中点四边形ppt
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快速练习:
(1)中点四边形是菱形,原四边形是( D ) A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线相等的四边形 (2)中点四边形是矩形,原四边形是( D ) A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线互相垂直的四边形 (3)中点四边形是正方形,原四边形是( D ) A 矩形 B 正方形 C 对角线互相垂直且平分的四边形 D 对角线互相垂直且相等的四边形 (4)一个梯形的中点四边形是菱形,这个梯形是 (等腰梯形 )
什么情况是矩形呢? 若四边形EFGH是矩形,则FH⊥BC B 连接AO ∵FH//AO ∴AO⊥BC E G O A F H C
小结1: 从一般到特殊的研究方法
我们从原四边形两条对角线的位置关系 和数量关系探索了中点四边形的形状变化, 从中我们可以体会到当原四边形从一般到特 殊的变化中(也就是对角线关系从一般到特 殊),常常伴随着中点四边形从一般到特殊 的变化。
H A
D G
证明:连接AC、BD.
E
∵AE=EB,BF=FC, B F ∴EF∥ AC EF=1/2AC. 同理GH ∥ AC GH=1/2AC. ∴EF ∥ GH EF=GH=1/2AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. 注:同理 HE=FG=1/2BD ∴EF+FG+GH+HE=AC+BD
C
分析:根据上题我们有“任意四边形 的中点四边形都是平行四边形” ,再结 合四边形对角线的关系我们可以得出 结论:(课堂点睛P55第4题)
B
D
F
E
C
中点四边形: 定义:顺次连接一个四边形四边中点所 得四边形称为这个四边形的中点四边形。 思考:依次连接任意四边形各边中点 所成的中点四边形是什么图形呢?
已知:如图,点E、
H A E B F G D
C
分析:对于一般的四边形, 可以通过连对角线将四边 形转化为三角形来做.由 已知的四个中点,利用三 角形中位线定理和平行四 边形的判定可证明出.
下面各种四边形的中点四边形边是何种四边形 呢?观察并猜一猜,再证明.
A H D G E E B F C A H G E A H B G D D E F C H G A
E
B
F
C
菱形 (AC=BD)
A H D B F
矩形(AC⊥BD)
B F H D
正方形
E B F G C
A
平行四边形
G
C D
平行四边形
C
菱形(AC=BD)
所以我们有:
(1)任意四边形的中点四边形都是平行四边形; (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形; (3)梯形的中点四边形是平行四边形; (4)直角梯形的中点四边形是平行四边形; (5)矩形的中点四边形是菱形; (6)等腰梯形的中点四边形是菱形; (7)菱形的中点四边形是矩形; (8)正方形的中点四边形是正方形.
H A E G C
M
N F
变式3:在原题上加上“AC=BD且AC⊥BD”,其 余不变,则四边形EFGH是(正方形 );
B
思考:
如果把上题中的“任意四边形”改为 “矩形”,它的中点四边形是什么形状呢? 把“任意四边形”改为“菱形”,它的中点 四边形是什么形状呢? 再把它改为“正方形”呢? 改成“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”呢 ?
例1:如图, O为一动点,在△ABC中, E、F 分别是AB、AC的中点, 连接OB、OC,G、H 分别是OB、OC的中点。 (1)当O点在△ABC的内部时,四边形EFGH是 不是平行四边形?为什么?
A 解:是平行四边形,证明如下: EF//BC EF=1/2BC F E O GH//BC GH=1/2BC ∴EF//GH EF=GH G H C ∴四边形EFGH是平行四边形 B
变式1:在原题上加上“AC=BD”,其余不 变,则四边形EFGH是(菱形); 证:∵EF=1/2AC EH=1/2BD AC=BD ∴EF=EH
A
H
E D
G B
F C
变式2:在原题上加上“AC⊥BD”,其余不变 ,则四边形EFGH是(矩形); D 证:∵EF//AC;FG//BD ∴∠EFG+∠FNM=180° ∠BMC+∠FNM=180° ∠BMC=90° ∴∠EFG=90°
(2)当O点在△ABC的外部时,O满足什么条 件,四边形EFGH是矩形?为什么? O
A E
F H C B H G E M F A G
B O 解:O点在BC边的垂线上,且在△ABC外
C
(3)当O点在△ABC的边上的情况呢?
证:EF//BC EF=1/2BC GH//BC GH=1/2BC ∴EF//GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形
H D G C F E B
作业:
1.课堂点睛P50第9题、 P61第11题; 2.完成对中点四边形与原四边形的面积关系 的探究。 (提示:可以先从特殊的四边形的中点四 边形猜测,比如正方形的中点四边形,然后 再证明一般四边形的中点四边形与原四边形 的面积关系,注意运用三角形的中位线的性 质) 要求:抄题、画图、做在作业本上
小结2:
(1)中点四边形的形状与原四边形的对角线的位 置关系和数量关系有密切联系; (2)只要原四边形的两条对角线 相等 ,就能使 中点四边形是菱形; 互相垂直 ,就能 (3)只要原四边形的两条对角线 B 使中点四边形是矩形; G E
A
E H
F
D B
A
C
G
C
G
D
F
图1
图2
(4)要使中点四边形是正方形,原四边形要符 合的条件是 对角线相等且互相垂直 。 (5)中点四边形的形状与原四边形的对角线互 相平分无关。 (6)中点四边形的周长是原四边形的对角线的 A 长度和
活动3
中点四边形及有关的问题
回顾: 三角形的中位线的定义与性质 定义:连接三角形两边的中点的线段叫 做三角形的中位线。 性质:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半。
思考:如图,顺次连接一个△ABC各边 中点,所得△DEF与△ABC有何关系?(从 周长和面积方面考虑)
A
C△DEF=1/2C△ABC S△DEF=1/4S△ABC