重庆市2019-2020学年高三数学月考试题理(含解析)

高三数学月考试题理
一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知，，则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得集合A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.
【详解】求解函数的定义域可得：，即
求解函数的值域可得，则，
据此可得=.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.
【详解】逐一考查所给的选项：
当时，，选项A错误；
当时，，选项B错误，
当时，，且，选项C错误；
由不等式的性质可知，，选项D正确.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合正态分布的对称性求解的值即可.
【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为，
则，故.
本题选择C选项.
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
4.已知且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
由于，故，
据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.
【详解】逐一考查所给函数的性质：
A.，函数为奇函数且时，，当时，，当时，
，据此可知函数在区间不具有单调性，不合题意；
B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性；
C.，易知函数的定义域为，
且，
故函数为奇函数，
由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数
在区间上单调递增，满足题意；
D.，该函数为偶函数，不合题意；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.下列说法中错误的是（）
A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；
B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1;
D. 若随机变量，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】逐一考查所给的说法：
A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；
B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,原命题错误;
D. 若随机变量，，，则,
据此可得:，原命题正确．
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知直线与圆：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值.
【详解】圆C的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为，
易知等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C，故圆心到直线的距离为，
结合点到直线距离公式有：，解得：或.
本题选择B选项.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
8.已知二项式的展开式中的系数是，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得，令可得，
结合题意有：，
据此可得：.
本题选择D选项.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
9.从区间中任取一个值，则函数在上是增函数的概率为
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由函数的单调性求得实数a的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式：
为增函数，则，
为增函数，则，
且当时，有：，即，解得，
综上可得，若函数在上是增函数，则，
由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.数列前项和为，，，，若，则＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.
【详解】由题意有：当时，，
两式作差可得：，
由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，
，据此可得，
则数列的通项公式为：，，
，加2后能被3整除，
则.
本题选择C选项.
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
11.已知是双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左、右顶点，，
分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为,有下列四个命题中真命题个数为（）个．
①双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；②若，则的最大值为；
③的内切圆的圆心横坐标为；④若直线的斜率为，则．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
由双曲线焦点弦公式：可得：
双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为.说法①错误.
对于②,若,则由双曲线的定义可得.
，
,故有,即离心率的最大值为，故②不正确.
对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|−|NF2|=2a=|KF1|−|KF2|，
又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心在切点K的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确.
对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得，∴，故④正确.
综上可得，四个命题中真命题个数为2个.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，
所以，因此
构造函数，由，当时，即单调递增；当
时，即单调递减，所以即为实数的最大值.
考点：函数的导数与最值.
二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）
13.已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为_______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得m的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.
【详解】由题意可得：，
则圆锥曲线方程为：，
则.
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可
得e(e的取值范围)．
14.若实数满足约束条件则的最大值是_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋
by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
15.袋中有个红球，个黑球和个白球，从中任取个球，则其中三种颜色的球都有的概率是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可.
【详解】由题意可得，所求概率为：
.
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
16.已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.
【详解】令，则，
设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，
易知，，
由向量的绝对值不等式的性质可得：，
注意到，且，故，
即（）的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．
【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .
【解析】
试题分析：
(1)整理函数的解析式为，结合三角函数的性质可得，单调减区间为
(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.
试题解析：
(1)周期为
因为
所以
所以函数的单调减区间为
（2）因为，所以
所以，(1)
又因为，所以 (2)
由（1），（2）可得
18.已知数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；
(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.
【详解】（1）由已知
（2）左边=
不等式成立
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超
过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.
（1）求的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
，其中
【答案】（1）（2）有的把握（3）395
【解析】
分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.
详解：（1）由频率分布直方图可知，，
由中间三组的人数成等差数列可知，
可解得
（2）周平均消费不低于300元的频率为，
因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为
所以有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）调查对象的周平均消费为
，
由题意，∴
.
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式
计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.
20.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上滑动，若面积的最大值是且有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于点,与轴交于点。

设,,求证：为定值，并求该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合椭圆的对称性确定a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(2)联立直线方程与椭圆方程，求得的表达式，然后结合韦达定理即可证得题中的结论. 【详解】（1）由对称性知，在短轴端点时，为且=, 且，，，
椭圆方程为：.
（2）显然斜率不为，设直线，联立方程组得：
设，
令
=
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21.已知函数．
（1）当（为自然常数）时，求函数的单调区间；
（2）讨论的零点个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)首先确定的解析式，然后结合其导函数利用切线放缩法确定导函数的符号即可确定函数的单调区间；
(2)分类讨论和两种情况确定函数的零点个数即可.
【详解】（1）当时，，
易证，
在定义域上单调递减，无单调递增区间；
（2）①先考虑当时函数的零点个数.
当时，为减函数，
有一个零点；
当时，由，
设，令，
时，单调递增，时，单调递减，
且，当时恒成立.
1.当即时，当时函数无零点，当时函数有一个零点；
2.当即时，当时函数有一个零点，当时函数有二个零点；
3.当即时，当时函数有两个零点，
当时函数有三个零点；
②再考虑的情形，若，则，同上可知：
1.当即时，函数有一个零点；
2.当即时，函数有两个零点；
3.当即时，函数有三个零点；
综上可知：当时，函数有一个零点；
当或时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22.已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是．射线OT：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求的值.
【答案】（1），；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可；
(2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解的值即可.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数得曲线的普通方程为，
又，，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）由，
故射线与曲线的交点的极坐标为；
由，
故射线与直线的交点的极坐标为，
∴.=12.
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23.已知函数．
(1)解不等式；
(2)已知，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
（2）由绝对值三角不等式的性质可得的最大值是，由均值不等式的性质可知的最小值为.则，求解绝对值不等式即可确定实数的取值范围.
【详解】解：（1）不等式等价于，即或或. 解得或或，
所以不等式的解集为.
（2）因为，所以的最大值是，又，于是，的最小值为.
要使的恒成立，则，解此不等式得.所以实数的取值范围是.。