2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练17Word版含答案
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题组层级快练(十七)
(第一次作业)
1.函数f (x )=(x 2-1)2+2的极值点是( ) A .x =1 B .x =-1 C .x =1或-1或0 D .x =0
答案 C
解析 ∵f (x )=x 4-2x 2+3,
由f ′(x )=4x 3-4x =4x (x +1)(x -1)=0,得 x =0或x =1或x =-1.
又当x <-1时,f ′(x )<0,当-1<x <0时,f ′(x )>0,当0<x <1时,f ′(x )<0,当x >1时,f ′(x )>0, ∴x =0,1,-1都是f (x )的极值点.
2.(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,下列结论中错误的是( ) A .∃x 0∈R ,f (x 0)=0
B .函数y =f (x )的图像是中心对称图形
C .若x 0是f (x )的极小值点,则f (x )在区间(-∞,x 0)上单调递减
D .若x 0是f (x )的极值点,则f ′(x 0)=0 答案 C
解析 ∵x 0是f (x )的极小值点,则y =f (x )的图像大致如右图所示,则在(-∞,x 0)上不单调,故C 不正确.
3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( )
答案 C
解析 由f (x )在x =-2处取得极小值可知, 当x <-2时,f ′(x )<0,则xf ′(x )>0; 当-2<x <0时,f ′(x )>0,则xf ′(x )<0; 当x >0时,xf ′(x )>0.
4.若函数y =ax 3+bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和1
3,则( )
A .a -2b =0
B .2a -b =0
C .2a +b =0
D .a +2b =0 答案 D
解析 y ′=3ax 2+2bx ,据题意,0,13是方程3ax 2+2bx =0的两根,∴-2b 3a =1
3
,∴a +2b
=0.
5.若函数f (x )=x 3-3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则( ) A .0<b <1 B .b <1 C .b >0 D .b <1
2
答案 A
解析 f (x )在(0,1)内有极小值,则f ′(x )=3x 2-3b 在(0,1)上先负后正,∴f ′(0)=-3b <0. ∴b >0.f ′(1)=3-3b >0,∴b <1. 综上,b 的取值范围为0<b <1.
6.已知f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A .-37
B .-29
C .-5
D .以上都不对 答案 A
解析 f ′(x )=6x 2-12x =6x (x -2),
∴f (x )在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减. ∴x =0为极大值点,也为最大值点. ∴f (0)=m =3,∴m =3. ∴f (-2)=-37,f (2)=-5. ∴最小值是-37,选A.
7.若函数f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈[-1,1]总有f (x )≥0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .[2,+∞) B .[4,+∞) C .{4} D .[2,4] 答案 C
解析 f ′(x )=3ax 2-3,
当a ≤0时,f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意; 当0<a ≤1时,f ′(x )=3ax 2-3=3a (x +
1a )(x -1
a
),f (x )在[-1,1]上为减函数, f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意; 当a >1时,f (-1)=-a +4≥0,且f (1a )=-2
a
+1≥0,解得a =4.综上所述,a =4. 8.若函数f (x )=e -
x ·x ,则( )
A .仅有极小值
1
2e
B .仅有极大值
12e
C .有极小值0,极大值12e
D .以上皆不正确
答案 B
解析 f ′(x )=-e -
x ·x +
1
2x ·e -x =e -x (-x +12x )=e -x ·1-2x
2x . 令f ′(x )=0,得x =1
2
.
当x >12时,f ′(x )<0;当x <1
2时,f ′(x )>0.
∴x =12时取极大值,f (12)=1e ·12=12e
.
9.若y =a ln x +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值,则a =________,b =________. 答案 -23 -16
解析 y ′=a
x +2bx +1.
由已知⎩⎪⎨⎪
⎧
a +2
b +1=0,a
2+4b +1=0,
解得⎩⎨⎧
a =-23
,
b =-1
6.
10.若f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,则a +b =________. 答案 -7
解析 由x =1时,f (x )有极值10知,f (1)=10,f ′(1)=0,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1+a +b +a 2
=10,3+2a +b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =-11或⎩⎪⎨⎪⎧
a =-3,
b =3.
当a =4,b =-11时,f (x )=x 3+4x 2-11x +16, 得f ′(x )=3x 2+8x -11=(3x +11)(x -1).
当x ∈(-11
3,1)时,f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,故当x =1时,f (x )为极小值.
当a =-3,b =3时,f ′(x )=3(x -1)2≥0,即x =1时,不取极值,a =-3,b =3应舍去.所以a +b =-7.
11.若f (x )=x (x -c )2在x =2处有极大值,则常数c 的值为________. 答案 6
解析 f ′(x )=3x 2-4cx +c 2, ∵f (x )在x =2处有极大值, ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(2)=0,f ′(x )<0 (x >2),f ′(x )>0 (x <2).
解得c =6.
12.(2015·保定调研卷)设函数f (x )=x +ax 2+b ln x ,曲线y =f (x )过P (1,0),且在P 点处的
切线斜率为2.
(1)求a ,b 的值;
(2)令g (x )=f (x )-2x +2,求g (x )在定义域上的最值. 答案 (1)a =-1,b =3 (2)最大值为0,无最小值 解析 (1)f ′(x )=1+2ax +b
x
(x >0),
又f (x )过点P (1,0),且在点P 处的切线斜率为2,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)=0,f ′(1)=2,即⎩⎪⎨⎪⎧
1+a =0,1+2a +b =2.
解得a =-1,b =3. (2)由(1)知,f (x )=x -x 2+3ln x ,其定义域为(0,+∞), ∴g (x )=2-x -x 2+3ln x ,x >0.
则g ′(x )=-1-2x +3x =-(x -1)(2x +3)x .
当0<x <1时,g ′(x )>0;当x >1时,g ′(x )<0.
所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴g (x )的最大值为g (1)=0,g (x )没有最小值. 13.(2015·郑州一模)已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .
(1)若函数f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若x =-1
3
是函数f (x )的极值点,求函数f (x )在[1,a ]上的最大值;
(3)设函数g (x )=f (x )-bx ,在(2)的条件下,若函数g (x )恰有3个零点,求实数b 的取值范围.
答案 (1)a ≤0 (2)-6 (3)b >-7且b ≠-3 解析 (1)f ′(x )=3x 2-2ax -3, ∵f (x )在[1,+∞)上是增函数, ∴f ′(x )≥0在[1,+∞)上恒成立,即 3x 2-2ax -3≥0在[1,+∞)上恒成立. 则必有a
3
≤1,且f ′(1)=-2a ≥0.∴a ≤0.
(2)依题意,f ′(-13)=0,即13+2
3a -3=0,∴a =4.
∴f (x )=x 3-4x 2-3x .
令f ′(x )=3x 2-8x -3=0,得x 1=-1
3,x 2=3.
则当x 变化时,f ′(x )与f (x )变化情况如下表:
∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )-bx =0有3个不相等的实根. 即方程x 3-4x 2-3x =bx 有3个不等实根. ∵x =0是其中一个根,
∴只需满足方程x 2-4x -3-b =0有两个非零不等实根.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ=16+4(3+b )>0,-3-b ≠0.∴b >-7且b ≠-3. 故实数b 的取值范围是b >-7且b ≠-3. 14.设f (x )=e x 1+ax 2,其中a 为正实数.
(1)当a =4
3
时,求f (x )的极值点;
(2)若f (x )为R 上的单调函数,求实数a 的取值范围. 答案 (1)极小值点为x 1=32,极大值点为x 2=1
2 (2)(0,1]
解析 对f (x )求导得f ′(x )=e x
·1+ax 2-2ax
(1+ax 2)2
.
(1)当a =43时,若f ′(x )=0,则4x 2-8x +3=0,解得x 1=32,x 2=1
2.
又当x 变化时,f ′(x )和f (x )的变化情况如下表:
∴x 1=32是极小值点,x 2=1
2
是极大值点.
(2)若f (x )为R 上的单调函数,则f ′(x )在R 上不变号.结合(1)与条件a >0,知ax 2-2ax +1≥0在R 上恒成立,由Δ=4a 2-4a =4a (a -1)≤0,得0<a ≤1.
即实数a 的取值范围是(0,1].
15.(2014·福建)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.
(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x .
答案 (1)a =2,极小值为f (ln2)=2-ln4 (2)略 解析 (1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x -a .
又f′(0)=1-a=-1,得a=2.
所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2.
令f′(x)=0,得x=ln2.
当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,
且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,
f(x)无极大值.
(2)令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x,
由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0,
故g(x)在R上单调递增.又g(0)=1>0,
因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.。