高中数学三维设计一轮复习文数通用版：高考达标检测(四十二) 几何概型命题3角度

高考达标检测（四十二） 几何概型命题3角度
——长度（角度）、面积、体积
一、选择题
1.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A.1
2 B.32
C.13
D.14
解析：选C 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π
3，A ′点在A 点左右都可
取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝1
3
.
2．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，若点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比， 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π
4
的概率为( )
A.12＋1π
B.12－1π
C.12
D.1π
解析：选A 由题意可知半圆0<y <2ax －x 2是以(a,0)为圆心、以a 为半径的x 轴上方的半圆，要使原点与半圆内一点的连线与x 轴的夹角小于π
4，则该点应该落在直线y ＝x 与
x 轴之间的区域，所以所求事件的概率为P ＝14×π×a 2＋12×a 212
×π×a 2＝12＋1
π.
3.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α＝π
6，现在向该
正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为( )
A ．1－
32
B.32
C.4－34
D.34
解析：选A 由题知，直角三角形中较短的直角边长为1，较长的直角边长为3， 所以中间小正方形的边长为3－1，其面积为(3－1)2＝4－23， 则飞镖落在小正方形内的概率为
4－234＝1－3
2
. 4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0，直线3x －4y ＋12＝0，圆C 上任意一点P 到直线的距离小于2的概率为( )
A.1
6 B.13 C.12
D.14
解析：选D 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，圆心C (1,0)，半径r ＝2，所以圆心C 到直线3x －4y ＋12＝0的距离d ＝
15
32＋(－4)2
＝3.若圆心C 到
直线3x －4y ＋m ＝0的距离d ＝
|3＋m |
32＋(－4)2
＝1，则m ＝2或m ＝－8(舍去)，
此时直线AB 的方程为3x －4y ＋2＝0，如图所示，在△ABC 中，CD ＝1，CB ＝2，则△ABC 为等腰直角三角形，即∠ACB ＝π
2，故所求概率P ＝π
22π＝14
.
5．已知直线y ＝3－x 与两坐标轴所围成的区域为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤3－x ，x ≥0，
y ≥2x 所围成
的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是( )
A.1
4 B.13 C.12
D.23
解析：选B 在平面直角坐标系中，作出区域Ω1，如图中△OAB 所示，其面积为12×3×3＝9
2
.作出区域Ω2，如图中△OBC 所示，联立
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3－x ，y ＝2x ，得C (1,2)，所以区域Ω2的面积为12×3×1＝3
2，故所求概
率P ＝3
292
＝13.
6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15
D.12
解析：选D f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤
π3，4π3， 由f (x ) ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≥1
2， ∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴0≤x ≤π
2， ∴所求的概率为P ＝π
2π＝1
2
.
7．已知△ABC 内一点O 满足OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→
＝0，若在△ABC 内任意投一个点，则该点在△OAC 内的概率为( )
A.16
B.14
C.13
D.12
解析：选C 如图，以OB ―→，OC ―→
为邻边作平行四边形OBDC ， 则OB ―→＋OC ―→＝OD ―→，又OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→
＝0， 则3OD ―→＝AB ―→
.作AB 靠近B 点的三等分点E ，
则OC ―→＝BD ―→＝EO ―→
，则O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半， 所以B 到AC 的距离是O 到AC 的距离的3倍，所以S △AOC ＝1
3S △ABC ，
故在△ABC 内任意投一个点，则该点在△OAC 内的概率为1
3
.
8．在[－2,2]上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2
＝2有交点”发生的概率为( )
A.14
B.916
C.34
D.1116
解析：选D 根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤a ≤2，
－2≤b ≤2，
又直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2有交点， 即
|a ＋b －1|
2
≤2，得－2≤a ＋b －1≤2， 所以－1≤a ＋b ≤3，作出平面区域如图所示，
则事件“直线x ＋y ＝1与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2有交点”发生的概率为 P ＝S 阴影S 正方形
＝42－12×32－12×12
42
＝11
16.
二、填空题
9．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ， 由4x (12－x )＞128，得x 2－12x ＋32＜0，解得4＜x ＜8， 因此所求的概率为8－412＝1
3.
答案：1
3
10．在区间[－3,5]上随机取一个数a ，则使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点的概率为__________．
解析：若使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点， 则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2，
则使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4无零点的概率P ＝2－(－2)5－(－3)＝1
2.
答案：1
2
11．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －y ≥0
表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点的
坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中△OAB 所示，面积为4，在△OAB 内满足x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为四分之一圆，
面积为π
2，所以所求事件的概率P ＝π24＝π8
.
答案：π8
12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
解析：设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝a －y
a ，解得y ＝a －x ，
所以矩形的面积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋a －x 22＝a
2
4，当且仅当x ＝a －x ， 即x ＝a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2
4
12×a ×a ＝12
.
答案：1
2
三、解答题
13．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．
(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率． 解：(1)用x ，y 分别表示小陈、小李到班的时间， 则x ∈[10,30]，y ∈[10,30]，
所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示． (2)小陈比小李至少晚到5分钟，即x －y ≥5，对应区域为△BEF ， 故所求概率P ＝S △BEF S 正方形ABCD ＝1
2×15×1520×20＝9
32.
14．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率． 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次， 所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)． 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，即y ＝2x －1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125
.
1．有一长、宽分别为50 m,30 m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )
A.3
4 B.38 C.3π16
D.12＋3π32
解析：选B 如图所示，当工作人员走到AB 或CD 两个线段中时能及时听到呼唤，其中OA ＝152，作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE ＝15，AB ＝2(152)2－152＝30，所有可能的结果为游泳池的周长160，故所求概率P ＝
2×30160＝3
8
. 2．若不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ＋12≥0
表示的区域为Ω，不等式⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2≤1
4
表示的区域为M ，向区域Ω均匀随机撒360粒芝麻，则落在区域M 中的芝麻约为( )
A ．114粒
B ．10粒
C ．150粒
D ．50粒
解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域Ω为图中
△ABC 所示．
易得A ⎝⎛⎭⎫－32，－12，B ⎝⎛⎭⎫32，－1
2，C (0,1)， ∴△ABC 的面积为12×⎝⎛⎭⎫32＋32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝9
4， 区域M 的面积为圆⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝1
4
的面积，
即π×⎝⎛⎭⎫122＝π
4，
其中区域Ω和M 不相交的部分面积即空白面积为
⎝⎛⎭⎫12×π×14－12×1×12×12＝π－216
，
∴区域Ω和M 相交的部分面积为π4－π－216＝3π＋2
16，
∴落入区域M 的概率为3π＋2
1694＝3π＋2
36，
∴落入区域M 的芝麻数约为360×
3π＋2
36
≈114. 3．任取k ∈[－1,1]，直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝4相交于M ，N 两点， 则|MN |≥23的概率是________．
解析：因为圆心到直线的距离d ＝
|2k |
k 2＋1
， 所以|MN |＝2r 2
－d 2
＝2 4－4k 21＋k 2＝41＋k 2
. 由|MN |≥23，得
41＋k 2
≥23，即k 2≤13，
所以－
33≤k ≤3
3
， 所以|MN |≥23的概率 P ＝33－⎝⎛⎭⎫－331－(－1)＝33.
答案：
3
3。