湘教版高中数学必修第二册课后习题 第2章 习题课 三角恒等变换的应用

习题课 三角恒等变换的应用
A 级必备知识基础练
1.下列各式与tan α相等的是( ) A.√1-cos2α1+cos2α
B.sinα
1+cosα C.
sinα
1-cos2α
D.
1-cos2α
sin2α
2.化简sin α2
+cos α2
2
+2sin
2
π4
−
α2
得( )
A.2+sin α
B.2+√2sin α-π4
C.2
D.2+√2sin α+π
4
3.函数f(x)=sin xcos x+cos 2x-1的值域为( ) A.[-√2+12,√2-1
2
] B.[
√2-12,√2+1
2
] C.[-1,0]
D.[0,12
]
4.函数f(x)=sin 2x-π4
-2√2sin 2x 的最小正周期是 . 5.化简:
sin4x 1+cos4x
·
cos2x 1+cos2x
·
cosx 1+cosx
= . 6.已知函数f(x)=4cos 4x -2cos2x -1
sin(π
4+x)sin(π
4-x)
.
(1)求f (-11π12
)的值;
(2)当x ∈[0,π
4)时,求函数g(x)=1
2f(x)+sin 2x 的最大值和最小值.
B 级关键能力提升练
7.已知α满足sin α=1
3,则cos
π4
+αcos
π4
-α=( )
A.7
18
B.25
18
C.-7
18
D.-25
18
8.已知函数f(x)=sin 2x+2√3sin xcos x-cos 2x,x ∈R,则( ) A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
2
D.直线x=π
3
为f(x)图象的一条对称轴
9.设a=2sin 13°cos 13°,b=2tan13°1+tan 213°
,c=√
1-cos50°
2
,则有( )
A.c<a<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.a<c<b
10.已知函数f(x)=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π
3
,0),则
函数g(x)=λsin xcos x+sin 2x 的图象的一条对称轴是直线( ) A.x=5π6
B.x=4π
3
C.x=π3
D.x=-π
3
11.(多选题)以下函数在区间0,π2
上单调递增的有( )
A.y=sin x+cos x
B.y=sin x-cos x
C.y=sin xcos x
D.y=sinx
cosx
12.(多选题)设函数f(x)=sin2x+π
4+cos2x+π
4
,则f(x)( )
A.是偶函数
B.在区间0,π
2
单调递减
C.最大值为2
D.其图象关于直线x=π
2
对称
13.已知cos θ=-7
25,θ∈(π,2π),则sinθ
2
+cosθ
2
的值为.
14.化简:tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= .
15.已知函数f(x)=4tan xsin(π
2-x)cos x-π
3
-√3.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[-π
4,π
4
]上的单调性.
C级学科素养创新练
16.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道(Rt△EFG,E是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20
m,AD=10√3 m,设∠GEB=θ.
(1)试将污水管道的长度l表示成θ的函数,并写出定义域.
(2)当θ为何值时,污水净化效果最好?请求此时管道的长度.
习题课 三角恒等变换的应用
1.D
1-cos2αsin2α
=
2sin 2α2sinαcosα
=
sinαcosα
=tanα.
2.C 原式=1+2sin α2
cos α
2
+1-cos 2
π4
−
α2
=2+sinα-cos
π2
-α
=2+sinα-sinα=2.
3.A f(x)=sinxcosx+cos 2x-1=1
2
sin2x+
1+cos2x
2
-1=12
sin2x+12
cos2x-1
2
=
√2
2
sin (2x +π4)−1
2
, 因为-1≤sin (2x +π
4)≤1,
所以y ∈[-√2+12,√2-1
2]. 4.π f(x)=√2
2sin2x-√2
2cos2x-√2(1-cos2x)=√2
2sin2x+√2
2cos2x-√2=sin 2x+
π4
-√2,
所以T=2π2
=π. 5.tan x
2 原式=
2sin2xcos2x 2cos 22x
·
cos2x 1+cos2x
·
cosx 1+cosx
=
sin2x 1+cos2x
·
cosx 1+cosx
=
2sinxcosx 2cos 2x
·
cosx 1+cosx
=
sinx 1+cosx
=tan x 2
.
6.解(1)f(x)=(1+cos2x )2
-2cos2x -1sin(π
4+x)sin(π
4-x)
=cos 22x
sin(π4+x)cos(π
4+x)
=
2cos 22x sin(π
2+2x)
=
2cos 22x
cos2x
=2cos2x,
所以f (-
11π
12)=2cos (-11π6
)=2cos π
6=√3.
(2)g(x)=cos2x+sin2x=√2sin (2x +π
4
).
因为x ∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,
3π4
),
所以当ax =√2, 当in =1.
7.A cos (π
4+α)cos (π
4-α)=cos π2
-π4
-α·cos
π4
-α=sin
π4
-α
cos π4
-α=12
sin
π
2-2α=12cos2α=1
2(1-2sin 2α)=1
2(1-2×1
9)=7
18
,故选
A.
8.D 函数f(x)=sin 2x+2√3sinxcosx-cos 2x=√3sin2x-cos2x=2
√3
2sin2x-12cos2x =2sin 2x-
π6
,可得f(x)的最大值为2,最小正周期为
T=2π2
=π,故A,C 错误;由f(x)=0,可得2x-π6
=kπ,k∈Z,即x=kπ2
+
π
12
,k ∈Z,
可得f(x)在(0,π)内的零点为π12,
7π12
,故B 错误;由f
π3
=2sin
2π
3
−
π6
=2,
可得直线x=π3
为f(x)图象的一条对称轴,故D 正确.故选D. 9.A 因为
a=2sin13°cos13°=sin26°,b=
2tan13°1+tan 213°=tan26°,c=√
1-cos50°
2
=sin25
°,且正弦函数y=sinx 在区间[0,π2
]上单调递增,所以a>c;在区间[0,π2
]上tanα>sinα,所以b>a,所以c<a<b,故选A.
10.D 因为函数f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点(π
3,0),所
以f (π3)=0,即sin π3+λcos π
3
=0,解得λ=-√3,故g(x)=-√3sinxcosx+sin 2x,
整理得g(x)=-sin (2x +π6)+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=kπ+π
2(k ∈Z),
当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π
3.
11.BD 对于A 选项,y=sinx+cosx=√2sin x+
π4
,当x ∈0,
π2
时,x+π
4
∈
π4
,
3π4,所以函数在区间0,π2
上不单调;对于B 选项,y=sinx-cosx=√2sin
x-
π4
,当x ∈0,
π2
时,x-π
4∈-π4,
π4
,所以函数在区间0,
π2
上单调递增;
对于C 选项,y=sinxcosx=12
sin2x,当x ∈0,π2
时,2x ∈(0,π),所以函数在
区间0,
π2
上不单调;对于D 选项,当x ∈0,
π2
时,y=
sinx
cosx
=tanx,所以函数
在区间0,π2
上单调递增.
12.ABD f(x)=sin 2x+π4
+cos 2x+
π4
=√2sin 2x+π
4+π
4
=√2cos2x.
f(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),故f(x)是偶函数,A 正确; ∵x ∈0,π2
,所以2x ∈(0,π),因此f(x)在区间0,
π2
上单调递减,B 正
确;
f(x)=√2cos2x 的最大值为√2,C 不正确; 当x=π
2
时,f(x)=√2cos 2×
π2
=-√2,因此当x=π
2
时,函数有最小值,因此函
数图象关于直线x=π2
对称,D 正确. 13.1
5
因为θ∈(π,2π),所以θ
2
∈
π2
,π.
所以sin θ2
=√
1-cosθ2=4
5
,
cos θ2
=-√
1+cosθ2=-35
.
所以sin θ2
+cos θ
2
=15. 14.-1 原式=sin70°cos70°
·cos10°·√3sin20°
cos20°
-1
=
sin70°cos70°
·cos10°·
√3sin20°-cos20°
cos20°=sin70°cos70°
·cos10°·
2sin (-10°)
cos20°
=-
sin70°cos70°
·
sin20°cos20°
=-1.
15.解(1)f(x)的定义域为{x |x ≠π2
+kπ,k ∈Z}. f(x)=4tanxcosxcos (x -π
3)−√3
=4sinxcos (x -π
3)−√3
=4sinx (1
2
cosx +
√3
2sinx)−√3
=2sinxcosx+2√3sin 2x-√3 =sin2x+√3(1-cos2x)-√3 =sin2x-√3cos2x=2sin (2x -π
3).
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)令z=2x-π3
,函数y=2sinz 的单调递增区间是[-π2
+2kπ,π
2
+2kπ],k ∈Z.
由-π2
+2kπ≤2x -π3
≤π2
+2kπ,k∈Z,得-π12
+kπ≤x≤5π
12
+kπ,k∈Z.
设A=[-π
4,π
4
],B=x -π
12
+kπ≤x≤5π
12
+kπ,k∈Z ,易知A∩B=[-π
12
,π
4
].所
以,当x∈[-π
4,π
4
]时,f(x)在区间[-π
12
,π
4
]上单调递增,在区间[-π
4
,-π
12
]上
单调递减.
16.解(1)由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°,则∠AEF=90°-θ.
∵E是AB的中点,AB=20m,AD=10√3m.
∴EG=10
cosθ,EF=10
cos(90°-θ)
=10
sinθ
.
∴FG=√EG2+EF2=10
cosθsinθ
.
则l=10
sinθ+10
cosθ
+10
sinθcosθ
,定义域θ∈π
6
,π
3
.
(2)由(1)可知,l=10
sinθ+10
cosθ
+10
sinθcosθ
,θ∈π
6
,π
3
.化简可得
l=10(sinθ+cosθ)+10
sinθcosθ
.
令t=sinθ+cosθ=√2sinθ+π
4
.
∵θ∈π
6,π
3
,∴θ+π
4
∈5π
12
,7π
12
,
可得sinθ+π
4∈√6+√2
4
,1,则t∈√3+1
2
,√2.
可得sinθcosθ=t 2-1
2
,且t≠1,
那么l=10+10t
t2-1
2=20(1+t)
t2-1
=20
t-1
.
当t=√3+1
2
时,l取得最大值为20(1+√3).
此时t=√2sinθ+π
4=√3+1
2
,即θ+π
4
=5π
12
或7π
12
,
∴θ=π
6或π
3
.故当θ=π
6
或π
3
时,污水净化效果最好,此时管道的长度为
20(1+√3)m.
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