机械制图基本投影
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一、二投影面体系
二投影面体系由直立 的投影面和与之相垂直的 水平投影面组成。
V面、H面 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ个分角
投影轴
四川大学制造科学与工程学院 杨随先
图3-8 二投影面体系
2019/11/19
现代工程制图
二、点在二面投影体系第一分角中的投影
图3-9 点的二面投影及其投影规律
点在两投影面体系中的投影规律 (1) 点的投影连线垂直于投影轴 (2) 点的投影与投影轴的距离等于该点与相邻投影面的距离
工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用中心投影法 将空间的几何体投影 到一个选定的投影面 上得到的一种简单投 影图。
符合视觉习惯， 直观性好，立体感强。
图3-6 用透视投影作的建筑物效果图
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2019/11/19
现代工程制图
工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用正投影法得到空间 点、线、面的投影后，再在 投影图上用数字标出它们对 投影面的距离，以确定它们 之间的几何关系。
常用于表示不规则曲面。
四川大学制造科学与工程学院 杨随先
图3-7 地形标高投影图
2019/11/19
现代工程制图
3.2 点的投影
点的二面投影及其投影规律
四川大学制造科学与工程学院 杨随先
2019/11/19
现代工程制图
3.3.4 直线上的点(从属关系)
点属于直线的条件： 1. 点的各面投影必属于直线的同面投影。 2. 属于线段的点分线段的长度比等于其投影长度之比。 可用这两个条件之一来判断某点是否属于某一直线。
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2019/11/19
现代工程制图
投影面平行线的投影特点（表3-1）
正平线
水平线
立 体 图
侧平线
投 影 图
投 1. ab∥OX轴，a"b"∥OZ轴 影 2. a'b'=AB
1．a'b'∥OX轴，a"b"∥OYW轴 2．ab=AB
1． a'b' ∥OZ轴 ab∥OYH轴 2． a"b" =AB
特 3. a'b'与OX轴和OZ轴的夹角分别反 3．ab与OX轴和OYH轴的夹角分别反映θV和 3． a"b" 与OZ轴和OYW轴的夹角分
点 映θH和θW
θW
别反映θV和θH
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2019/11/19
现代工程制图
投影面平行线的投影特点
(1) 在平行的投影面上的投影，反映真长；它 与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投 影面的真实倾角。
(2) 在另外两个投影面上的投影，平行于相应 的投影轴，长度缩短。
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作图方法
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2019/11/19
现代工程制图
图3-29 直线投影的画法
直线的投影可由属于该直线两点的投影来确定，据此可作出直线 的相应投影；或者由属于直线的一点及该直线的方向的投影确定。
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2019/11/19
现代工程制图
读直线投影图：根据投影图中直线段两端点的上下、左右、前后相对位置 关系，想象出该直线在三投影面体系中的空间位置。
侧平线 //W： 面
投影面垂直线某 （一 垂投 直影 于面，另 且两 平投 行影 于 铅 侧 正 面垂 垂 垂 ）线 线 线 W V H： ： 面 ： 面 面
直线对H、 V、 W的倾角θH （ α ）、 θV（ β ）、 θW （γ）。 （一）、一般位置直线的投影特点
（b） 图3-29
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（c）
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例:
已知两直线AB、CD及点M的正面投影m’，试通过点M作直线 MN//CD并与直线AB相交。
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现代工程制图
3.3.6 一边平行于投影面的直角的投影
相互垂直的两直线中，有一条直线平行于某投影面时， 此两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角。 1. 两直线垂直相交
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2019/11/19
现代工程制图
例:
已知线段AC的投影，试求AC的实长及对V面的倾角θV。见下图（a）。
（a）
例图 求线段实长及θ V
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（b）
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例:
已知线段AB上的点A的投影，点B在点A之右10mm，AB长30mm，且 AB的θH=45°，求作该线段的投影。
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现代工程制图
3.3.3 求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾 角
直角三角形法是通过分析空间线段与其投影的几何关系，用图解的方法求 出线段的真长及其对投影面的倾角。
空间线段AB与水平投影 ab构成一垂直于H面的平面 ABba。过点A作AB0//ab，并 交投影线Bb于点B0，则A B0B 构成一直角三角形。在该直 角三角形中，一直角边 AB0=ab，另一直角边BB0=ZBZA（即两端点的Z坐标差）， 斜边即为线段AB的真长，AB 与AB0的夹角∠ BAB0=θH。设 法作出这个三角形，(c)、(d)、 (e)均可。同理，可作出θV、 θW。
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现代工程制图
3.3 直线的投影
3.3.1 直线的投影
过直线上各点的投射线形成的平面与投影面的交线为 直线在该投影面上的投影。
直线上的点在某一投影面上 的投影，一定在直线的相应投 影上。不垂直于投影面的直线 段上的点，分割直线段之比， 在投影后仍保持不变。
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现代工程制图
不同分角内的点的投影特性
Ⅰ分角：正面投影a'在OX的上方，水平投影a在OX的下方。 Ⅱ分角：正面投影b'和水平投影b同在OX的上方。 Ⅲ分角：正面投影c'在OX的下方，水平投影c在OX的上方。 Ⅳ分角：正面投影d'和水平投影d同在OX的下方。
现代工程制图
第3章 点、直线、ຫໍສະໝຸດ 面的投影3.1 投影的基本知识
投影：某物体（或点）投射到另一物体上的影象。
中心投影（点光源） 根据光源不同 平分 行为 投影（平行 正 斜光 投 投源 影 影）
一、中心投影法 二、平行投影法
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2019/11/19
现代工程制图
杨随先
2019/11/19
1．a'b' ⊥OZ轴， ab⊥OYH轴 2．a"b"积聚为一点 3．a'b' =ab=AB
现代工程制图
投影面垂直线的投影特点
(1) 与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。 (2) 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的
投影轴，反映真长。
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2019/11/19
现代工程制图
直角三角形法作图的几何条件
在下述几何量配组关系中，只要知道其中的任意两个便可 求解其余的几何量。
1. 线段的实长、水平投影的长度、两端点的Z坐标差、 θH 2. 线段的实长、正面投影的长度、两端点的Y坐标差、 θV 3. 线段的实长、侧面投影的长度、两端点的X坐标差、 θW 倾角由反映实长的斜边与反映投影长度的直角边的夹角表示。
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现代工程制图
例: 如下图所示，作出分线段AB为3:2的点C的 两面投影。
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现代工程制图
3.3.2 各种位置直线的投影
(对投影面的相对位置)
一般位置直V线 、H： 、W 对 面均倾斜
直线 投影面平行线于 （某 只一 平投 行影 水 正面 平 平） 线 线 ////V H面 ： 面 ：
多面正投影图采用互 相垂直的两个或两个以上 的投影面，使用正投影法， 将空间点、线、面及其相 互关系投影到这些投影面 上，并由这些投影共同确 定这些空间点、线、面及 其相互关系。
度量性好，直观性差
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图3-4 三面投影图
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现代工程制图
工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用平行投影法 将空间的几何体连同 其所在的直角坐标系 一并投影到一个选定 的投影面上，使其投 影能同时呈现物体的 三维形状或三维尺度。
立体感强，沿轴 向具有度量性。
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图3-5 轴测投影及轴测投影图
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现代工程制图
（a） 判断两直线是否相交 （b）
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现代工程制图
例: 判断下图所示两侧平线的相对位置。
解法一
解法二
判断直线AB、CD的相对位置
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解法三
现代工程制图
判断图3-29中两直线的相对位置。
（a）
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图3-11 第一卦角内点的投影 点在三投影面体系中的投影规律 (1) 点的投影连线垂直于投影轴 (2) 点的投影到投影轴的距离等于点的相应坐标。
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现代工程制图
例：根据点的三面投影图，见图（a），作该点的立体图。
（a）
（b）
（c）
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现代工程制图
投影面垂直线的投影特点（表3-2 ）
正垂线
铅垂线
立 体 图
侧垂线
投 影 图
投 1．ab⊥OX轴，a"b"⊥OZ轴 影 2．a'b'积聚为一点 特 3．ab=a"b" =AB 点
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1． a'b' ⊥OX轴， a"b" ⊥OYW轴 2．ab积聚为一点 3．a'b' = a"b" =AB
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（d）
现代工程制图
两点间的相对位置
左 右 后前 上 下
后 前
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现代工程制图
重影点及其可见性
属于同一条投影线上的点，在该投影线所垂直的投影面上的投 影重合为一点，空间的这些点，称为对该投影面的重影点。
重影点与可见性
可见性判断：前遮后、上遮下、左遮右
中心投影法
投射线都从投 射中心出发。用来 绘制透视图。
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图1-1 中心投影法
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现代工程制图
平行投影法
投射线互 相平行
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图1-2 平行投影法
2019/11/19
现代工程制图
工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
（二）、投影面平行线的投影特点
（三）、投影面垂直线的投影特点
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2019/11/19
现代工程制图
一般位置直线的投影特点
三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长； 投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
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2019/11/19
例:
以线段BC（bc∥X 轴）为一边作等边三 角形ABC，使此三角 形的高AD与V面所成 的倾角θV为30°，见 图（a）。
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现代工程制图
点在三面投影体系第一卦角中的投影
一、三投影面体系
V面、H面、W面 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ个卦角
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图3-10 三投影面体系
2019/11/19
现代工程制图
二、点的三面投影及投影规律
投影连线
投影轴
现代工程制图
点不属于直线
图3-22 判断点与直线的从属关系
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2019/11/19
现代工程制图
3.3.5 两直线的相对位置
平行、相交、交叉
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现代工程制图
当两直线之一为投影面平行线时，可由两直线在该投影面上的投影配合另一投影进行判断。 下图中，直线AB为侧平线。由侧面投影可以判断AB与CD不相交，见图（a）。 AB、CD 两 直 线 是 否 相 交 ， 也 可 以 利 用 点 分 线 段 成 定 比 的 性 质 进 行 判 断 。 图 （ b） 中 ， a′e′∶e′b′≠ae∶eb，即点E不属于直线AB，AB与CD没有共有点，故不相交。
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现代工程制图
2．两直线垂直交叉
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例:
已知点A及正平线CD的投影，试求点A至直线CD的距离，见下图 (a)。
（a）
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（b）
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二投影面体系由直立 的投影面和与之相垂直的 水平投影面组成。
V面、H面 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ个分角
投影轴
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图3-8 二投影面体系
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现代工程制图
二、点在二面投影体系第一分角中的投影
图3-9 点的二面投影及其投影规律
点在两投影面体系中的投影规律 (1) 点的投影连线垂直于投影轴 (2) 点的投影与投影轴的距离等于该点与相邻投影面的距离
工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用中心投影法 将空间的几何体投影 到一个选定的投影面 上得到的一种简单投 影图。
符合视觉习惯， 直观性好，立体感强。
图3-6 用透视投影作的建筑物效果图
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工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用正投影法得到空间 点、线、面的投影后，再在 投影图上用数字标出它们对 投影面的距离，以确定它们 之间的几何关系。
常用于表示不规则曲面。
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图3-7 地形标高投影图
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3.2 点的投影
点的二面投影及其投影规律
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3.3.4 直线上的点(从属关系)
点属于直线的条件： 1. 点的各面投影必属于直线的同面投影。 2. 属于线段的点分线段的长度比等于其投影长度之比。 可用这两个条件之一来判断某点是否属于某一直线。
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投影面平行线的投影特点（表3-1）
正平线
水平线
立 体 图
侧平线
投 影 图
投 1. ab∥OX轴，a"b"∥OZ轴 影 2. a'b'=AB
1．a'b'∥OX轴，a"b"∥OYW轴 2．ab=AB
1． a'b' ∥OZ轴 ab∥OYH轴 2． a"b" =AB
特 3. a'b'与OX轴和OZ轴的夹角分别反 3．ab与OX轴和OYH轴的夹角分别反映θV和 3． a"b" 与OZ轴和OYW轴的夹角分
点 映θH和θW
θW
别反映θV和θH
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投影面平行线的投影特点
(1) 在平行的投影面上的投影，反映真长；它 与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投 影面的真实倾角。
(2) 在另外两个投影面上的投影，平行于相应 的投影轴，长度缩短。
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作图方法
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图3-29 直线投影的画法
直线的投影可由属于该直线两点的投影来确定，据此可作出直线 的相应投影；或者由属于直线的一点及该直线的方向的投影确定。
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读直线投影图：根据投影图中直线段两端点的上下、左右、前后相对位置 关系，想象出该直线在三投影面体系中的空间位置。
侧平线 //W： 面
投影面垂直线某 （一 垂投 直影 于面，另 且两 平投 行影 于 铅 侧 正 面垂 垂 垂 ）线 线 线 W V H： ： 面 ： 面 面
直线对H、 V、 W的倾角θH （ α ）、 θV（ β ）、 θW （γ）。 （一）、一般位置直线的投影特点
（b） 图3-29
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（c）
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例:
已知两直线AB、CD及点M的正面投影m’，试通过点M作直线 MN//CD并与直线AB相交。
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3.3.6 一边平行于投影面的直角的投影
相互垂直的两直线中，有一条直线平行于某投影面时， 此两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角。 1. 两直线垂直相交
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例:
已知线段AC的投影，试求AC的实长及对V面的倾角θV。见下图（a）。
（a）
例图 求线段实长及θ V
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（b）
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例:
已知线段AB上的点A的投影，点B在点A之右10mm，AB长30mm，且 AB的θH=45°，求作该线段的投影。
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3.3.3 求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾 角
直角三角形法是通过分析空间线段与其投影的几何关系，用图解的方法求 出线段的真长及其对投影面的倾角。
空间线段AB与水平投影 ab构成一垂直于H面的平面 ABba。过点A作AB0//ab，并 交投影线Bb于点B0，则A B0B 构成一直角三角形。在该直 角三角形中，一直角边 AB0=ab，另一直角边BB0=ZBZA（即两端点的Z坐标差）， 斜边即为线段AB的真长，AB 与AB0的夹角∠ BAB0=θH。设 法作出这个三角形，(c)、(d)、 (e)均可。同理，可作出θV、 θW。
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3.3 直线的投影
3.3.1 直线的投影
过直线上各点的投射线形成的平面与投影面的交线为 直线在该投影面上的投影。
直线上的点在某一投影面上 的投影，一定在直线的相应投 影上。不垂直于投影面的直线 段上的点，分割直线段之比， 在投影后仍保持不变。
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不同分角内的点的投影特性
Ⅰ分角：正面投影a'在OX的上方，水平投影a在OX的下方。 Ⅱ分角：正面投影b'和水平投影b同在OX的上方。 Ⅲ分角：正面投影c'在OX的下方，水平投影c在OX的上方。 Ⅳ分角：正面投影d'和水平投影d同在OX的下方。
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第3章 点、直线、ຫໍສະໝຸດ 面的投影3.1 投影的基本知识
投影：某物体（或点）投射到另一物体上的影象。
中心投影（点光源） 根据光源不同 平分 行为 投影（平行 正 斜光 投 投源 影 影）
一、中心投影法 二、平行投影法
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1．a'b' ⊥OZ轴， ab⊥OYH轴 2．a"b"积聚为一点 3．a'b' =ab=AB
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投影面垂直线的投影特点
(1) 与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。 (2) 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的
投影轴，反映真长。
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直角三角形法作图的几何条件
在下述几何量配组关系中，只要知道其中的任意两个便可 求解其余的几何量。
1. 线段的实长、水平投影的长度、两端点的Z坐标差、 θH 2. 线段的实长、正面投影的长度、两端点的Y坐标差、 θV 3. 线段的实长、侧面投影的长度、两端点的X坐标差、 θW 倾角由反映实长的斜边与反映投影长度的直角边的夹角表示。
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例: 如下图所示，作出分线段AB为3:2的点C的 两面投影。
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3.3.2 各种位置直线的投影
(对投影面的相对位置)
一般位置直V线 、H： 、W 对 面均倾斜
直线 投影面平行线于 （某 只一 平投 行影 水 正面 平 平） 线 线 ////V H面 ： 面 ：
多面正投影图采用互 相垂直的两个或两个以上 的投影面，使用正投影法， 将空间点、线、面及其相 互关系投影到这些投影面 上，并由这些投影共同确 定这些空间点、线、面及 其相互关系。
度量性好，直观性差
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图3-4 三面投影图
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工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
采用平行投影法 将空间的几何体连同 其所在的直角坐标系 一并投影到一个选定 的投影面上，使其投 影能同时呈现物体的 三维形状或三维尺度。
立体感强，沿轴 向具有度量性。
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图3-5 轴测投影及轴测投影图
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（a） 判断两直线是否相交 （b）
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例: 判断下图所示两侧平线的相对位置。
解法一
解法二
判断直线AB、CD的相对位置
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解法三
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判断图3-29中两直线的相对位置。
（a）
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图3-11 第一卦角内点的投影 点在三投影面体系中的投影规律 (1) 点的投影连线垂直于投影轴 (2) 点的投影到投影轴的距离等于点的相应坐标。
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例：根据点的三面投影图，见图（a），作该点的立体图。
（a）
（b）
（c）
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投影面垂直线的投影特点（表3-2 ）
正垂线
铅垂线
立 体 图
侧垂线
投 影 图
投 1．ab⊥OX轴，a"b"⊥OZ轴 影 2．a'b'积聚为一点 特 3．ab=a"b" =AB 点
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1． a'b' ⊥OX轴， a"b" ⊥OYW轴 2．ab积聚为一点 3．a'b' = a"b" =AB
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（d）
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两点间的相对位置
左 右 后前 上 下
后 前
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重影点及其可见性
属于同一条投影线上的点，在该投影线所垂直的投影面上的投 影重合为一点，空间的这些点，称为对该投影面的重影点。
重影点与可见性
可见性判断：前遮后、上遮下、左遮右
中心投影法
投射线都从投 射中心出发。用来 绘制透视图。
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图1-1 中心投影法
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平行投影法
投射线互 相平行
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图1-2 平行投影法
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工程中常用的四种投影图
多面正投影图 轴测投影图 透视投影图 标高投影图
（二）、投影面平行线的投影特点
（三）、投影面垂直线的投影特点
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一般位置直线的投影特点
三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长； 投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
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例:
以线段BC（bc∥X 轴）为一边作等边三 角形ABC，使此三角 形的高AD与V面所成 的倾角θV为30°，见 图（a）。
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点在三面投影体系第一卦角中的投影
一、三投影面体系
V面、H面、W面 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ个卦角
四川大学制造科学与工程学院 杨随先
图3-10 三投影面体系
2019/11/19
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二、点的三面投影及投影规律
投影连线
投影轴
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点不属于直线
图3-22 判断点与直线的从属关系
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3.3.5 两直线的相对位置
平行、相交、交叉
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当两直线之一为投影面平行线时，可由两直线在该投影面上的投影配合另一投影进行判断。 下图中，直线AB为侧平线。由侧面投影可以判断AB与CD不相交，见图（a）。 AB、CD 两 直 线 是 否 相 交 ， 也 可 以 利 用 点 分 线 段 成 定 比 的 性 质 进 行 判 断 。 图 （ b） 中 ， a′e′∶e′b′≠ae∶eb，即点E不属于直线AB，AB与CD没有共有点，故不相交。
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2．两直线垂直交叉
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例:
已知点A及正平线CD的投影，试求点A至直线CD的距离，见下图 (a)。
（a）
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（b）
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