关函数。
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随机过程的时间平均

a cos Q sin wT =0 ò- T a cos(wt + Q)dt = Tlim wT 1 T 2 X (t ) X (t + t ) = lim a cos(wt + Q ) cos(w(t + t ) + Q )dt ò T 2T - T a 2 cos wt = 2 可得 X (t ) = mX , X (t ) X (t + t ) = RX (t )
平稳随机过程的性质


性质3：若平稳过程 X (t ) 的自相关函数 RX (t1 , t2 ) 存在，则自 相关函数只与时间差 t = t2 - t1 有关。 证明：由平稳过程的定义，取 n = 2, h = - t1 则有二维随机向量 ( X (t1 ), X (t2 )) 和 ( X (0), X (t )) 同分布。 所以 RX (t1, t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )]= E[ X (0) X (t )] 记 R (t ) = R (t , t )
态历经性。
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遍历性

定理（自相关函数各态历经定理）：平稳过程 X (t ) 的自相关
函数 RX (t )具有各态历经性的充要条件是：
其中
t 1 ÷轾 1 2T 骣 2 ç lim ò ç1B ( t ) R ( t ) d t = 0 ÷ 1 X 1 犏 ? T 桫 2T 麟 T 0 ç
N k= 1 N
xk (t1 ) xk (t1 ) xk (t2 )
k= 1
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随机过程的积分

定义：给定二阶矩过程 { X (t ), t Î T }，若它的每个样本函数在 时间区间 [a, b] Ì T 上的积分都存在。则称此随机过程在时间 区间 [a, b] 的积分存在，并记为
Y=

ò
b
注： Y 也是随机变量。
a
X (t )dt
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随机过程的积分

定义(均方积分)：考虑 [a, b]内的一组分点：
a = t0 < t1 < ... < tn- 1 < tn = b
D ti = ti - ti- 1 , ti- 1 < t i < ti , i = 1,..., n 记 若存在随机变量 Y ，满足
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宽平稳过程

定义：给定二阶矩过程 { X (t ), t Î T }，若对任意 t , t + t ? T ， 有 E[ X (t )] = mX
E[ X (t ) X (t + t )] = RX (t )


则称{ X (t ), t Î T }为宽平稳过程或广义平稳过程。 注：按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过 程。 定理：若严平稳过程的二阶矩存在，则它一定是宽平稳过程。 定理：宽平稳的正态过程必定是严平稳过程。 注：由于根据分布函数判定平稳性一般较难，所以实际应用中 ，通常只考察宽平稳性。我们一般把宽平稳过程称为平稳过程 。
T

定理：
1 T X (t ) X (t + t ) = lim ò X (t ) X (t + t )dt T T 0 1 T lim ò X (t )dt = E[ X (t )] = mX T T 0
Tò
0
X (t )dt
以概率1成立的充要条件是
1 T骣 t ÷轾 2 ç lim ò ç1- ÷ R ( t ) m dt = 0 X X 犏 臌 ÷ T 桫 T T 0 ç
T
1 X (t ) = lim T 2T
例：随机相位正弦波 X (t ) = a cos(wt + Q) 的时间均值 X (t ) 和 X (t ) X (t + t ) 。 解：

即可通过时间平均计算过程的集平均。
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遍历性


定义：设 X (t ) 是平稳过程， 1.若 X (t ) = E[ X (t )] = mX 以概率1成立，则称过程 X (t ) 的 均值具有各态历经性。 2.若对于任意的实数 t ，

X (t ) X (t + t ) = E[ X (t ) X (t + t )] = RX (t ) 以概率1成立，则称过程 X (t ) 的相关函数具有各态历经性。 3.若 X (t ) 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称 X (t ) 是
（宽）各态历经过程。 注：各态历经性也称为遍历性。
概率论与随机过程
第14章 平稳随机过程
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1
主要内容

平稳随机过程的概念 遍历性 相关函数 平稳随机过程的功率谱密度
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2
平稳随机过程的概念

定义：设随机过程 { X (t ), t Î T }，若对任意 n 和 h ，时刻满足

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遍历性

定理（均值各态历经定理）：平稳过程 X (t ) 的均值具有各态 历经性的充要条件是
1 2T 骣 t ÷轾 2 ç lim ò ç1R ( t ) m ÷ X X dt = 0 犏 臌 ÷ ç T T 0 桫 2T
t
t

2 推论：假设 lim RX (t ) 存在，若 lim RX (t ) = mX ，则过程具有 2 均值各态历经性；若 lim RX (t ) ¹ mX ，则过程不具有均值各 t