2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练17Word版含答案

题组层级快练(十七)
(第一次作业)
1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0
答案 C
解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，
由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝0或x ＝1或x ＝－1.
又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．
2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C
解析 ∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如右图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．
3．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
答案 C
解析 由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知， 当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0； 当－2<x <0时，f ′(x )>0，则xf ′(x )<0； 当x >0时，xf ′(x )>0.
4．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和1
3，则( )
A ．a －2b ＝0
B ．2a －b ＝0
C ．2a ＋b ＝0
D ．a ＋2b ＝0 答案 D
解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝1
3
，∴a ＋2b
＝0.
5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜1
2
答案 A
解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.
6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．以上都不对 答案 A
解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，
∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.
7．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C
解析 f ′(x )＝3ax 2－3，
当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a (x ＋
1a )(x －1
a
)，f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (1a )＝－2
a
＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 8．若函数f (x )＝e －
x ·x ，则( )
A ．仅有极小值
1
2e
B ．仅有极大值
12e
C ．有极小值0，极大值12e
D ．以上皆不正确
答案 B
解析 f ′(x )＝－e －
x ·x ＋
1
2x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x
2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝1
2
.
当x >12时，f ′(x )<0；当x <1
2时，f ′(x )>0.
∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e
.
9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16
解析 y ′＝a
x ＋2bx ＋1.
由已知⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＋1＝0，a
2＋4b ＋1＝0，
解得⎩⎨⎧
a ＝－23
，
b ＝－1
6.
10．若f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＋b ＝________. 答案 －7
解析 由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2
＝10，3＋2a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3.
当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， 得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．
当x ∈(－11
3，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．
当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．所以a ＋b ＝－7.
11．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6
解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(2)＝0，f ′(x )<0 (x >2)，f ′(x )>0 (x <2).
解得c ＝6.
12．(2015·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的
切线斜率为2.
(1)求a ，b 的值；
(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b
x
(x >0)，
又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.
解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.
则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .
当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.
所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2015·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .
(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－1
3
是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；
(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．
答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a
3
≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.
(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋2
3a －3＝0，∴a ＝4.
∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .
令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－1
3，x 2＝3.
则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：
∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，
∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝16＋4(3＋b )>0，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3. 故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．
(1)当a ＝4
3
时，求f (x )的极值点；
(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝1
2 (2)(0,1]
解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x
·1＋ax 2－2ax
(1＋ax 2)2
.
(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝1
2.
又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：
∴x 1＝32是极小值点，x 2＝1
2
是极大值点．
(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.
即实数a 的取值范围是(0,1]．
15．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.
(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x .
答案 (1)a ＝2，极小值为f (ln2)＝2－ln4 (2)略 解析 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，
f(x)无极大值．
(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x，
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，
故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，
因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。